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Maths · Première · Analyse

Nombre dérivé et tangente en Première : cours, exemples et exercices

Le nombre dérivé en Première : du taux de variation à la limite, puis à la pente de la tangente et à son équation. Voici le cours, deux exemples résolus et cinq exercices corrigés.

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−1121234BAtangentesécante
Courbe de f(x)=x2f(x)=x^2 : la sécante (AB)(AB) a pour pente 33. Quand BB se rapproche de AA, elle tend vers la tangente en AA, de pente f′(1)=2f'(1)=2.

Programme de Première

Ce que tu dois savoir faire en Première

La dérivation est le grand chapitre d’analyse de la spécialité maths de Première. Le programme distingue le point de vue local, le nombre dérivé en un point, et le point de vue global, la fonction dérivée. Cette page traite le point de vue local : il donne tout son sens aux formules de dérivation que tu verras ensuite.

Le programme introduit le nombre dérivé à partir de l’idée intuitive de limite du taux de variation, sans définition formelle de la limite. Il demande de calculer un taux de variation, d’interpréter le nombre dérivé comme une pente de tangente ou une vitesse instantanée, de le lire sur un graphique et de déterminer l’équation d’une tangente.

Dans Mathflow, le chapitre « Dérivée et tangente » compte quatre compétences, chacune en trois niveaux. Il est suivi du chapitre « Fonctions dérivées », consacré aux formules et aux règles de calcul.

Les 4 compétences du chapitre

  1. Comprendre la notion de limite d’une fonction en un point
  2. Calculer un taux de variation et interpréter graphiquement la pente
  3. Définir et calculer le nombre dérivé à l’aide d’une limite
  4. Déterminer une équation de tangente à une courbe

Cours

L’essentiel du cours

De la pente d’une sécante à l’équation d’une tangente, en passant par la limite.

Limite en un point : l’idée

Dire que f(x)f(x) tend vers LL quand xx tend vers aa, c’est dire que f(x)f(x) est aussi proche que l’on veut de LL dès que xx est assez proche de aa. On note lim⁡x→af(x)=L\lim\limits_{x\to a}f(x)=L.

La fonction f(x)=x2−1x−1f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1} n’est pas définie en 11. Pourtant, pour x≠1x\neq1, f(x)=x+1f(x)=x+1, donc f(x)f(x) se rapproche de 22 quand xx se rapproche de 11 : lim⁡x→1f(x)=2\lim\limits_{x\to1}f(x)=2.

Taux de variation et sécante

En cinématique, c’est une vitesse moyenne ; en économie, un coût moyen par unité supplémentaire.

Le nombre dérivé

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

Méthode : on développe f(a+h)−f(a)f(a+h)-f(a), on simplifie par hh (possible car h≠0h\neq0), puis on regarde ce que devient l’expression quand hh tend vers 00. Pour f(x)=x2f(x)=x^2 :

(a+h)2−a2h=2ah+h2h=2a+h\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}=\dfrac{2ah+h^2}{h}=2a+h

Quand hh tend vers 00, 2a+h2a+h tend vers 2a2a : la fonction carré est dérivable en tout réel aa et f′(a)=2af'(a)=2a.

La tangente et son équation

La tangente à la courbe au point d’abscisse aa est la droite qui passe par A(a ; f(a))A(a\,;\,f(a)) et dont la pente est f′(a)f'(a) : c’est la position limite des sécantes quand le second point se rapproche de AA.

y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a)

Sur un graphique, on lit f′(a)f'(a) comme le coefficient directeur de la tangente : on avance de 11 sur la tangente et on regarde de combien elle monte ou descend. Une tangente horizontale correspond à f′(a)=0f'(a)=0.

Quand le nombre dérivé n’existe pas

La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 00 : son taux de variation hh=1h\dfrac{\sqrt{h}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}} grandit sans limite et la tangente est verticale. La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 00 : le taux vaut 11 à droite et −1-1 à gauche.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

  1. Exemple 1

    Calculer f′(2)f'(2) par la définition

    Soit f(x)=x2−3xf(x)=x^2-3x. Calcule f′(2)f'(2) à l’aide de la définition.

    Solution

    f(2)=4−6=−2f(2)=4-6=-2 et f(2+h)=(2+h)2−3(2+h)=4+4h+h2−6−3h=h2+h−2f(2+h)=(2+h)^2-3(2+h)=4+4h+h^2-6-3h=h^2+h-2.

