Probabilités conditionnelles en Première : cours, exercices

Q: Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

Avec la formule P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}, pour P(A)\neq0. Dans un tableau d’effectifs, on divise l’effectif de « A et B » par l’effectif de A. Dans un arbre, P_A(B) se lit sur la branche qui va de A à B.

Q: Quelle est la différence entre « A et B » et « B sachant A » ?

P(A\cap B) est la probabilité que A et B se produisent tous les deux, sur tout l’univers. P_A(B) est la probabilité de B parmi les seules issues de A. On passe de l’une à l’autre avec P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B).

Q: Quelle est la formule des probabilités totales ?

Si A et \overline{A} partagent l’univers, P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B). Sur un arbre pondéré, on additionne les probabilités de tous les chemins qui mènent à B.

Q: Comment montrer que deux événements sont indépendants ?

On calcule P(A\cap B) et P(A)\times P(B). S’ils sont égaux, les événements sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas. Si P(A)\neq0, on peut aussi comparer P_A(B) à P(B).

Q: Indépendants et incompatibles, est-ce la même chose ?

Non. Incompatibles signifie qu’ils ne peuvent pas se produire en même temps : P(A\cap B)=0. Indépendants signifie que l’un ne change pas la probabilité de l’autre. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

Programme de Première

Ce que tu dois savoir faire en Première

Les probabilités conditionnelles ouvrent la partie probabilités de la spécialité maths de Première. Calculer une probabilité conditionnelle à partir d’un tableau croisé d’effectifs ou d’un arbre pondéré, et distinguer $P(A\cap B)$ , $P_A(B)$ et $P_B(A)$ , fait partie des automatismes de l’année.

Le chapitre formalise ensuite l’indépendance de deux événements, la formule des probabilités totales à partir d’une partition de l’univers, la succession de deux épreuves indépendantes représentée par un arbre ou un tableau, et la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques, pour $n\le4$ . Il prépare les variables aléatoires de Première et la loi binomiale de Terminale.

Dans Mathflow, le chapitre compte cinq compétences, chacune en trois niveaux.

Les 5 compétences du chapitre

Calculer une probabilité conditionnelle
Utiliser un arbre pondéré pour représenter une situation
Appliquer la formule des probabilités totales
Déterminer si deux événements sont indépendants
Calculer des probabilités sur des expériences répétées

Cours

L’essentiel du cours

La définition, l’arbre pondéré et ses règles, la formule des probabilités totales, puis l’indépendance et les épreuves répétées.

Probabilité de $B$ sachant $A$

On en déduit la formule du produit : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ . Avec un tableau d’effectifs et un tirage au hasard, $P_A(B)$ est la proportion des individus de $A$ qui sont aussi dans $B$ .

$200$ élèves	Sport	Pas de sport	Total
Filles	$48$	$72$	$120$
Garçons	$44$	$36$	$80$
Total	$92$	$108$	$200$

On choisit un élève au hasard ; $F$ : « l’élève est une fille », $S$ : « l’élève fait du sport ». $P(F\cap S)=\dfrac{48}{200}=0{,}24$ (une fille sportive parmi tous les élèves), $P_F(S)=\dfrac{48}{120}=0{,}4$ (une sportive parmi les filles) et $P_S(F)=\dfrac{48}{92}\approx0{,}52$ (une fille parmi les sportifs). Ce sont trois nombres différents.

L’arbre pondéré

Un arbre pondéré représente une expérience en deux étapes. Le premier niveau porte $P(A)$ et $P(\overline{A})$ ; le second porte des probabilités conditionnelles comme $P_A(B)$ ou $P_{\overline{A}}(\overline{B})$ .

La formule des probabilités totales

Des événements $A_1$ , $A_2$ , …, $A_n$ forment une partition de l’univers s’ils sont de probabilités non nulles, deux à deux incompatibles, et si leur réunion est l’univers tout entier. Pour tout événement $B$ :

\begin{aligned}P(B)=\;&P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)\\&+\dots+P(A_n\cap B)\end{aligned}

Le cas le plus fréquent est la partition par $A$ et $\overline{A}$ , avec $0<P(A)<1$ :

P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)

Sur l’arbre, cela revient à additionner les chemins qui mènent à $B$ .

