Suites arithmétiques en Première : cours et exercices

Q: Comment savoir si une suite est arithmétique ?

On calcule u_{n+1}-u_n pour tout entier naturel n. Si le résultat est un nombre constant r, qui ne dépend pas de n, la suite est arithmétique de raison r. Si deux écarts consécutifs sont différents, elle ne l’est pas.

Q: Quelle est la formule d’une suite arithmétique ?

Pour une suite arithmétique de raison r : u_n=u_0+nr, ou u_n=u_1+(n-1)r si elle commence au rang 1. Plus généralement, u_n=u_p+(n-p)r pour tous entiers naturels n et p.

Programme de Première

Ce que tu dois savoir faire en Première

Les suites arithmétiques sont le premier modèle de suite formalisé en spécialité maths de Première. Elles décrivent les évolutions à accroissements constants : une bougie qui raccourcit de $1{,}5$ cm par heure, une tirelire qui reçoit $15$ € par semaine, un club qui gagne $15$ adhérents par an. Elles prolongent les fonctions affines du collège et de la Seconde.

Le programme demande de calculer le terme général et la somme de termes consécutifs, de démontrer la formule $1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ , de déterminer le sens de variation, de conjecturer dans des cas simples la limite éventuelle (sans formalisation, la notion de limite restant intuitive en Première) et de modéliser un phénomène discret à croissance linéaire. Les généralités (forme explicite, récurrence, notations) sont sur la page suites numériques en Première.

Dans Mathflow, le chapitre compte trois compétences, chacune en trois niveaux.

Les 3 compétences du chapitre

Formuler et calculer des suites arithmétiques
Représenter graphiquement une suite arithmétique
Analyser les variations et les limites de suites arithmétiques

Cours

L’essentiel du cours

La définition, le terme général, les sommes, puis le graphique, les variations et la limite.

Définition et reconnaissance

Pour prouver qu’une suite est arithmétique, on calcule $u_{n+1}-u_n$ pour tout $n$ : si le résultat est un nombre $r$ qui ne dépend pas de $n$ , la suite est arithmétique de raison $r$ .
Pour prouver qu’une suite n’est pas arithmétique, un contre-exemple suffit : deux écarts consécutifs différents.
Une suite constante est arithmétique, de raison $0$ .

Exemple : pour $u_n=(n+3)^2-(n+1)^2$ , on développe et on réduit : $u_n=4n+8$ . Alors $u_{n+1}-u_n=4(n+1)+8-(4n+8)=4$ pour tout $n$ : la suite est arithmétique de raison $4$ et de premier terme $u_0=8$ .

Le terme général

u_n=u_0+nr\qquad u_n=u_p+(n-p)r

Démonstration : on additionne les $n$ égalités $u_1-u_0=r$ , $u_2-u_1=r$ , …, $u_n-u_{n-1}=r$ . Les termes intermédiaires s’éliminent et il reste $u_n-u_0=nr$ .

Si la suite commence au rang $1$ , $u_n=u_1+(n-1)r$ .
Avec deux termes, on retrouve la raison : si $u_2=7$ et $u_8=25$ , il y a $6$ pas de $u_2$ à $u_8$ , donc $6r=18$ , $r=3$ , puis $u_0=u_2-2r=1$ .

La forme $u_n=u_0+nr$ montre le lien avec les fonctions affines : $u_n=f(n)$ , avec $f(x)=rx+u_0$ .

Somme de termes consécutifs

Démonstration : on écrit la somme $S$ dans l’ordre croissant, puis dans l’ordre décroissant, et on additionne terme à terme. Chacune des $n$ colonnes vaut $n+1$ , donc $2S=n(n+1)$ .

Plus généralement, la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier :

u_p+u_{p+1}+\dots+u_n=(n-p+1)\times\dfrac{u_p+u_n}{2}

Pour $u_n=3+2n$ , la somme $u_0+u_1+\dots+u_{19}$ compte $20$ termes, avec $u_{19}=41$ : elle vaut $20\times\dfrac{3+41}{2}=440$ . Attention au compte : de $u_0$ à $u_n$ , il y a $n+1$ termes.

Graphique, sens de variation et limite

Les points $(n\,;\,u_n)$ d’une suite arithmétique sont alignés sur la droite d’équation $y=rx+u_0$ : la raison est la pente de cette droite. On ne relie pas les points, car la suite n’est définie que pour des rangs entiers. Réciproquement, si les points d’une suite sont alignés, la suite est arithmétique.

