Loi binomiale en Terminale : cours et exercices corrigés

Q: Comment savoir si une variable suit une loi binomiale ?

Il faut répéter un nombre n fixé de fois la même épreuve à deux issues (succès ou échec), de façon indépendante, avec la même probabilité de succès p, et que X compte le nombre de succès. Alors X suit la loi \mathcal{B}(n\,;\,p).

Q: Quelle est la formule de la loi binomiale ?

Pour tout entier k entre 0 et n, P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}. Le coefficient \binom{n}{k} compte les chemins de l’arbre qui mènent à k succès.

Q: Comment calculer P(X ≥ k) avec une loi binomiale ?

On passe par l’événement contraire : P(X\ge k)=1-P(X\le k-1). Par exemple, la probabilité d’obtenir au moins un Pile en 3 lancers est 1-0{,}5^3=0{,}875.

Q: Quelle est l’espérance d’une loi binomiale ?

Si X suit la loi \mathcal{B}(n\,;\,p), alors E(X)=np et V(X)=np(1-p). Sur 50 lancers d’une pièce équilibrée, on obtient en moyenne 25 Pile.

Q: Comment calculer une loi binomiale à la calculatrice ?

Sur une TI, binomFdp(n, p, k) donne P(X=k) et binomFRép(n, p, k) donne P(X\le k). Au tableur, LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; FAUX) donne P(X=k), et VRAI à la place de FAUX donne P(X\le k).

Programme de Terminale

Ce que tu dois savoir faire en Terminale

La loi binomiale est au cœur du programme de probabilités de la spécialité. Elle modélise une situation très fréquente : on répète $n$ fois, de façon indépendante, la même épreuve à deux issues, et on compte les succès.

Le programme demande de modéliser une situation par un schéma de Bernoulli et une loi binomiale, d’utiliser l’expression de $P(X=k)$ avec les coefficients binomiaux pour résoudre des problèmes de seuil, de comparaison ou d’optimisation, et de calculer des probabilités comme $P(X=k)$ , $P(X\le k)$ ou $P(k\le X\le k')$ , au besoin avec un algorithme. Il faut aussi savoir chercher un intervalle $I$ tel que $P(X\in I)$ dépasse une valeur donnée, par exemple $0{,}95$ . L’espérance $np$ et la variance $np(1-p)$ sont démontrées dans la partie sur les sommes de variables aléatoires.

Dans Mathflow, le chapitre compte trois compétences, chacune en trois niveaux.

Les 3 compétences du chapitre

Modéliser une épreuve de Bernoulli et calculer l’espérance
Reconnaître et utiliser la loi binomiale
Exploiter une loi binomiale avec un tableur ou une calculatrice

Cours

L’essentiel du cours

De l’épreuve de Bernoulli à la loi binomiale, puis l’espérance et les calculs à la calculatrice.

Épreuve et loi de Bernoulli

$k$	$0$	$1$
$P(X=k)$	$1-p$	$p$

E(X)=p\qquad V(X)=p(1-p)

Par exemple, un archer touche la cible avec une probabilité de $0{,}7$ . Si $X$ vaut $1$ quand il touche et $0$ sinon, alors $E(X)=0{,}7$ et $V(X)=0{,}7\times0{,}3=0{,}21$ .

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}

$p^k(1-p)^{n-k}$ est la probabilité d’un chemin de l’arbre qui compte $k$ succès et $n-k$ échecs : on multiplie car les épreuves sont indépendantes.
$\binom{n}{k}$ est le nombre de ces chemins, c’est-à-dire le nombre de façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ épreuves.
Pour un tirage sans remise dans une très grande population, par exemple $3$ pièces dans un stock de $5\,000$ , on assimile souvent les tirages à des tirages avec remise.