Indépendance et épreuves répétées

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi. Quand on enchaîne des épreuves indépendantes (lancers successifs, tirages avec remise), la probabilité d’une issue est le produit des probabilités de chaque étape.

Pour $n\le4$ épreuves de Bernoulli indépendantes de même probabilité de succès $p$ , on trace l’arbre. Pour « au moins un succès », on passe par l’événement contraire « aucun succès » :

P(\text{au moins un succès})=1-(1-p)^n

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Un test de dépistage
Dans une population, $4\,\%$ des personnes ont une maladie. Un test est positif chez $95\,\%$ des malades et chez $3\,\%$ des personnes saines. On choisit une personne au hasard ; $M$ : « elle est malade », $T$ : « son test est positif ».
1. Calcule $P(T)$ .
2. Le test d’une personne est positif. Quelle est la probabilité qu’elle soit malade ?
Solution
D’après l’arbre et la formule des probabilités totales :
$\begin{aligned}P(T)&=0{,}04\times0{,}95+0{,}96\times0{,}03\\&=0{,}038+0{,}028\,8=0{,}066\,8\end{aligned}$
On cherche $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}038}{0{,}066\,8}\approx0{,}57$ .
Un test positif ne signifie donc malade qu’environ $57$ fois sur $100$ : la maladie est rare, et les faux positifs des personnes saines pèsent lourd.
Exemple 2
Indépendants ou non ?
On lance un dé équilibré à six faces. $A$ : « le résultat est pair », $B$ : « le résultat est inférieur ou égal à $2$ », $C$ : « le résultat est inférieur ou égal à $3$ ». $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Et $A$ et $C$ ?
Solution
$P(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ , $P(B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ et $A\cap B=\{2\}$ , donc $P(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$ .
$P(A)\times P(B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}=P(A\cap B)$ : $A$ et $B$ sont indépendants.
$P(C)=\dfrac{1}{2}$ et $A\cap C=\{2\}$ , donc $P(A\cap C)=\dfrac{1}{6}$ , alors que $P(A)\times P(C)=\dfrac{1}{4}$ : $A$ et $C$ ne sont pas indépendants.
L’indépendance se vérifie par le calcul : elle ne se devine pas.

