Suites géométriques en Première : cours, exercices corrigés

Q: Quelle est la formule d’une suite géométrique ?

Le terme général est u_n=u_0\times q^n si la suite commence à u_0, et u_n=u_1\times q^{n-1} si elle commence à u_1. Plus généralement, u_n=u_p\times q^{n-p} pour n\ge p.

Q: Comment calculer la somme des termes d’une suite géométrique ?

Pour q\neq1, 1+q+\dots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}. Pour des termes consécutifs, la somme vaut le premier terme multiplié par \frac{1-q^N}{1-q}, où N est le nombre de termes.

Q: Comment savoir si une suite géométrique est croissante ou décroissante ?

Si u_0>0, elle est croissante quand q>1 et décroissante quand 0<q<1 ; si u_0<0, c’est l’inverse. Si q<0, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n’est ni croissante ni décroissante.

Q: Quelle est la différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique ?

Une suite arithmétique ajoute toujours le même nombre (accroissements constants), une suite géométrique multiplie toujours par le même nombre (taux d’évolution constant). Une hausse de 50 € par an est arithmétique, une hausse de 5\,\% par an est géométrique.

Programme de Première

Ce que tu dois savoir faire en Première

Les suites géométriques font partie du programme d’algèbre de la spécialité maths de Première, avec les suites numériques et les suites arithmétiques. Le programme demande d’automatiser un réflexe : une évolution à taux fixe (une hausse de $3\,\%$ par an, une baisse de $20\,\%$ par an) se modélise par une suite géométrique, et l’on repère cette suite en regardant le quotient de deux termes consécutifs.

Les attendus sont précis : calculer le terme général, calculer une somme de termes consécutifs grâce à $1+q+\dots+q^n$ , déterminer le sens de variation et conjecturer une limite sur des exemples, sans formalisation. Le terme général et la somme $1+q+\dots+q^n$ font partie des démonstrations du programme. Le chapitre prépare aussi la fonction exponentielle, qui prolonge les évolutions géométriques au temps continu.

Dans Mathflow, le chapitre compte trois compétences, chacune en trois niveaux.

Les 3 compétences du chapitre

Formuler et calculer des suites géométriques
Représenter graphiquement une suite géométrique
Analyser les variations et les limites de suites géométriques

Cours

L’essentiel du cours

La définition, le terme général, la somme des termes, puis le sens de variation et le comportement des termes quand $n$ devient grand.

Définition et raison

Pour prouver qu’une suite à termes non nuls est géométrique, on montre que le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est le même pour tout $n$ .
Pour prouver qu’une suite n’est pas géométrique, un contre-exemple suffit : deux quotients de termes consécutifs différents.
Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par $1+\dfrac{t}{100}$ ; baisser de $t\,\%$ revient à multiplier par $1-\dfrac{t}{100}$ .

Évolution à chaque étape	Raison $q$
hausse de $5\,\%$	$1{,}05$
baisse de $20\,\%$	$0{,}8$
doublement	$2$
division par deux	$0{,}5$

Le terme général

u_n=u_p\times q^{\,n-p}

L’exposant compte le nombre de multiplications par $q$ entre les deux termes. De $u_0$ à $u_n$ , il y en a $n$ ; si la suite commence à $u_1$ , il y en a $n-1$ et $u_n=u_1\times q^{n-1}$ .

Par exemple, pour $u_0=5$ et $q=3$ : $u_4=5\times3^4=5\times81=405$ .

La somme de termes consécutifs

Pour tout nombre réel $q\neq1$ et tout entier naturel $n$ :

1+q+q^2+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

Pour une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison $q\neq1$ , on met le premier terme en facteur : la somme vaut le premier terme multiplié par $\dfrac{1-q^N}{1-q}$ , où $N$ est le nombre de termes.

\begin{aligned}2+6+\dots+1\,458&=2\times\dfrac{1-3^7}{1-3}\\&=2\times1\,093=2\,186\end{aligned}

Ici $1\,458=2\times3^6$ : la somme va de $2\times3^0$ à $2\times3^6$ , elle compte $7$ termes.