Espérance, variance et écart type

\begin{gathered}E(X)=np\qquad V(X)=np(1-p)\\ \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\end{gathered}

$X$ est la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ : la linéarité de l’espérance et l’additivité de la variance donnent ces formules. L’espérance est le nombre moyen de succès sur un grand nombre de répétitions : sur $50$ lancers d’une pièce équilibrée, on obtient en moyenne $25$ fois Pile.

Probabilités cumulées et calculatrice

Au moins : $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$ . En particulier, $P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n$ .
Entre deux valeurs : pour des entiers $a\le b$ , $P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a-1)$ .

Pour les calculs, on utilise un outil numérique :

Tableur : LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; FAUX) donne $P(X=k)$ , et LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; VRAI) donne $P(X\le k)$ .
Calculatrice TI : binomFdp(n, p, k) donne $P(X=k)$ , et binomFRép(n, p, k) donne $P(X\le k)$ .

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Des graines qui germent
Chaque graine d’un sachet germe avec une probabilité de $0{,}8$ , indépendamment des autres. On sème $5$ graines et on note $X$ le nombre de graines qui germent.
1. Quelle est la loi de $X$ ?
2. Calcule $P(X=4)$ .
3. Calcule la probabilité qu’au moins une graine germe.
4. Combien de graines germent en moyenne ?
Solution
1. On répète $5$ fois, de façon indépendante, la même épreuve à deux issues : « la graine germe » (succès, $p=0{,}8$ ) ou non. $X$ compte les succès, donc $X$ suit la loi $\mathcal{B}(5\,;\,0{,}8)$ .
2. $P(X=4)=\binom{5}{4}\times0{,}8^4\times0{,}2$ , soit $5\times0{,}4096\times0{,}2=0{,}4096$ .
3. $P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}2^5$ , soit $0{,}99968$ .
4. $E(X)=5\times0{,}8=4$ : en moyenne, $4$ graines sur $5$ germent.
Exemple 2
Un intervalle de fluctuation
On suppose que $20\,\%$ des habitants d’une ville sont donneurs de sang. On interroge $50$ habitants au hasard, et on assimile ce choix à des tirages avec remise. On note $X$ le nombre de donneurs.
1. Détermine l’intervalle de fluctuation à $95\,\%$ de $X$ à l’aide de la calculatrice.
2. Dans l’échantillon, $17$ personnes sont donneuses. Que peut-on en penser ?
Solution
1. $X$ suit la loi $\mathcal{B}(50\,;\,0{,}2)$ . La calculatrice donne $P(X\le4)\approx0{,}018$ et $P(X\le5)\approx0{,}048$ , donc $a=5$ . Puis $P(X\le15)\approx0{,}969$ et $P(X\le16)\approx0{,}986$ , donc $b=16$ . L’intervalle est $[5\,;\,16]$ : $P(5\le X\le16)\approx0{,}967\ge0{,}95$ .
2. $17$ n’est pas dans $[5\,;\,16]$ : ce résultat est peu probable si $20\,\%$ des habitants sont donneurs. On peut douter de cette hypothèse, avec un risque de se tromper d’au plus $5\,\%$ .

