Produit scalaire en Première : cours et exercices corrigés

Q: Quelle est la formule d’Al-Kashi ?

Dans un triangle ABC, BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\times AC\times\cos\widehat{BAC}. Elle permet de calculer un côté à partir des deux autres et de l’angle qu’ils forment, ou un angle à partir des trois côtés.

Q: Quel est l’ensemble des points M tels que les vecteurs MA et MB sont orthogonaux ?

C’est le cercle de diamètre [AB]. En notant I le milieu de [AB], on a \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-IA^2, qui est nul exactement quand MI=IA.

Programme de Première

Ce que tu dois savoir faire en Première

Le produit scalaire est le nouvel outil de géométrie de la spécialité maths de Première. Il prolonge le calcul vectoriel de Seconde et donne une méthode de calcul pour les questions de longueurs, d’angles et d’orthogonalité, avec ou sans repère.

Le programme le définit à partir de la projection orthogonale et de la formule avec le cosinus, puis en demande les propriétés (symétrie, bilinéarité), l’expression en coordonnées dans une base orthonormée, les développements de $\|\vec u+\vec v\|^2$ et $\|\vec u-\vec v\|^2$ , la formule d’Al-Kashi et l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ . Ces deux derniers résultats font partie des démonstrations du programme. L’élève doit savoir choisir la méthode de calcul adaptée au problème.

Dans Mathflow, le chapitre compte cinq compétences, chacune en trois niveaux.

Les 5 compétences du chapitre

Définir le produit scalaire dans un triangle
Appliquer les propriétés algébriques du produit scalaire
Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé
Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité
Identifier un lieu géométrique défini par un produit scalaire

Cours

L’essentiel du cours

Quatre façons de calculer un produit scalaire, ses règles de calcul, puis ses deux grandes applications : l’orthogonalité et le cercle de diamètre $[AB]$ .

Définition avec le cosinus et la projection

Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ , alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$ :

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AH$ si $H$ est du même côté de $A$ que $B$ (angle $\widehat{BAC}$ aigu) ;
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AH$ si $H$ est de l’autre côté (angle obtus) ;
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ si $H=A$ (angle droit).

Le produit scalaire d’un vecteur par lui-même est le carré de sa norme : $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2$ , par exemple $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=AB^2$ .

Règles de calcul et formule d’Al-Kashi

On développe donc comme avec des nombres, ce qui donne les identités :

\begin{aligned}\|\vec u+\vec v\|^2&=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\\\|\vec u-\vec v\|^2&=\|\vec u\|^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\\(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)&=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\end{aligned}

La première donne une formule avec les seules normes : $\vec u\cdot\vec v=\dfrac{1}{2}\left(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\right)$ .

Démonstration. $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ , donc $BC^2=\|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\|^2=AC^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+AB^2$ , et on remplace le produit scalaire par sa formule avec le cosinus.

Dans un repère orthonormé

Pour trouver un angle, on calcule le produit scalaire de deux façons et on compare :

\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}

Par exemple, $\vec u\,(3\,;\,4)$ et $\vec v\,(4\,;\,-3)$ donnent $\vec u\cdot\vec v=12-12=0$ : ces deux vecteurs sont orthogonaux.

Orthogonalité et cercle de diamètre $[AB]$

Pour prouver qu’un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , on montre que $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ ; pour prouver que deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires, on montre que $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$ .

Si $I$ est le milieu de $[AB]$ , alors $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IA}$ , donc $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}$ . En développant :

\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-IA^2

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Un angle à partir de coordonnées
Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;\,2)$ , $B(4\,;\,3)$ et $C(2\,;\,5)$ . Calcule $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ , puis une mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ arrondie au degré.
Solution
$\overrightarrow{AB}\,(3\,;\,1)$ et $\overrightarrow{AC}\,(1\,;\,3)$ , donc $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\times1+1\times3=6$ .
$AB=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ et $AC=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$ . Avec la formule du cosinus :
$\cos\widehat{BAC}=\dfrac{6}{\sqrt{10}\times\sqrt{10}}=0{,}6$
À la calculatrice, $\widehat{BAC}\approx53^{\circ}$ .
Exemple 2
Une longueur avec Al-Kashi
Dans un triangle $ABC$ , $AB=5$ cm, $AC=8$ cm et $\widehat{BAC}=60^{\circ}$ . Calcule $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ , puis la longueur $BC$ .
Solution
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=5\times8\times\cos60^{\circ}=40\times0{,}5=20$ .
D’après la formule d’Al-Kashi :
$\begin{aligned}BC^2&=AB^2+AC^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\\&=25+64-40=49\end{aligned}$
Donc $BC=\sqrt{49}=7$ cm.