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Lire un tableau croisé
Une salle de sport compte $400$ adhérents. On choisit un adhérent au hasard ; $A$ : « il a un abonnement annuel », $C$ : « il suit des cours collectifs ».
$400$ adhérents Cours Pas de cours Total
Annuel $90$ $60$ $150$
Mensuel $70$ $180$ $250$
Total $160$ $240$ $400$
1. Calcule $P(A\cap C)$ .
2. Calcule $P_A(C)$ et $P_C(A)$ .
3. Calcule la probabilité qu’un adhérent à l’abonnement mensuel suive des cours collectifs.
Voir le corrigé
1. $P(A\cap C)=\dfrac{90}{400}=0{,}225$ .
2. $P_A(C)=\dfrac{90}{150}=0{,}6$ : parmi les abonnés annuels, $60\,\%$ suivent des cours. $P_C(A)=\dfrac{90}{160}=0{,}562\,5$ : parmi les adhérents qui suivent des cours, $56{,}25\,\%$ ont un abonnement annuel.
3. On se restreint aux $250$ abonnés mensuels : $P_{\overline{A}}(C)=\dfrac{70}{250}=0{,}28$ .
Exercice 2
Construire et exploiter un arbre
On sait que $P(A)=0{,}4$ , $P_A(B)=0{,}3$ et $P_{\overline{A}}(B)=0{,}6$ .
1. Construis l’arbre pondéré.
2. Calcule $P(A\cap B)$ , puis $P(B)$ .
3. Calcule $P_B(A)$ .
Voir le corrigé
1. Premier niveau : $A$ ( $0{,}4$ ) et $\overline{A}$ ( $0{,}6$ ). Après $A$ : $B$ ( $0{,}3$ ) et $\overline{B}$ ( $0{,}7$ ). Après $\overline{A}$ : $B$ ( $0{,}6$ ) et $\overline{B}$ ( $0{,}4$ ).
2. $P(A\cap B)=0{,}4\times0{,}3$ , soit $0{,}12$ . Par la formule des probabilités totales, $P(B)=0{,}12+0{,}6\times0{,}6$ , soit $P(B)=0{,}48$ .
3. $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ , donc $P_B(A)=\dfrac{0{,}12}{0{,}48}=0{,}25$ .
Exercice 3
Tester l’indépendance
Un club compte $250$ adhérents : $150$ adultes, et $100$ adhérents qui font de la compétition, dont $60$ adultes. On choisit un adhérent au hasard ; $A$ : « c’est un adulte », $C$ : « il fait de la compétition ». Les événements $A$ et $C$ sont-ils indépendants ?
Voir le corrigé
$P(A)=\dfrac{150}{250}=0{,}6$ , $P(C)=\dfrac{100}{250}=0{,}4$ et $P(A\cap C)=\dfrac{60}{250}=0{,}24$ .
$P(A)\times P(C)=0{,}6\times0{,}4=0{,}24$ . On a bien $P(A\cap C)=P(A)\times P(C)$ : les événements $A$ et $C$ sont indépendants.
On le voit aussi avec $P_A(C)=\dfrac{60}{150}=0{,}4=P(C)$ : les adultes font de la compétition dans la même proportion que l’ensemble du club.
Exercice 4
Trois lancers francs
Une joueuse réussit chaque lancer franc avec la probabilité $0{,}8$ , indépendamment des autres. Elle tire trois lancers francs.
1. Calcule la probabilité qu’elle les réussisse tous.
2. Calcule la probabilité qu’elle en réussisse au moins un.
3. Calcule la probabilité qu’elle en réussisse exactement un.
Voir le corrigé
1. Les lancers sont indépendants : $0{,}8^3=0{,}512$ .
2. L’événement contraire est « aucun lancer réussi », de probabilité $0{,}2^3=0{,}008$ . La probabilité cherchée vaut $1-0{,}008=0{,}992$ .
3. Trois chemins de l’arbre contiennent un seul succès (le succès au premier, au deuxième ou au troisième lancer), chacun de probabilité $0{,}8\times0{,}2^2=0{,}032$ . La probabilité vaut $3\times0{,}032=0{,}096$ .
Exercice 5
Deux machines et des pièces défectueuses
Une usine fabrique $60\,\%$ de ses pièces sur la machine $A$ et le reste sur la machine $B$ . $3\,\%$ des pièces de $A$ et $5\,\%$ des pièces de $B$ sont défectueuses. On prend une pièce au hasard ; $D$ : « elle est défectueuse ».
1. Calcule $P(D)$ .
2. Une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle vienne de la machine $A$ ? Arrondis au centième.
3. Les événements $A$ et $D$ sont-ils indépendants ?
4. On prélève deux pièces ; la production est assez grande pour assimiler ces prélèvements à des tirages indépendants. Calcule la probabilité qu’au moins une des deux soit défectueuse, arrondie au millième.
Voir le corrigé
1. $P(A\cap D)=0{,}6\times0{,}03$ , soit $0{,}018$ , et $P(B\cap D)=0{,}4\times0{,}05$ , soit $0{,}02$ . Par la formule des probabilités totales, $P(D)=0{,}018+0{,}02$ , soit $0{,}038$ .
2. $P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}$ , donc $P_D(A)=\dfrac{0{,}018}{0{,}038}=\dfrac{9}{19}\approx0{,}47$ .
3. $P(A)\times P(D)=0{,}6\times0{,}038$ , soit $0{,}022\,8$ , alors que $P(A\cap D)=0{,}018$ : $A$ et $D$ ne sont pas indépendants.
4. La probabilité qu’aucune ne soit défectueuse vaut $0{,}962^2=0{,}925\,444$ . La probabilité cherchée vaut $1-0{,}925\,444\approx0{,}075$ .