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Une variable de Bernoulli
Dans un lycée, $15\,\%$ des élèves viennent à vélo. On choisit un élève au hasard et on note $X$ la variable qui vaut $1$ s’il vient à vélo, $0$ sinon. Donne la loi de $X$ , son espérance, sa variance et son écart type.
Voir le corrigé
$X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p=0{,}15$ : $P(X=1)=0{,}15$ et $P(X=0)=0{,}85$ .
$E(X)=0{,}15$ , $V(X)=0{,}15\times0{,}85=0{,}1275$ et $\sigma(X)=\sqrt{0{,}1275}\approx0{,}36$ .
Exercice 2
Loi binomiale ou pas ?
Dans chaque cas, dis si $X$ suit une loi binomiale. Si oui, donne ses paramètres.
1. On lance $10$ fois une pièce équilibrée ; $X$ est le nombre de Pile.
2. Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ noires. On tire successivement $3$ boules sans remise ; $X$ est le nombre de boules rouges.
3. On lance un dé jusqu’à obtenir un $6$ ; $X$ est le nombre de lancers.
4. Un QCM compte $20$ questions à $4$ réponses, dont une seule juste. Un élève répond au hasard ; $X$ est le nombre de bonnes réponses.
Voir le corrigé
1. Oui : $10$ épreuves identiques et indépendantes, succès « Pile » de probabilité $0{,}5$ . $X$ suit $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}5)$ .
2. Non : sans remise, la composition de l’urne change à chaque tirage, donc les tirages ne sont pas indépendants.
3. Non : le nombre d’épreuves n’est pas fixé à l’avance, et $X$ ne compte pas des succès.
4. Oui : $20$ épreuves indépendantes, succès « bonne réponse » de probabilité $\dfrac{1}{4}$ . $X$ suit $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}25)$ , et $E(X)=5$ .
Exercice 3
Calculs avec $\mathcal{B}(6\,;\,0{,}4)$
$X$ suit la loi $\mathcal{B}(6\,;\,0{,}4)$ .
1. Calcule $P(X=2)$ .
2. Calcule $P(X\le1)$ , puis $P(X\ge2)$ .
3. Calcule $E(X)$ , $V(X)$ et $\sigma(X)$ .
Voir le corrigé
1. $P(X=2)=\binom{6}{2}\times0{,}4^2\times0{,}6^4$ , soit $15\times0{,}16\times0{,}1296=0{,}31104$ .
2. $P(X=0)=0{,}6^6=0{,}046656$ et $P(X=1)=6\times0{,}4\times0{,}6^5=0{,}186624$ . Donc $P(X\le1)=0{,}23328$ et $P(X\ge2)=1-0{,}23328=0{,}76672$ .
3. $E(X)=6\times0{,}4=2{,}4$ , $V(X)=2{,}4\times0{,}6=1{,}44$ et $\sigma(X)=\sqrt{1{,}44}=1{,}2$ .
Exercice 4
Au moins un 6
On lance $n$ fois un dé équilibré. Combien de lancers faut-il au minimum pour que la probabilité d’obtenir au moins un $6$ soit supérieure ou égale à $0{,}99$ ?
Voir le corrigé
Le nombre $X$ de $6$ obtenus suit la loi $\mathcal{B}\left(n\,;\,\dfrac{1}{6}\right)$ , et $P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$ .
$\begin{aligned}&1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n\ge0{,}99\\\iff&\left(\dfrac{5}{6}\right)^n\le0{,}01\\\iff&n\ln\left(\dfrac{5}{6}\right)\le\ln 0{,}01\end{aligned}$
Comme $\ln\left(\dfrac{5}{6}\right)<0$ , on divise en changeant le sens : $n\ge\dfrac{\ln 0{,}01}{\ln(5/6)}\approx25{,}26$ . Il faut au moins $26$ lancers.
Exercice 5
Le problème de la surréservation
Un avion compte $150$ places. Chaque personne qui a acheté un billet se présente à l’embarquement avec une probabilité de $0{,}9$ , indépendamment des autres. La compagnie vend $160$ billets ; $X$ est le nombre de personnes qui se présentent.
1. Donne la loi de $X$ et son espérance.
2. Calcule la probabilité que des passagers ne puissent pas embarquer.
3. La compagnie veut que ce risque soit au plus de $1\,\%$ . Combien de billets peut-elle vendre au maximum ?
Voir le corrigé
1. $X$ suit la loi $\mathcal{B}(160\,;\,0{,}9)$ et $E(X)=160\times0{,}9=144$ .
2. Des passagers restent à quai si $X>150$ : $P(X>150)=1-P(X\le150)\approx0{,}036$ , soit environ $3{,}6\,\%$ .
3. Avec $N$ billets vendus, $X$ suit $\mathcal{B}(N\,;\,0{,}9)$ . Le tableur donne $P(X>150)\approx0{,}0085$ pour $N=158$ et $P(X>150)\approx0{,}0184$ pour $N=159$ . La compagnie peut vendre au plus $158$ billets.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

La formule est courte ; les erreurs viennent surtout de la modélisation et des inégalités.