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Avec le cosinus
1. Dans un triangle $ABC$ , $AB=6$ , $AC=4$ et $\widehat{BAC}=120^{\circ}$ . Calcule $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ .
2. $EFG$ est un triangle équilatéral de côté $4$ . Calcule $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EG}$ , puis $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{FG}$ .
Voir le corrigé
1. $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\times4\times\cos120^{\circ}=24\times(-0{,}5)=-12$ . L’angle est obtus : le résultat est négatif.
2. $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EG}=4\times4\times\cos60^{\circ}=8$ . Pour $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{FG}$ , les vecteurs ne partent pas du même point : $\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{FG}=-\overrightarrow{FE}\cdot\overrightarrow{FG}=-4\times4\times\cos60^{\circ}=-8$ .
Exercice 2
Avec une projection
$ABCD$ est un carré de côté $5$ et $I$ est le milieu de $[CD]$ . Calcule $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$ .
Voir le corrigé
- Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est $B$ : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AB=25$ .
- Le projeté orthogonal de $I$ sur $(AB)$ est le milieu $J$ de $[AB]$ , du même côté de $A$ que $B$ : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AI}=AB\times AJ=5\times2{,}5=12{,}5$ .
- $(AB)$ et $(AD)$ sont perpendiculaires : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0$ .
Exercice 3
Développer avec les règles de calcul
$\vec u$ et $\vec v$ sont deux vecteurs tels que $\|\vec u\|=3$ , $\|\vec v\|=2$ et $\vec u\cdot\vec v=-1$ .
1. Calcule $\|\vec u+\vec v\|^2$ et $\|\vec u-\vec v\|^2$ .
2. Calcule $(\vec u+2\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)$ . Que peux-tu en déduire ?
Voir le corrigé
1. $\|\vec u+\vec v\|^2=9+2\times(-1)+4=11$ et $\|\vec u-\vec v\|^2=9-2\times(-1)+4=15$ .
2. $(\vec u+2\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\vec u\cdot\vec v+2\,\vec v\cdot\vec u-2\|\vec v\|^2=9+(-1)-8=0$ . Les vecteurs $\vec u+2\vec v$ et $\vec u-\vec v$ sont orthogonaux.
Exercice 4
Un triangle rectangle dans un repère
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1\,;\,1)$ , $B(3\,;\,3)$ et $C(1\,;\,7)$ . Montre que le triangle $ABC$ est rectangle, puis calcule son aire.
Voir le corrigé
On cherche le sommet de l’angle droit. $\overrightarrow{BA}\,(-4\,;\,-2)$ et $\overrightarrow{BC}\,(-2\,;\,4)$ , donc $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=8-8=0$ .
Les vecteurs sont orthogonaux : le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ .
$BA=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$ et $BC=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$ . L’aire vaut $\dfrac{BA\times BC}{2}=\dfrac{20}{2}=10$ unités d’aire. Le triangle est même isocèle rectangle en $B$ .
Exercice 5
Le cercle de diamètre $[AB]$
Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1\,;\,2)$ et $B(5\,;\,-2)$ . On note $\mathcal{C}$ le cercle de diamètre $[AB]$ .
1. Donne le centre $I$ et le rayon de $\mathcal{C}$ .
2. Le point $M(4\,;\,3)$ est-il sur $\mathcal{C}$ ?
3. Trouve les points de $\mathcal{C}$ d’abscisse $0$ .
Voir le corrigé
1. $I$ est le milieu de $[AB]$ : $I(2\,;\,0)$ . $AB=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ , donc le rayon vaut $\sqrt{13}$ .
2. $\overrightarrow{MA}\,(-5\,;\,-1)$ et $\overrightarrow{MB}\,(1\,;\,-5)$ , donc $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=-5+5=0$ : $M$ est sur $\mathcal{C}$ .
3. Pour $P(0\,;\,y)$ : $\overrightarrow{PA}\,(-1\,;\,2-y)$ et $\overrightarrow{PB}\,(5\,;\,-2-y)$ . Alors $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=-5+(2-y)(-2-y)=y^2-9$ . Il est nul pour $y=3$ ou $y=-3$ : les points cherchés sont $(0\,;\,3)$ et $(0\,;\,-3)$ .

