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Maths · Terminale · Analyse

Calcul intégral en Terminale : cours, exemples et exercices

Le calcul intégral en Terminale : une intégrale est une aire, et une primitive permet de la calculer exactement. Voici le cours, deux exemples résolus et cinq exercices corrigés, de l’aire sous une courbe à l’intégration par parties.

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L’intégrale de ff entre 11 et 55 est l’aire du domaine coloré, sous la courbe et au-dessus de l’axe des abscisses. Les quatre rectangles en donnent une valeur approchée.

Programme de Terminale

Ce que tu dois savoir faire en Terminale

Le calcul intégral clôt le programme d’analyse de la spécialité. L’intégrale est d’abord définie comme une aire sous une courbe, sans difficulté théorique, puis reliée aux primitives : c’est ce lien qui permet de passer d’un calcul approché (par des rectangles) à un calcul exact.

Le programme demande d’estimer graphiquement ou d’encadrer une intégrale et une valeur moyenne, de calculer une intégrale à l’aide d’une primitive ou d’une intégration par parties, de calculer l’aire entre deux courbes, d’étudier une suite d’intégrales et d’interpréter une intégrale dans une autre discipline, par exemple une distance à partir d’une vitesse.

Dans Mathflow, le chapitre compte six compétences, chacune en trois niveaux. La cinquième, le changement de variable, ne figure pas dans le programme officiel de spécialité : elle prolonge la recherche de primitives de la forme u′euu'e^u ou u′u\dfrac{u'}{u} et prépare aux études supérieures.

Les 6 compétences du chapitre

  1. Interpréter une intégrale comme une aire sous une courbe
  2. Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive
  3. Calculer une aire comprise entre deux courbes
  4. Calculer une intégrale à l’aide d’une intégration par parties
  5. Calculer une intégrale à l’aide d’un changement de variable
  6. Étudier une suite définie par une intégrale paramétrée

Cours

L’essentiel du cours

L’intégrale comme aire, le lien avec les primitives, les propriétés de calcul et l’intégration par parties.

Une intégrale, c’est une aire

  • L’unité d’aire est l’aire du rectangle construit sur les deux vecteurs unités du repère. Si une unité vaut 22 cm sur chaque axe, une unité d’aire vaut 44 cm².
  • Si ff est négative sur [a ; b][a\,;\,b], l’intégrale est l’opposé de l’aire du domaine.
  • Si ff change de signe, les aires au-dessus de l’axe comptent positivement, celles en dessous négativement : par exemple ∫04(x−2) dx=0\displaystyle\int_0^4(x-2)\,dx=0, car les deux triangles ont la même aire.

Pour une valeur approchée, on découpe [a ; b][a\,;\,b] en bandes et on additionne des aires de rectangles, comme sur la figure : c’est la méthode des rectangles.

Intégrale et primitive

∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)

La fonction x↦∫axf(t) dtx\mapsto\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt est la primitive de ff qui s’annule en aa. Pour calculer, on a donc besoin des primitives usuelles :

Fonction ffUne primitive FFSur
xnx^n (nn entier, n≠−1n\neq-1)xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1}R\mathbb{R} si n≥0n\ge0, ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ sinon
1x\dfrac{1}{x}ln⁡x\ln x]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[
1x\dfrac{1}{\sqrt{x}}2x2\sqrt{x}]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[
exe^xexe^xR\mathbb{R}
cos⁡x\cos x ; sin⁡x\sin xsin⁡x\sin x ; −cos⁡x-\cos xR\mathbb{R}
u′euu'e^ueue^uoù uu est dérivable
u′u\dfrac{u'}{u}ln⁡u\ln uoù u>0u>0

Les deux dernières lignes sont des cas de la forme (v′∘u)×u′(v'\circ u)\times u', dont une primitive est v∘uv\circ u : on reconnaît la dérivée d’une fonction composée.

Propriétés, valeur moyenne et aire entre deux courbes

  • Linéarité : ∫ab(f+g)=∫abf+∫abg\displaystyle\int_a^b\big(f+g\big)=\int_a^b f+\int_a^b g et ∫abkf=k∫abf\displaystyle\int_a^b kf=k\int_a^b f.
  • Relation de Chasles : ∫acf=∫abf+∫bcf\displaystyle\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f.
  • Positivité et comparaison (avec a≤ba\le b) : si f≥0f\ge0 sur [a ; b][a\,;\,b], alors ∫abf≥0\displaystyle\int_a^b f\ge0 ; si f≤gf\le g, alors ∫abf≤∫abg\displaystyle\int_a^b f\le\int_a^b g.

La valeur moyenne de ff sur [a ; b][a\,;\,b] (avec a<ba<b) est le nombre μ=1b−a∫abf(x) dx\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx. C’est la hauteur du rectangle de base [a ; b][a\,;\,b] qui a la même aire que le domaine sous la courbe.

Intégration par parties et suites d’intégrales

Si uu et vv sont dérivables sur [a ; b][a\,;\,b], avec des dérivées u′u' et v′v' continues :

∫abu(x) v′(x) dx=[u(x) v(x)]ab−∫abu′(x) v(x) dx\begin{aligned}\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx&=\Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b\\&\quad-\int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx\end{aligned}
  • On choisit pour uu le facteur qui se simplifie en dérivant (un polynôme, ln⁡x\ln x) et pour v′v' celui dont on connaît une primitive (exe^x, sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x).
  • Par exemple, avec u(x)=xu(x)=x et v′(x)=exv'(x)=e^x, on obtient ∫01xex dx=e−∫01ex dx\displaystyle\int_0^1xe^x\,dx=e-\int_0^1e^x\,dx, soit e−(e−1)=1e-(e-1)=1.