Si $r>0$ , les termes finissent par dépasser n’importe quel nombre, aussi grand soit-il : on dit que la suite tend vers $+\infty$ . Si $r<0$ , elle tend vers $-\infty$ . En Première, ces limites se constatent sur des exemples, sans définition formelle. Une raison très petite ne fait que retarder les choses : avec $u_n=0{,}01n$ , on dépasse $1\,000$ dès le rang $100\,001$ .

Pour trouver le premier rang à partir duquel $u_n$ dépasse un seuil, on résout une inéquation en $n$ , en gardant la plus petite valeur entière qui convient, ou on programme une boucle qui calcule les termes jusqu’au seuil.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Retrouver une suite à partir de deux termes
La suite arithmétique $(u_n)$ vérifie $u_5=8$ et $u_{12}=29$ . Calcule sa raison et $u_0$ , puis $u_{50}$ . Le nombre $200$ est-il un terme de la suite ?
Solution
De $u_5$ à $u_{12}$ , il y a $7$ pas : $7r=29-8=21$ , donc $r=3$ .
$u_0=u_5-5r=8-15=-7$ , d’où $u_n=-7+3n$ pour tout entier naturel $n$ , et $u_{50}=-7+150=143$ .
On résout $-7+3n=200$ : $3n=207$ , donc $n=69$ , un entier naturel. Le nombre $200$ est le terme $u_{69}$ .
Exemple 2
Des économies qui augmentent
Sacha met $5$ € de côté la première semaine, puis chaque semaine $2$ € de plus que la semaine précédente : $7$ €, puis $9$ €, et ainsi de suite. On note $e_n$ la somme, en euros, mise de côté la $n$ -ième semaine, pour $n\geq1$ .
Combien met-il de côté la $30$ e semaine ? Combien a-t-il économisé en tout au bout de $30$ semaines ?
Solution
$(e_n)$ est arithmétique de premier terme $e_1=5$ et de raison $2$ : $e_n=5+2(n-1)$ . Donc $e_{30}=5+58=63$ € la $30$ e semaine.
La somme $e_1+e_2+\dots+e_{30}$ compte $30$ termes :
$30\times\dfrac{e_1+e_{30}}{2}=30\times\dfrac{5+63}{2}=1\,020$
Au bout de $30$ semaines, Sacha a économisé $1\,020$ €.