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Les erreurs viennent souvent d’un angle mal choisi ou d’une règle des nombres appliquée trop vite aux vecteurs.

Oublier le cosinus
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC$ seulement si les deux vecteurs ont même direction et même sens. Dans le cas général, il faut multiplier par $\cos\widehat{BAC}$ .
Prendre le mauvais angle
Pour $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$ , les vecteurs ne partent pas du même point : on écrit $-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ avant d’utiliser l’angle $\widehat{ABC}$ .
Oublier le double produit
$\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$ . Le terme $2\,\vec u\cdot\vec v$ ne disparaît que si les vecteurs sont orthogonaux : c’est le théorème de Pythagore.
Mélanger les coordonnées
$\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ . Le calcul $xy'-x'y$ sert à tester la colinéarité, pas l’orthogonalité.
« Simplifier » par un vecteur
$\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec w$ n’implique pas $\vec v=\vec w$ : avec $\vec u\,(1\,;\,0)$ , $\vec v\,(2\,;\,5)$ et $\vec w\,(2\,;\,-1)$ , les deux produits valent $2$ .
Croire qu’un produit nul vient d’un vecteur nul
$\vec u\cdot\vec v=0$ ne signifie pas que $\vec u$ ou $\vec v$ est nul : deux vecteurs orthogonaux non nuls ont un produit scalaire nul.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Cinq séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, le produit scalaire se voit sur la figure : tu déplaces un point jusqu’à obtenir la bonne valeur de $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ , tu règles un vecteur pour qu’il devienne orthogonal à un autre, tu fais tourner une équerre dont le sommet décrit un cercle. Au niveau 2, tu tranches des débats « Qui a raison ? » et tu repères la première ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu calcules des produits scalaires, des angles et des longueurs, avec Alphi si tu as besoin d’un indice.

1Définir le produit scalaire dans un triangle
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places $C$ pour que $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-6$ , tu touches les points $M$ qui rendent $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}$ négatif et tu règles le produit scalaire pour obtenir un angle de $60^{\circ}$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la méthode de calcul, tu dis si un angle est aigu, droit ou obtus et pourquoi, et tu départages deux élèves sur un triangle équilatéral de côté $10$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des produits scalaires et des angles dans des triangles, un carré ou un parallélogramme, et une longueur dans un triangle isocèle.
2Appliquer les propriétés algébriques du produit scalaire
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places la pointe d’un vecteur pour que $(\vec u+\vec v)\cdot\vec w=0$ , tu règles $k$ pour que $(k\vec u)\cdot\vec v=-6$ et tu formes tous les produits d’un développement.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu nommes la propriété utilisée à chaque étape, tu départages deux élèves qui développent $\|\vec u+\vec v\|^2$ et tu expliques pourquoi on ne simplifie pas $\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec w$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu développes et réduis, tu calcules $\|\vec u+\vec v\|^2$ et tu déduis $\vec u\cdot\vec v$ de trois normes.
3Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places un point pour que $\vec u\cdot\vec v=0$ , tu règles une coordonnée pour rendre deux vecteurs orthogonaux et tu choisis un vecteur qui fait un angle de $45^{\circ}$ avec un autre.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la formule $xx'+yy'$ et la condition d’orthogonalité, tu remets en ordre une preuve de perpendicularité et tu trouves la première ligne fausse d’une copie.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des produits scalaires et des angles à partir de coordonnées, tu trouves $x$ pour que deux vecteurs soient orthogonaux et un vecteur orthogonal de norme $10$ .
4Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places $C$ pour que le triangle soit rectangle en $A$ , tu repères les angles droits d’un quadrilatère et tu places $D$ pour que les diagonales d’un parallélogramme soient perpendiculaires.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu traduis un angle droit par un produit scalaire, tu trouves la première ligne fausse de la copie de Clémence et tu relies chaque nature de parallélogramme à la condition qui la prouve.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu décides si un triangle est rectangle et en quel sommet, tu calcules $m$ pour obtenir un angle droit et tu trouves la nature d’un parallélogramme.
5Identifier un lieu géométrique défini par un produit scalaire
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ , tu touches la figure qui les montre tous et tu places le centre du cercle qui passe par trois points.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la preuve qui mène au cercle de diamètre $[AB]$ , tu trouves la première ligne fausse de Jade et tu expliques l’erreur de Tom.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu donnes le centre et le rayon du cercle, tu trouves les points du cercle sur un axe et tu calcules la plus grande distance d’une équerre qui tourne à la droite $(AB)$ .