    Pour h≠0h\neq0 : f(2+h)−f(2)h=h2+hh=h+1\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{h^2+h}{h}=h+1.

    Quand hh tend vers 00, h+1h+1 tend vers 11 : f′(2)=1f'(2)=1.

  2. Exemple 2

    L’équation de la tangente

    Avec la même fonction f(x)=x2−3xf(x)=x^2-3x, détermine l’équation réduite de la tangente au point d’abscisse 22.

    Solution

    y=f′(2)(x−2)+f(2)=1×(x−2)+(−2)y=f'(2)(x-2)+f(2)=1\times(x-2)+(-2), soit y=x−4y=x-4.

    Contrôle : en x=2x=2, on retrouve bien y=−2=f(2)y=-2=f(2).

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

  1. Exercice 1

    Un taux de variation

    Calcule le taux de variation de f(x)=x2+1f(x)=x^2+1 entre 11 et 44. Que représente-t-il sur la courbe ?

    Voir le corrigé

    f(4)−f(1)4−1=17−23=5\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{17-2}{3}=5.

    C’est la pente de la sécante qui passe par les points (1 ; 2)(1\,;\,2) et (4 ; 17)(4\,;\,17) de la courbe.

  2. Exercice 2

    Nombre dérivé d’une fonction du second degré

    Soit f(x)=3x2f(x)=3x^2. Calcule f′(1)f'(1) à l’aide de la définition.

    Voir le corrigé

    f(1+h)=3(1+2h+h2)=3+6h+3h2f(1+h)=3(1+2h+h^2)=3+6h+3h^2, donc f(1+h)−f(1)=6h+3h2f(1+h)-f(1)=6h+3h^2.

    Pour h≠0h\neq0, le taux vaut 6+3h6+3h, qui tend vers 66 quand hh tend vers 00 : f′(1)=6f'(1)=6.

  3. Exercice 3

    Nombre dérivé de la fonction inverse

    Soit f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}. Calcule f′(2)f'(2) à l’aide de la définition.

    Voir le corrigé
    f(2+h)−f(2)=12+h−12=2−(2+h)2(2+h)=−h2(2+h)\begin{aligned}f(2+h)-f(2)&=\dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2}\\&=\dfrac{2-(2+h)}{2(2+h)}\\&=\dfrac{-h}{2(2+h)}\end{aligned}

    Pour h≠0h\neq0, le taux vaut −12(2+h)\dfrac{-1}{2(2+h)}, qui tend vers −14\dfrac{-1}{4} : f′(2)=−14f'(2)=-\dfrac{1}{4}.

  4. Exercice 4

    Écrire une tangente

    On sait que f(3)=2f(3)=2 et f′(3)=−12f'(3)=-\dfrac{1}{2}. Détermine l’équation réduite de la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse 33.

    Voir le corrigé

    y=−12(x−3)+2=−12x+32+2y=-\dfrac{1}{2}(x-3)+2=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}+2, soit y=−0,5x+3,5y=-0{,}5x+3{,}5.

  5. Exercice 5

    Une vitesse instantanée

    Un objet lâché sans vitesse initiale parcourt d(t)=4,9t2d(t)=4{,}9t^2 mètres en tt secondes. Calcule sa vitesse à l’instant t=2t=2.

    Voir le corrigé

    d(2+h)−d(2)=4,9((2+h)2−4)=4,9(4h+h2)d(2+h)-d(2)=4{,}9\big((2+h)^2-4\big)=4{,}9(4h+h^2).

    Pour h≠0h\neq0, la vitesse moyenne entre 22 et 2+h2+h vaut 4,9(4+h)=19,6+4,9h4{,}9(4+h)=19{,}6+4{,}9h, qui tend vers 19,619{,}6.

    La vitesse instantanée à t=2t=2 est d′(2)=19,6d'(2)=19{,}6 m/s.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

La plupart des erreurs viennent du calcul algébrique du taux de variation, pas de l’idée de nombre dérivé.

  • Remplacer hh par 00 trop tôt

    Avant simplification, on obtient 00\frac{0}{0}, qui n’est pas un nombre : on simplifie d’abord par hh, puis on fait tendre hh vers 00.

  • Développer (a+h)2(a+h)^2 en a2+h2a^2+h^2

    (a+h)2=a2+2ah+h2(a+h)^2=a^2+2ah+h^2 : c’est justement le terme 2ah2ah qui donne le nombre dérivé.