Oublier le coefficient binomial
$0{,}4^2\times0{,}6^4$ est la probabilité d’un seul chemin. Pour $\mathcal{B}(6\,;\,0{,}4)$ , il y a $\binom{6}{2}=15$ chemins avec $2$ succès : $P(X=2)=0{,}31104$ .
Oublier de vérifier l’indépendance
Trois tirages sans remise dans une urne de $5$ boules ne forment pas un schéma de Bernoulli : la probabilité de succès change à chaque tirage.
Se tromper avec « au moins »
$P(X\ge3)=1-P(X\le2)$ , et non $1-P(X\le3)$ : la valeur $3$ fait partie de l’événement.
Retirer la mauvaise valeur
$P(X\le9)-P(X\le4)=P(5\le X\le9)$ : pour obtenir $P(a\le X\le b)$ , on retire $P(X\le a-1)$ .
Confondre FAUX et VRAI au tableur
LOI.BINOMIALE avec FAUX donne $P(X=k)$ ; avec VRAI, elle donne la probabilité cumulée $P(X\le k)$ .
Prendre $0{,}05$ et $0{,}95$ pour les bornes
Pour un intervalle à $95\,\%$ , on laisse $2{,}5\,\%$ de chaque côté : les seuils sont $0{,}025$ et $0{,}975$ .

Dans Mathflow

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Trois séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, le hasard se manipule : tu règles la part d’une roue, tu composes un sac de jetons, tu suis les chemins d’une bille dans une planche de Galton, tu recopies une formule de tableur. Au niveau 2, tu tranches des débats « Qui a raison ? » et tu cherches la première ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu calcules des probabilités dans des situations concrètes, avec Alphi, le coach IA, quand un indice t’aide à repartir.

1Modéliser une épreuve de Bernoulli et calculer l’espérance
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu choisis les faces qui forment le succès, tu règles la part d’une roue pour obtenir la loi dessinée et tu composes un sac pour que $V(X)$ soit la plus grande possible.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition, tu départages deux élèves au sujet de « obtenir $6$ avec un dé » et tu expliques pourquoi une variable qui vaut $1$ ou $2$ n’est pas de Bernoulli.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules $E(X)$ et $V(X)$ pour des jetons, des pièces défectueuses ou des archers, et tu trouves les valeurs de $p$ qui donnent $V(X)=0{,}21$ .
2Reconnaître et utiliser la loi binomiale
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu règles un tirage pour obtenir la loi $\mathcal{B}(3\,;\,0{,}4)$ , tu comptes les chemins d’une bille jusqu’à la case $2$ et tu places la valeur la plus probable.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition, tu expliques pourquoi compter les lancers jusqu’au premier $6$ ne donne pas une loi binomiale et tu trouves le facteur faux d’un calcul.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules $P(X=2)$ pour la loi $\mathcal{B}(4\,;\,0{,}2)$ , la probabilité de réussir $5$ lancers francs ou celle d’obtenir au moins une réponse positive.
3Exploiter une loi binomiale avec un tableur ou une calculatrice
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu recopies une formule de tableur, tu choisis VRAI ou FAUX pour obtenir $P(X\le k)$ et tu resserres un intervalle $[a\,;\,b]$ en laissant au plus $2{,}5\,\%$ de chaque côté.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu départages deux élèves qui calculent $P(3\le X\le7)$ au tableur, tu lis un écran de calculatrice et tu trouves l’erreur dans la borne d’un intervalle de fluctuation.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des probabilités cumulées pour des bulbes, des clients ou un QCM, tu cherches le nombre de chasubles qui limite le risque à $1\,\%$ et tu conclus sur un contrôle d’ampoules.