Sens de variation et limite

Pour $u_n=u_0\times q^n$ , on a $u_{n+1}-u_n=u_0\times q^n\times(q-1)$ . Avec $u_0>0$ et $q>0$ , le signe de cette différence est celui de $q-1$ . Pour $u_0>0$ et $q\neq0$ :

$q>1$ : la suite est strictement croissante et ses termes finissent par dépasser n’importe quel nombre.
$q=1$ : la suite est constante, égale à $u_0$ .
$0<q<1$ : la suite est strictement décroissante et ses termes se rapprochent de $0$ .
$-1<q<0$ : les termes changent de signe à chaque rang, la suite n’est ni croissante ni décroissante, et ils se rapprochent de $0$ .
$q\le-1$ : les termes changent de signe à chaque rang sans se rapprocher d’un nombre ; la suite n’a pas de limite.

En Première, ces limites se conjecturent sur des exemples : calculs de termes, tableur, programme qui cherche un seuil. Leur démonstration relève de la Terminale.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Montrer qu’une suite est géométrique
Pour tout entier naturel $n$ , $u_n=\dfrac{3^{n+1}}{2}$ . Montre que $(u_n)$ est géométrique, donne sa raison et son premier terme, calcule $u_4$ et donne son sens de variation.
Solution
Tous les termes sont strictement positifs. Pour tout entier naturel $n$ :
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{3^{n+2}}{2}\times\dfrac{2}{3^{n+1}}=3$
Le quotient ne dépend pas de $n$ : la suite est géométrique de raison $q=3$ et de premier terme $u_0=\dfrac{3}{2}=1{,}5$ .
$u_4=\dfrac{3^5}{2}=\dfrac{243}{2}=121{,}5$ . On le retrouve avec $u_0\times q^4=1{,}5\times81=121{,}5$ .
Le premier terme est positif et $q>1$ : la suite est strictement croissante.
Exemple 2
Un smartphone qui perd $20\,\%$ par an
Un smartphone coûte $900$ € neuf. Sa valeur baisse de $20\,\%$ par an. On note $v_n$ sa valeur, en euros, au bout de $n$ années. À partir de combien d’années vaut-il moins de $300$ € ?
Solution
Baisser de $20\,\%$ revient à multiplier par $1-0{,}2=0{,}8$ : $v_{n+1}=0{,}8\,v_n$ . La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$ et de premier terme $v_0=900$ , donc $v_n=900\times0{,}8^n$ .
Comme $v_0>0$ et $0<0{,}8<1$ , la suite est strictement décroissante : une fois sous $300$ €, la valeur y reste.
$n$ $3$ $4$ $5$
$v_n$ (€) $460{,}80$ $368{,}64$ $294{,}91$
Les valeurs sont arrondies au centime. Le smartphone vaut moins de $300$ € à partir de $5$ années.