  • Confondre f(a)f(a) et f′(a)f'(a)

    f(a)f(a) est la hauteur du point de la courbe, f′(a)f'(a) la pente de la tangente en ce point.

  • Oublier le −a-a dans la tangente

    L’équation est y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a), et non y=f′(a)x+f(a)y=f'(a)x+f(a), sauf si a=0a=0.

  • Confondre sécante et tangente

    Le taux de variation donne la pente d’une sécante entre deux points ; le nombre dérivé, celle de la tangente en un point.

  • Se tromper de différence

    Le taux entre 22 et 55 se divise par 5−2=35-2=3, l’écart entre les abscisses, pas par 55.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Quatre séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Le nombre dérivé se comprend en bougeant : dans les séries, tu rapproches hh de 00 et tu vois les sécantes pivoter jusqu’à la tangente, tu fais tourner une droite autour d’un point pour la rendre tangente, tu règles les paramètres d’une équation. Au niveau 2, tu débusques l’erreur d’un calcul et tu interprètes le nombre dérivé en contexte. Au niveau 3, tu calcules par la définition et tu écris des tangentes, avec Alphi pour te relancer.

  1. 1Comprendre la notion de limite d’une fonction en un point

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu resserres une bande autour de x=1x=1 pour voir vers quelle hauteur f(x)f(x) s’approche et tu construis une courbe dont la limite diffère de la valeur.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu complètes la définition, tu départages deux élèves sur une fonction définie par morceaux et tu expliques pourquoi 00\frac{0}{0} n’est pas un résultat.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu calcules des limites en simplifiant un quotient et tu étudies un tarif défini par morceaux.

  2. 2Calculer un taux de variation et interpréter graphiquement la pente

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu places un point pour qu’une sécante soit parallèle à une droite et tu trouves la période où un tournesol a le plus grandi en moyenne.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu complètes la définition, tu corriges une division par le mauvais écart et tu interprètes un taux en habitants par an.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu calcules des taux de variation pour x2−3xx^2-3x, x\sqrt{x} ou 1x\frac{1}{x}, y compris en fonction de hh.

  3. 3Définir et calculer le nombre dérivé à l’aide d’une limite

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu rapproches hh de 00 et tu vois les taux se resserrer, tu fais tourner une droite jusqu’à la tangente et tu lis une vitesse instantanée.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu repères la ligne fausse d’un calcul de f′(3)f'(3) et tu traduis z′(4)=−3z'(4)=-3 pour une montgolfière.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu calcules f′(a)f'(a) par la définition pour des polynômes, pour x3x^3 ou pour 1x2\frac{1}{x^2}.

  4. 4Déterminer une équation de tangente à une courbe

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu règles mm, aa et bb pour que y=m(x−a)+by=m(x-a)+b soit la tangente et tu orientes les phares d’une voiture vers un panneau.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu expliques la formule de la tangente et pourquoi une droite de bonne pente peut ne pas être tangente.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu écris des équations réduites de tangentes, tu en cherches une parallèle à une droite et tu places l’intersection de deux tangentes.

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Questions fréquentes

Qu’est-ce que le nombre dérivé ?

C’est la limite du taux de variation f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h)-f(a)}{h} quand hh tend vers 00, lorsqu’elle existe. On le note f′(a)f'(a) ; c’est la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse aa.

Comment calculer un nombre dérivé avec la définition ?

On calcule f(a+h)−f(a)f(a+h)-f(a), on divise par hh et on simplifie (pour h≠0h\neq0), puis on cherche vers quel nombre l’expression tend quand hh tend vers 00.

Comment trouver l’équation d’une tangente ?

On calcule f(a)f(a) et f′(a)f'(a), puis on les remplace dans y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a) et on développe pour obtenir l’équation réduite.

Comment lire un nombre dérivé sur un graphique ?

On trace ou on repère la tangente au point d’abscisse aa et on lit son coefficient directeur : de combien elle monte (ou descend) quand on avance de 11.

Pour aller plus loin

La tangente est une droite : si les coefficients directeurs te posent problème, revois les fonctions affines. L’autre grand chapitre d’algèbre de l’année, ce sont les suites numériques. Pour préparer l’épreuve de fin d’année, lis notre guide de l’épreuve anticipée de maths en Première. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

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