$400$ adhérents	Cours	Pas de cours	Total
Annuel	$90$	$60$	$150$
Mensuel	$70$	$180$	$250$
Total	$160$	$240$	$400$

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

En probabilités, la plupart des erreurs viennent d’une phrase mal traduite : « et », « sachant », « au moins ».

Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$
Dans le test de dépistage, $P_M(T)=0{,}95$ mais $P_T(M)\approx0{,}57$ : la condition change complètement le résultat.
Confondre « et » et « sachant »
$P(A\cap B)$ se calcule sur tout l’univers, $P_A(B)$ seulement parmi les issues de $A$ . Dans un tableau, on ne divise pas par le même total.
Confondre indépendants et incompatibles
Des événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble. S’ils ont des probabilités non nulles, ils ne sont jamais indépendants.
Additionner le long d’un chemin
On multiplie les probabilités le long d’un chemin, puis on additionne les chemins qui réalisent l’événement.
Écrire $P(B)$ au second niveau
Les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles comme $P_A(B)$ , jamais $P(B)$ ni $P(A\cap B)$ .
Lister les cas de « au moins un »
Pour « au moins un succès », il est plus sûr de passer par le contraire : $1-P(\text{aucun succès})$ .

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Cinq séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, les probabilités se manipulent : tu retournes les cartes devenues impossibles, tu composes des urnes, tu règles un test de dépistage, tu construis des arbres branche par branche. Au niveau 2, tu tranches des débats « Qui a raison ? » et tu repères la première ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu calcules dans des situations réelles (colis, filtre antispam, usines, lancers francs), avec Alphi si tu as besoin d’un indice.

1Calculer une probabilité conditionnelle
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu retournes les cartes devenues impossibles quand on apprend que la carte est rouge, tu ajoutes ou retires des boules pour que $P_{\text{bleue}}(\text{rayée})=\frac{1}{2}$ et tu règles un test de dépistage pour que $P_T(M)=\frac{3}{4}$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu traduis $P_T(M)$ en français, tu départages deux élèves sur un test de dépistage positif et tu trouves la ligne où Nora se trompe.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des probabilités conditionnelles à partir de tableaux : adhérents d’un club, salariés à temps partiel, courriels signalés par un filtre antispam.
2Utiliser un arbre pondéré pour représenter une situation
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu choisis l’arbre qui représente une situation, tu places des pourcentages sur les branches et tu composes une urne pour que deux branches aient la même probabilité.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu repères la case où écrire « $8\,\%$ des colis livrés en retard sont abîmés », tu complètes la règle du chemin et tu trouves la branche où Hugo s’est trompé.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu complètes des arbres à partir d’un énoncé, tu calcules la probabilité d’un chemin et celle de tirer deux boules rouges sans remise.
3Appliquer la formule des probabilités totales
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu touches les issues qui réalisent un événement, tu règles un rectangle pour que $P(B)=0{,}6$ et tu ajustes la part des questions que Léa connaît pour que $P(J)=0{,}7$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu expliques pourquoi on additionne $P(A\cap B)$ et $P(\overline{A}\cap B)$ , tu trouves le nombre faux dans le calcul de Jade et tu interprètes un résultat sur $200$ clients.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules la probabilité d’un retard, d’un colis à l’heure ou d’un test positif, et tu retrouves $P(A)$ quand on connaît $P(D)$ .
4Déterminer si deux événements sont indépendants
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu choisis l’information qui ne change pas la probabilité de tirer un cœur, tu formes avec les faces d’un dé un événement indépendant d’un autre et tu règles un effectif pour rendre deux événements indépendants.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu distingues « indépendants » et « incompatibles », tu tranches un débat sur la pluie et les embouteillages et tu trouves la première ligne fausse de Malik.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules $P(A\cap B)$ ou $P(A\cup E)$ pour des événements indépendants et tu décides si des événements le sont, avec des cartes, deux dés ou une étude sur $1\,000$ personnes.
5Calculer des probabilités sur des expériences répétées
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu complètes l’arbre de deux tirs à l’arc indépendants, tu règles le nombre de lancers d’un dé pour que la probabilité d’au moins un $6$ dépasse $0{,}4$ et tu touches les issues où le gardien arrête au plus un tir.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu passes par l’événement contraire, tu trouves la première ligne fausse de Malik sur trois graines et tu tranches un débat sur des bourrages d’imprimante.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules la probabilité d’au moins un $6$ en deux lancers, d’exactement une bonne réponse sur trois questions au hasard, et tu retrouves $p$ pour deux détecteurs.