$n$	$3$	$4$	$5$
$v_n$ (€)	$460{,}80$	$368{,}64$	$294{,}91$

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Reconnaître une suite géométrique
Pour chaque liste, dis si ses nombres peuvent être les premiers termes d’une suite géométrique. Si oui, donne la raison.
1. $2$ ; $6$ ; $18$ ; $54$
2. $5$ ; $10$ ; $20$ ; $30$
3. $81$ ; $27$ ; $9$ ; $3$
4. $3$ ; $-6$ ; $12$ ; $-24$
Voir le corrigé
1. $\dfrac{6}{2}=\dfrac{18}{6}=\dfrac{54}{18}=3$ : oui, de raison $3$ .
2. $\dfrac{10}{5}=2$ mais $\dfrac{30}{20}=1{,}5$ : les quotients diffèrent, ce n’est pas une suite géométrique.
3. $\dfrac{27}{81}=\dfrac{9}{27}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ : oui, de raison $\dfrac{1}{3}$ .
4. $\dfrac{-6}{3}=\dfrac{12}{-6}=\dfrac{-24}{12}=-2$ : oui, de raison $-2$ . Les signes alternent.
Exercice 2
Une raison négative
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=-2$ , avec $u_1=6$ .
1. Calcule $u_0$ , $u_2$ et $u_3$ .
2. Exprime $u_n$ en fonction de $n$ .
3. Calcule $u_{10}$ .
Voir le corrigé
1. $u_1=q\times u_0$ , donc $u_0=\dfrac{6}{-2}=-3$ . Puis $u_2=-2\times6=-12$ et $u_3=-2\times(-12)=24$ .
2. $u_n=u_0\times q^n=-3\times(-2)^n$ . En partant de $u_1$ , on écrit aussi $u_n=6\times(-2)^{n-1}$ .
3. $u_{10}=-3\times(-2)^{10}=-3\times1\,024=-3\,072$ .
Exercice 3
Retrouver la raison à partir de deux termes
La suite $(u_n)$ est géométrique, avec $u_3=40$ et $u_6=5$ .
1. Calcule sa raison $q$ .
2. Calcule $u_0$ , puis $u_8$ .
3. Donne son sens de variation.
Voir le corrigé
1. $u_6=u_3\times q^3$ , donc $q^3=\dfrac{5}{40}=\dfrac{1}{8}$ . Le seul nombre réel dont le cube vaut $\dfrac{1}{8}$ est $\dfrac{1}{2}$ : $q=0{,}5$ .
2. $u_3=u_0\times q^3$ , donc $u_0=40\div\dfrac{1}{8}=320$ . Puis $u_8=320\times0{,}5^8=\dfrac{320}{256}=1{,}25$ .
3. $u_0>0$ et $0<q<1$ : la suite est strictement décroissante.
Exercice 4
Des versements qui augmentent de $10\,\%$
Sam verse $500$ € sur un compte la première année, puis chaque année $10\,\%$ de plus que l’année précédente. On note $v_n$ le versement de l’année $n$ , avec $v_1=500$ .
1. Exprime $v_n$ en fonction de $n$ , puis calcule $v_{10}$ arrondi au centime.
2. Calcule le total versé en $10$ ans, sans compter d’éventuels intérêts, arrondi au centime.
Voir le corrigé
1. Augmenter de $10\,\%$ revient à multiplier par $1{,}1$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $1{,}1$ . Elle commence à $v_1$ , donc $v_n=500\times1{,}1^{n-1}$ et $v_{10}=500\times1{,}1^9\approx1\,178{,}97$ €.
2. La somme va de $v_1$ à $v_{10}$ : elle compte $10$ termes, de premier terme $500$ .
$\begin{aligned}S&=500\times\dfrac{1-1{,}1^{10}}{1-1{,}1}\\&=5\,000\times\left(1{,}1^{10}-1\right)\approx7\,968{,}71\end{aligned}$
Sam a versé environ $7\,968{,}71$ € en $10$ ans.
Exercice 5
Intérêts simples ou intérêts composés ?
On place $2\,000$ € de deux façons. Placement A : $100$ € d’intérêts s’ajoutent chaque année. Placement B : le capital augmente de $4\,\%$ par an. On note $a_n$ et $b_n$ les capitaux, en euros, au bout de $n$ années.
1. Exprime $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$ . Quelle suite est arithmétique, laquelle est géométrique ?
2. Compare les deux placements au bout de $11$ ans, puis de $12$ ans.
3. Au bout de combien d’années le placement B dépasse-t-il le placement A pour la première fois ? Reste-t-il devant ensuite ?
Voir le corrigé
1. $a_n=2\,000+100n$ : suite arithmétique de raison $100$ . $b_n=2\,000\times1{,}04^n$ : suite géométrique de raison $1{,}04$ .
2. $a_{11}=3\,100$ et $b_{11}\approx3\,078{,}91$ : A est encore devant. $a_{12}=3\,200$ et $b_{12}\approx3\,202{,}06$ : B est passé devant.
3. Un tableau de valeurs (calculatrice ou tableur) montre que $b_n<a_n$ pour $n$ de $1$ à $11$ : B dépasse A pour la première fois au bout de $12$ ans. Ensuite, B gagne chaque année $b_{n+1}-b_n=0{,}04\,b_n$ . Comme $(b_n)$ est croissante et $b_{12}>2\,500$ , ce gain dépasse $0{,}04\times2\,500=100$ € pour tout $n\ge12$ : l’écart avec A ne fait que grandir.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

La plupart des erreurs viennent d’un pourcentage mal traduit ou d’un exposant décalé.