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Questions fréquentes

Comment calculer un produit scalaire ?

Il y a quatre méthodes : avec les longueurs et le cosinus de l’angle, avec la projection orthogonale, avec les coordonnées dans un repère orthonormé ( $xx'+yy'$ ), ou avec les seules normes grâce au développement de $\|\vec u+\vec v\|^2$ . On choisit celle qui utilise les données de l’énoncé.

Comment montrer que deux vecteurs sont orthogonaux ?

On calcule leur produit scalaire : ils sont orthogonaux si et seulement s’il est nul. En coordonnées, $\vec u\,(x\,;\,y)$ et $\vec v\,(x'\,;\,y')$ sont orthogonaux si et seulement si $xx'+yy'=0$ .

Quelle est la formule d’Al-Kashi ?

Dans un triangle $ABC$ , $BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\times AC\times\cos\widehat{BAC}$ . Elle permet de calculer un côté à partir des deux autres et de l’angle qu’ils forment, ou un angle à partir des trois côtés.

Un produit scalaire peut-il être négatif ?

Oui : le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est négatif quand l’angle qu’ils forment est obtus, nul quand il est droit et positif quand il est aigu.

Quel est l’ensemble des points M tels que les vecteurs MA et MB sont orthogonaux ?

C’est le cercle de diamètre $[AB]$ . En notant $I$ le milieu de $[AB]$ , on a $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-IA^2$ , qui est nul exactement quand $MI=IA$ .

Pour aller plus loin

Le produit scalaire s’appuie sur les vecteurs vus en Seconde et sur le cosinus : revois au besoin la trigonométrie de 3e. Quand l’angle est droit, la formule d’Al-Kashi redonne le théorème de Pythagore. Pour l’épreuve de fin d’année, lis notre guide de l’épreuve anticipée de maths. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Produit scalaire en Première : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en Première

L’essentiel du cours

Définition avec le cosinus et la projection

Règles de calcul et formule d’Al-Kashi

Dans un repère orthonormé

Orthogonalité et cercle de diamètre $[AB]$

Deux exemples résolus

Un angle à partir de coordonnées

Une longueur avec Al-Kashi

Cinq exercices corrigés

Avec le cosinus

Avec une projection

Développer avec les règles de calcul

Un triangle rectangle dans un repère

Le cercle de diamètre $[AB]$

Les pièges à éviter

Oublier le cosinus

Prendre le mauvais angle

Oublier le double produit

Mélanger les coordonnées

« Simplifier » par un vecteur

Croire qu’un produit nul vient d’un vecteur nul

Ce chapitre dans Mathflow

1Définir le produit scalaire dans un triangle

2Appliquer les propriétés algébriques du produit scalaire

3Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé

4Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité

5Identifier un lieu géométrique défini par un produit scalaire

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Produit scalaire en Première : cours, exemples et exercices

Définition avec le cosinus et la projection

Règles de calcul et formule d’Al-Kashi

Dans un repère orthonormé

Orthogonalité et cercle de diamètre [AB][AB][AB]

Un angle à partir de coordonnées

Une longueur avec Al-Kashi

Avec le cosinus

Avec une projection

Développer avec les règles de calcul

Un triangle rectangle dans un repère

Le cercle de diamètre [AB][AB][AB]

Oublier le cosinus

Prendre le mauvais angle

Oublier le double produit

Mélanger les coordonnées

« Simplifier » par un vecteur

Croire qu’un produit nul vient d’un vecteur nul

1Définir le produit scalaire dans un triangle

2Appliquer les propriétés algébriques du produit scalaire

3Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé

4Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité

5Identifier un lieu géométrique défini par un produit scalaire

Les maths, c’est une question de flow.

Orthogonalité et cercle de diamètre $[AB]$

Le cercle de diamètre $[AB]$