Commencer gratuitement

Questions fréquentes

Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

Avec la formule $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ , pour $P(A)\neq0$ . Dans un tableau d’effectifs, on divise l’effectif de « $A$ et $B$ » par l’effectif de $A$ . Dans un arbre, $P_A(B)$ se lit sur la branche qui va de $A$ à $B$ .

Quelle est la différence entre « A et B » et « B sachant A » ?

$P(A\cap B)$ est la probabilité que $A$ et $B$ se produisent tous les deux, sur tout l’univers. $P_A(B)$ est la probabilité de $B$ parmi les seules issues de $A$ . On passe de l’une à l’autre avec $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ .

Quelle est la formule des probabilités totales ?

Si $A$ et $\overline{A}$ partagent l’univers, $P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)$ . Sur un arbre pondéré, on additionne les probabilités de tous les chemins qui mènent à $B$ .

Comment montrer que deux événements sont indépendants ?

On calcule $P(A\cap B)$ et $P(A)\times P(B)$ . S’ils sont égaux, les événements sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas. Si $P(A)\neq0$ , on peut aussi comparer $P_A(B)$ à $P(B)$ .

Indépendants et incompatibles, est-ce la même chose ?

Non. Incompatibles signifie qu’ils ne peuvent pas se produire en même temps : $P(A\cap B)=0$ . Indépendants signifie que l’un ne change pas la probabilité de l’autre. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

Pour aller plus loin

Ce chapitre prolonge les probabilités de 3e et les probabilités de Seconde. Les épreuves répétées mènent en Terminale à la loi binomiale. Les calculs de probabilités conditionnelles font partie des automatismes de Première et de l’épreuve anticipée de maths. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Probabilités conditionnelles en Première : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en Première

L’essentiel du cours

Probabilité de $B$ sachant $A$

L’arbre pondéré

La formule des probabilités totales

Indépendance et épreuves répétées

Deux exemples résolus

Un test de dépistage

Indépendants ou non ?

Cinq exercices corrigés

Lire un tableau croisé

Construire et exploiter un arbre

Tester l’indépendance

Trois lancers francs

Deux machines et des pièces défectueuses

Les pièges à éviter

Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$

Confondre « et » et « sachant »

Confondre indépendants et incompatibles

Additionner le long d’un chemin

Écrire $P(B)$ au second niveau

Lister les cas de « au moins un »

Ce chapitre dans Mathflow

1Calculer une probabilité conditionnelle

2Utiliser un arbre pondéré pour représenter une situation

3Appliquer la formule des probabilités totales

4Déterminer si deux événements sont indépendants

5Calculer des probabilités sur des expériences répétées

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Probabilités conditionnelles en Première : cours, exemples et exercices

Probabilité de BBB sachant AAA

L’arbre pondéré

La formule des probabilités totales

Indépendance et épreuves répétées

Un test de dépistage

Indépendants ou non ?

Lire un tableau croisé

Construire et exploiter un arbre

Tester l’indépendance

Trois lancers francs

Deux machines et des pièces défectueuses

Confondre PA(B)P_A(B)PA​(B) et PB(A)P_B(A)PB​(A)

Confondre « et » et « sachant »

Confondre indépendants et incompatibles

Additionner le long d’un chemin

Écrire P(B)P(B)P(B) au second niveau

Lister les cas de « au moins un »

1Calculer une probabilité conditionnelle

2Utiliser un arbre pondéré pour représenter une situation

3Appliquer la formule des probabilités totales

4Déterminer si deux événements sont indépendants

5Calculer des probabilités sur des expériences répétées

Les maths, c’est une question de flow.

Probabilité de $B$ sachant $A$

Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$

Écrire $P(B)$ au second niveau