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Questions fréquentes

Comment savoir si une variable suit une loi binomiale ?

Il faut répéter un nombre $n$ fixé de fois la même épreuve à deux issues (succès ou échec), de façon indépendante, avec la même probabilité de succès $p$ , et que $X$ compte le nombre de succès. Alors $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ .

Quelle est la formule de la loi binomiale ?

Pour tout entier $k$ entre $0$ et $n$ , $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ . Le coefficient $\binom{n}{k}$ compte les chemins de l’arbre qui mènent à $k$ succès.

Comment calculer P(X ≥ k) avec une loi binomiale ?

On passe par l’événement contraire : $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$ . Par exemple, la probabilité d’obtenir au moins un Pile en $3$ lancers est $1-0{,}5^3=0{,}875$ .

Quelle est l’espérance d’une loi binomiale ?

Si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ , alors $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$ . Sur $50$ lancers d’une pièce équilibrée, on obtient en moyenne $25$ Pile.

Comment calculer une loi binomiale à la calculatrice ?

Sur une TI, binomFdp(n, p, k) donne $P(X=k)$ et binomFRép(n, p, k) donne $P(X\le k)$ . Au tableur, LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; FAUX) donne $P(X=k)$ , et VRAI à la place de FAUX donne $P(X\le k)$ .

Pour aller plus loin

Les coefficients binomiaux $\binom{n}{k}$ viennent du chapitre combinatoire et dénombrement, qui explique pourquoi ils comptent les chemins de l’arbre. Les arbres pondérés et l’indépendance sont travaillés en Première, sur la page probabilités conditionnelles. Pour les seuils, la page logarithme népérien en Terminale montre comment résoudre $q^n\le0{,}01$ . Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Loi binomiale en Terminale : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en Terminale

L’essentiel du cours

Épreuve et loi de Bernoulli

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Espérance, variance et écart type

Probabilités cumulées et calculatrice

Deux exemples résolus

Des graines qui germent

Un intervalle de fluctuation

Cinq exercices corrigés

Une variable de Bernoulli

Loi binomiale ou pas ?

Calculs avec $\mathcal{B}(6\,;\,0{,}4)$

Au moins un 6

Le problème de la surréservation

Les pièges à éviter

Oublier le coefficient binomial

Oublier de vérifier l’indépendance

Se tromper avec « au moins »

Retirer la mauvaise valeur

Confondre FAUX et VRAI au tableur

Prendre $0{,}05$ et $0{,}95$ pour les bornes

Ce chapitre dans Mathflow

1Modéliser une épreuve de Bernoulli et calculer l’espérance

2Reconnaître et utiliser la loi binomiale

3Exploiter une loi binomiale avec un tableur ou une calculatrice

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Loi binomiale en Terminale : cours, exemples et exercices

Épreuve et loi de Bernoulli

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Espérance, variance et écart type

Probabilités cumulées et calculatrice

Des graines qui germent

Un intervalle de fluctuation

Une variable de Bernoulli

Loi binomiale ou pas ?

Calculs avec B(6 ; 0,4)\mathcal{B}(6\,;\,0{,}4)B(6;0,4)

Au moins un 6

Le problème de la surréservation

Oublier le coefficient binomial

Oublier de vérifier l’indépendance

Se tromper avec « au moins »

Retirer la mauvaise valeur

Confondre FAUX et VRAI au tableur

Prendre 0,050{,}050,05 et 0,950{,}950,95 pour les bornes

1Modéliser une épreuve de Bernoulli et calculer l’espérance

2Reconnaître et utiliser la loi binomiale

3Exploiter une loi binomiale avec un tableur ou une calculatrice

Les maths, c’est une question de flow.

Calculs avec $\mathcal{B}(6\,;\,0{,}4)$

Prendre $0{,}05$ et $0{,}95$ pour les bornes