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Arithmétique ou pas ?
Pour chaque suite définie sur $\mathbb{N}$ , dis si elle est arithmétique. Si oui, donne sa raison et son premier terme.
- $u_n=7-4n$
- $v_n=n^2+1$
- $w_0=3$ et $w_{n+1}=w_n-0{,}5$
- $t_n=(n+3)^2-(n+1)^2$
Voir le corrigé
- Pour tout $n$ , $u_{n+1}-u_n=7-4(n+1)-(7-4n)=-4$ donc la suite est arithmétique de raison $-4$ , avec $u_0=7$ .
- $v_0=1$ , $v_1=2$ , $v_2=5$ : les écarts $1$ et $3$ sont différents, la suite n’est pas arithmétique.
- On ajoute toujours $-0{,}5$ : arithmétique de raison $-0{,}5$ , avec $w_0=3$ .
- $t_n=4n+8$ , donc $t_{n+1}-t_n=4$ : arithmétique de raison $4$ , avec $t_0=8$ .
Exercice 2
Un terme, puis un seuil
La suite $(u_n)$ est arithmétique, de premier terme $u_0=180$ et de raison $-7$ .
1. Exprime $u_n$ en fonction de $n$ et calcule $u_{15}$ .
2. À partir de quel rang les termes sont-ils strictement négatifs ?
Voir le corrigé
1. $u_n=180-7n$ et $u_{15}=180-105=75$ .
2. $180-7n<0$ équivaut à $7n>180$ , soit $n>\dfrac{180}{7}\approx25{,}7$ . Le premier entier qui convient est $26$ : $u_{25}=5$ et $u_{26}=-2$ . La suite étant décroissante, tous les termes sont strictement négatifs à partir du rang $26$ .
Exercice 3
Une suite lue sur un graphique
Les points $(n\,;\,u_n)$ d’une suite arithmétique, définie pour $n\geq0$ , sont sur la droite qui passe par $A(2\,;\,9)$ et $B(7\,;\,-1)$ .
1. Calcule la raison et le premier terme, puis exprime $u_n$ en fonction de $n$ .
2. Le point $C(20\,;\,-27)$ fait-il partie du nuage de points de la suite ?
3. La droite coupe l’axe des abscisses. Un terme de la suite est-il nul ?
Voir le corrigé
1. $r=\dfrac{-1-9}{7-2}=-2$ , puis $u_0=u_2-2r=9+4=13$ . Donc $u_n=13-2n$ .
2. $u_{20}=13-40=-27$ : oui, $C$ est le point de rang $20$ .
3. $13-2n=0$ donne $n=6{,}5$ , qui n’est pas un entier : la droite coupe l’axe entre les rangs $6$ et $7$ , où il n’y a aucun point de la suite. Aucun terme n’est nul ( $u_6=1$ et $u_7=-1$ ).
Exercice 4
Deux sommes
Calcule $S=1+2+\dots+100$ , puis $T=7+11+15+\dots+207$ .
Voir le corrigé
$S=\dfrac{100\times101}{2}=5\,050$ .
Les termes de $T$ forment une suite arithmétique de raison $4$ , qui va de $7$ à $207$ . Le nombre de pas est $\dfrac{207-7}{4}=50$ , donc il y a $51$ termes.
$T=51\times\dfrac{7+207}{2}=51\times107=5\,457$
Exercice 5
Qui aura le plus d’argent ?
Léa a $500$ € et ajoute $40$ € à son épargne chaque mois. Noah a $1\,100$ € et ajoute $25$ € chaque mois. On note $\ell_n$ et $m_n$ les sommes, en euros, de Léa et de Noah au bout de $n$ mois, pour $n$ entier naturel.
1. Exprime $\ell_n$ et $m_n$ en fonction de $n$ .
2. On pose $d_n=\ell_n-m_n$ . Montre que $(d_n)$ est arithmétique et donne son sens de variation.
3. Au bout de combien de mois Léa aura-t-elle, pour la première fois, strictement plus que Noah ?
Voir le corrigé
1. $(\ell_n)$ et $(m_n)$ sont arithmétiques : $\ell_n=500+40n$ et $m_n=1\,100+25n$ .
2. On a $d_n=500+40n-1\,100-25n$ , soit $d_n=-600+15n$ . Donc $d_{n+1}-d_n=15$ : $(d_n)$ est arithmétique de raison $15>0$ , donc strictement croissante. L’écart en faveur de Léa augmente de $15$ € par mois.
3. $d_n>0$ équivaut à $15n>600$ , soit $n>40$ . Au bout de $40$ mois, ils ont tous les deux $2\,100$ € ; au bout de $41$ mois, Léa a $2\,140$ € et Noah $2\,125$ €. C’est donc au bout de $41$ mois.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Les erreurs sur les suites arithmétiques viennent surtout du comptage : des pas, des termes ou du signe de la raison.

Oublier le signe de la raison
La suite $20$ , $16$ , $12$ , $8$ a pour raison $-4$ , et non $4$ : $u_1-u_0=16-20=-4$ .
Mal compter les pas
De $u_3$ à $u_7$ , il y a $4$ pas, et non $7$ : $u_7=u_3+4r$ . De même, $u_{11}=u_4+7r$ .
Se tromper sur le nombre de termes
La somme $7+11+\dots+207$ , de raison $4$ , compte $\frac{207-7}{4}+1=51$ termes : on ajoute $1$ au nombre de pas.
Conclure à partir de trois termes
$u_n=n^3-3n^2+4n+1$ commence par $1$ , $3$ , $5$ , mais $u_3=13$ : la suite n’est pas arithmétique. Il faut calculer $u_{n+1}-u_n$ pour tout $n$ .
Lire le sens de variation sur le premier terme
$u_n=-12+0{,}5n$ part d’un terme négatif, mais sa raison $0{,}5$ est positive : la suite est strictement croissante.
Croire qu’une petite raison fait converger
Avec $u_0=50$ et $u_{n+1}=u_n-0{,}1$ , les termes ne se rapprochent pas de $0$ : ils passent sous $0$ au rang $501$ , puis sous $-1\,000$ , et tendent vers $-\infty$ .

Dans Mathflow

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Trois séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, les suites arithmétiques se voient : tu fais fondre une bougie heure par heure, tu empiles des chaises, tu poses des points en escalier sur un quadrillage. Au niveau 2, tu tranches des débats « Qui a raison ? » et tu traques la ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu calcules, tu cherches des seuils et tu modélises, avec Alphi, le coach IA, si tu as besoin d’un indice.