Ajouter au lieu de multiplier
Une hausse de $3\,\%$ par an ne s’écrit ni $u_{n+1}=u_n+3$ ni $u_{n+1}=0{,}03\,u_n$ , mais $u_{n+1}=1{,}03\,u_n$ .
Se tromper d’exposant
Si la suite commence à $u_1$ , alors $u_n=u_1\times q^{n-1}$ : l’exposant compte les multiplications entre les deux termes, pas le rang.
Calculer $(u_0\times q)^n$
Dans $u_0\times q^n$ , la puissance porte seulement sur $q$ : $5\times2^3=40$ , alors que $(5\times2)^3=1\,000$ .
Mal compter les termes d’une somme
$1+q+\dots+q^n$ compte $n+1$ termes, d’où l’exposant $n+1$ dans la formule. Compte les termes avant d’appliquer la formule.
Oublier le signe du premier terme
$u_n=-3\times2^n$ a une raison plus grande que $1$ , et pourtant elle est décroissante : ses termes négatifs s’éloignent de $0$ vers le bas.
Additionner deux pourcentages
Deux baisses successives de $10\,\%$ multiplient par $0{,}9^2=0{,}81$ : c’est une baisse de $19\,\%$ , pas de $20\,\%$ .

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Trois séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, la raison se voit : tu règles les rebonds d’une balle, tu fais doubler des grains de case en case sur un échiquier, tu places des points qui s’envolent ou se rapprochent de l’axe. Au niveau 2, tu tranches des débats « Qui a raison ? » et tu repères l’erreur d’une copie. Au niveau 3, tu calcules des termes, des sommes et des seuils, avec Alphi quand un indice t’aide à repartir.

1Formuler et calculer des suites géométriques
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu règles les rebonds d’une balle à $75\,\%$ de la hauteur précédente, tu retrouves le jour où l’étang de nénuphars était à moitié couvert et tu fais s’éliminer les termes de $2S-S$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition, tu tranches des débats sur une suite qui démarre à $0$ ou sur la raison quand $u_0=3$ et $u_2=12$ , et tu trouves l’erreur d’Élise sur un forfait qui baisse de $15\,\%$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules un terme à partir de deux autres, tu retrouves le nombre d’abonnés d’un journal trois ans plus tôt et tu calcules la somme $3+6+12+\dots+384$ .
2Représenter graphiquement une suite géométrique
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu règles la raison pour que les points tombent dans les cercles, tu construis les points d’une population de bactéries qui augmente de $50\,\%$ par heure et tu repères le point mal placé.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu départages des élèves qui lisent un nuage de points, tu expliques l’erreur d’Emma qui écrit $u_n=3\times2^n$ et tu justifies qu’une population qui augmente de $20\,\%$ par an est géométrique.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu retrouves $u_0$ ou $u_5$ à partir de points du graphique, tu écris $u_n$ en fonction de $n$ et tu choisis une raison pour que les points changent de côté de l’axe en s’en éloignant.
3Analyser les variations et les limites de suites géométriques
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places un point pour obtenir une suite croissante à termes négatifs, tu plies une feuille de $0{,}1$ mm jusqu’à dépasser $1$ m et tu cherches le rang où $10\times1{,}5^n$ dépasse $300+50n$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la justification du sens de variation de $5\times0{,}8^n$ , tu tranches un débat sur $-3\times2^n$ et tu trouves la première ligne fausse de Nina sur une forêt qui perd $10\,\%$ par an.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu cherches quand une culture de bactéries dépasse un million, quand un placement à $10\,\%$ dépasse des gains fixes et quand un thé passe sous $25$ °C.