1Formuler et calculer des suites arithmétiques
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu repères les listes à écarts constants, tu trouves le nombre mal recopié d’une suite, tu fais fondre une bougie jusqu’à $h_4$ et tu avances minute par minute jusqu’à ce que deux réservoirs contiennent autant d’eau.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition, tu départages deux élèves sur la raison de $20$ , $16$ , $12$ , $8$ ou sur une suite constante, et tu repères l’erreur d’une élève qui remonte de $u_3$ à $u_0$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des termes et des raisons à partir de deux termes, tu modélises un placement à intérêts simples ou l’allongement d’un ressort, et tu prouves qu’une suite est arithmétique.
2Représenter graphiquement une suite arithmétique
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu fais glisser un terme pour que les écarts restent égaux, tu règles $u_0$ et $r$ pour poser les points sur des cibles et tu règles une raison pour obtenir deux droites parallèles.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu lis la raison sur un graphique en tenant compte de l’échelle, tu départages deux élèves sur un terme nul et tu repères une raison mal calculée entre $u_2$ et $u_6$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules la raison à partir de deux points, même quand seuls les rangs pairs sont tracés, tu écris $u_n$ en fonction de $n$ et tu cherches un point commun à deux nuages.
3Analyser les variations et les limites de suites arithmétiques
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu ranges des suites selon leur sens de variation, tu cherches la première semaine où une collection dépasse $100$ cartes et tu places une barrière pour que $u_{10}$ soit le premier terme au-dessus.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu justifies le sens de variation par $u_{n+1}-u_n$ , tu départages deux élèves sur une suite qui descend de $0{,}1$ à chaque rang et tu repères un sens d’inégalité oublié.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu cherches le premier rang qui dépasse un seuil, tu lis le résultat d’un programme et tu compares la croissance de deux plantes.

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Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est arithmétique ?

On calcule $u_{n+1}-u_n$ pour tout entier naturel $n$ . Si le résultat est un nombre constant $r$ , qui ne dépend pas de $n$ , la suite est arithmétique de raison $r$ . Si deux écarts consécutifs sont différents, elle ne l’est pas.

Quelle est la formule d’une suite arithmétique ?

Pour une suite arithmétique de raison $r$ : $u_n=u_0+nr$ , ou $u_n=u_1+(n-1)r$ si elle commence au rang $1$ . Plus généralement, $u_n=u_p+(n-p)r$ pour tous entiers naturels $n$ et $p$ .

Comment calculer la somme des termes d’une suite arithmétique ?

On multiplie le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier terme : $u_p+\dots+u_n=(n-p+1)\times\frac{u_p+u_n}{2}$ . En particulier, $1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ .

Comment trouver la raison avec deux termes ?

On divise l’écart entre les deux termes par le nombre de pas qui les séparent : $r=\frac{u_n-u_p}{n-p}$ . Par exemple, avec $u_5=8$ et $u_{12}=29$ , $r=\frac{21}{7}=3$ .

Quelle est la limite d’une suite arithmétique ?

Si la raison est strictement positive, les termes dépassent n’importe quel nombre : la suite tend vers $+\infty$ . Si elle est strictement négative, la suite tend vers $-\infty$ . Si elle est nulle, la suite est constante.

Pour aller plus loin

Les généralités sur les suites (forme explicite, récurrence, représentation, première idée de limite) sont sur la page suites numériques en Première. L’autre modèle du programme est celui des suites géométriques, pour les évolutions à taux constant. Une suite arithmétique est la version « en escalier » d’une fonction affine. Pour l’examen de fin d’année, lis notre guide de l’épreuve anticipée de maths en Première. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Suites arithmétiques en Première : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en Première

L’essentiel du cours

Définition et reconnaissance

Le terme général

Somme de termes consécutifs

Graphique, sens de variation et limite

Deux exemples résolus

Retrouver une suite à partir de deux termes

Des économies qui augmentent

Cinq exercices corrigés

Arithmétique ou pas ?

Un terme, puis un seuil

Une suite lue sur un graphique

Deux sommes

Qui aura le plus d’argent ?

Les pièges à éviter

Oublier le signe de la raison

Mal compter les pas

Se tromper sur le nombre de termes

Conclure à partir de trois termes

Lire le sens de variation sur le premier terme

Croire qu’une petite raison fait converger

Ce chapitre dans Mathflow

1Formuler et calculer des suites arithmétiques

2Représenter graphiquement une suite arithmétique

3Analyser les variations et les limites de suites arithmétiques

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.