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Questions fréquentes

Comment montrer qu’une suite est géométrique ?

On montre que l’on passe de chaque terme au suivant en multipliant par un même nombre $q$ : $u_{n+1}=q\times u_n$ pour tout $n$ . Si les termes ne s’annulent pas, on calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et on montre qu’il ne dépend pas de $n$ .

Quelle est la formule d’une suite géométrique ?

Le terme général est $u_n=u_0\times q^n$ si la suite commence à $u_0$ , et $u_n=u_1\times q^{n-1}$ si elle commence à $u_1$ . Plus généralement, $u_n=u_p\times q^{n-p}$ pour $n\ge p$ .

Comment calculer la somme des termes d’une suite géométrique ?

Pour $q\neq1$ , $1+q+\dots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ . Pour des termes consécutifs, la somme vaut le premier terme multiplié par $\frac{1-q^N}{1-q}$ , où $N$ est le nombre de termes.

Comment savoir si une suite géométrique est croissante ou décroissante ?

Si $u_0>0$ , elle est croissante quand $q>1$ et décroissante quand $0<q<1$ ; si $u_0<0$ , c’est l’inverse. Si $q<0$ , les termes changent de signe à chaque rang : la suite n’est ni croissante ni décroissante.

Quelle est la différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique ?

Une suite arithmétique ajoute toujours le même nombre (accroissements constants), une suite géométrique multiplie toujours par le même nombre (taux d’évolution constant). Une hausse de $50$ € par an est arithmétique, une hausse de $5\,\%$ par an est géométrique.

Pour aller plus loin

Ce chapitre s’appuie sur les suites numériques et fait la paire avec les suites arithmétiques : comparer une croissance linéaire et une croissance géométrique est un grand classique. Il prépare la fonction exponentielle, son prolongement au temps continu. Les pourcentages d’évolution reviennent dans les automatismes de Première et à l’épreuve anticipée de maths. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Suites géométriques en Première : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en Première

L’essentiel du cours

Définition et raison

Le terme général

La somme de termes consécutifs

Sens de variation et limite

Deux exemples résolus

Montrer qu’une suite est géométrique

Un smartphone qui perd $20\,\%$ par an

Cinq exercices corrigés

Reconnaître une suite géométrique

Une raison négative

Retrouver la raison à partir de deux termes

Des versements qui augmentent de $10\,\%$

Intérêts simples ou intérêts composés ?

Les pièges à éviter

Ajouter au lieu de multiplier

Se tromper d’exposant

Calculer $(u_0\times q)^n$

Mal compter les termes d’une somme

Oublier le signe du premier terme

Additionner deux pourcentages

Ce chapitre dans Mathflow

1Formuler et calculer des suites géométriques

2Représenter graphiquement une suite géométrique

3Analyser les variations et les limites de suites géométriques

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Suites géométriques en Première : cours, exemples et exercices

Définition et raison

Le terme général

La somme de termes consécutifs

Sens de variation et limite

Montrer qu’une suite est géométrique

Un smartphone qui perd 20 %20\,\%20% par an

Reconnaître une suite géométrique

Une raison négative

Retrouver la raison à partir de deux termes

Des versements qui augmentent de 10 %10\,\%10%

Intérêts simples ou intérêts composés ?

Ajouter au lieu de multiplier

Se tromper d’exposant

Calculer (u0×q)n(u_0\times q)^n(u0​×q)n

Mal compter les termes d’une somme

Oublier le signe du premier terme

Additionner deux pourcentages

1Formuler et calculer des suites géométriques

2Représenter graphiquement une suite géométrique

3Analyser les variations et les limites de suites géométriques

Les maths, c’est une question de flow.

Un smartphone qui perd $20\,\%$ par an

Des versements qui augmentent de $10\,\%$

Calculer $(u_0\times q)^n$