Pour une suite d’intégrales comme un=∫01xnex dxu_n=\displaystyle\int_0^1x^ne^x\,dx, on compare les fonctions intégrées pour obtenir le sens de variation ou un encadrement, et une intégration par parties donne souvent une relation entre un+1u_{n+1} et unu_n.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

  1. Exemple 1

    L’aire entre une parabole et une droite

    Soit f(x)=x2−1f(x)=x^2-1 et g(x)=x+1g(x)=x+1. Calcule l’aire du domaine compris entre leurs deux courbes.

    Solution

    Points d’intersection : x2−1=x+1x^2-1=x+1 équivaut à x2−x−2=0x^2-x-2=0, soit (x+1)(x−2)=0(x+1)(x-2)=0. Donc x=−1x=-1 ou x=2x=2.

    Position : g(x)−f(x)=−x2+x+2=−(x+1)(x−2)g(x)-f(x)=-x^2+x+2=-(x+1)(x-2), qui est positif sur [−1 ; 2][-1\,;\,2]. La droite est au-dessus de la parabole.

    A=∫−12(−x2+x+2)dx=[−x33+x22+2x]−12=103−(−76)=276=92\begin{aligned}\mathcal{A}&=\int_{-1}^{2}\left(-x^2+x+2\right)dx\\&=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{2}\\&=\dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{7}{6}\right)=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}\end{aligned}

    L’aire vaut 4,54{,}5 unités d’aire.

  2. Exemple 2

    Une intégration par parties

    Calcule I=∫01(2x+1)ex dxI=\displaystyle\int_0^1(2x+1)e^x\,dx.

    Solution

    On pose u(x)=2x+1u(x)=2x+1 et v′(x)=exv'(x)=e^x, d’où u′(x)=2u'(x)=2 et v(x)=exv(x)=e^x. Les fonctions u′u' et v′v' sont continues.

    I=[(2x+1)ex]01−∫012ex dx=(3e−1)−2(e−1)=e+1\begin{aligned}I&=\Big[(2x+1)e^x\Big]_0^1-\int_0^1 2e^x\,dx\\&=(3e-1)-2(e-1)=e+1\end{aligned}

    Donc I=e+1≈3,72I=e+1\approx3{,}72.

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

  1. Exercice 1

    Une intégrale avec des triangles

    Soit f(x)=2−xf(x)=2-x.

    1. Sans chercher de primitive, calcule ∫−13(2−x) dx\displaystyle\int_{-1}^{3}(2-x)\,dx à l’aide d’aires de triangles.
    2. Quelle est l’aire totale du domaine compris entre la droite, l’axe des abscisses et les droites x=−1x=-1 et x=3x=3 ?
    Voir le corrigé
    1. Sur [−1 ; 2][-1\,;\,2], ff est positive : le triangle a pour base 33 et pour hauteur f(−1)=3f(-1)=3, donc une aire de 4,54{,}5. Sur [2 ; 3][2\,;\,3], ff est négative : le triangle a une aire de 0,50{,}5, comptée négativement. L’intégrale vaut 4,5−0,5=44{,}5-0{,}5=4.
    2. L’aire totale additionne les deux triangles : 4,5+0,5=54{,}5+0{,}5=5 unités d’aire. Elle n’est pas égale à l’intégrale, car ff change de signe.

  2. Exercice 2

    Quatre calculs avec une primitive

    Calcule chaque intégrale.

    1. ∫12(3x2−4x+1)dx\displaystyle\int_1^2\left(3x^2-4x+1\right)dx
    2. ∫0ln⁡3ex dx\displaystyle\int_0^{\ln 3}e^x\,dx
    3. ∫1e31x dx\displaystyle\int_1^{e^3}\dfrac{1}{x}\,dx
    4. ∫191x dx\displaystyle\int_1^9\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx
    Voir le corrigé
    1. Une primitive est F(x)=x3−2x2+xF(x)=x^3-2x^2+x : F(2)−F(1)=2−0=2F(2)-F(1)=2-0=2.
    2. [ex]0ln⁡3=eln⁡3−e0=3−1=2\Big[e^x\Big]_0^{\ln 3}=e^{\ln 3}-e^0=3-1=2.
    3. [ln⁡x]1e3=ln⁡(e3)−ln⁡1=3\Big[\ln x\Big]_1^{e^3}=\ln(e^3)-\ln 1=3.
    4. [2x]19=2×3−2×1=4\Big[2\sqrt{x}\Big]_1^9=2\times3-2\times1=4.

  3. Exercice 3

    Reconnaître une dérivée composée

    1. Calcule ∫012xex2 dx\displaystyle\int_0^1 2xe^{x^2}\,dx.
    2. Calcule la valeur moyenne de f(x)=xx2+1f(x)=\dfrac{x}{x^2+1} sur [0 ; 2][0\,;\,2].
    Voir le corrigé
    1. Avec u(x)=x2u(x)=x^2, on reconnaît u′euu'e^u, dont une primitive est eue^u : [ex2]01=e−1≈1,72\Big[e^{x^2}\Big]_0^1=e-1\approx1{,}72.
    2. Avec u(x)=x2+1>0u(x)=x^2+1>0, on a f=12×u′uf=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{u'}{u}, dont une primitive est 12ln⁡(x2+1)\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1). Donc ∫02f(x) dx=12ln⁡5\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\ln 5, et la valeur moyenne est μ=12−0×12ln⁡5=ln⁡54≈0,40\mu=\dfrac{1}{2-0}\times\dfrac{1}{2}\ln 5=\dfrac{\ln 5}{4}\approx0{,}40.

  4. Exercice 4

    Intégrer xln⁡xx\ln x par parties

    Calcule J=∫1exln⁡x dxJ=\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx.

    Voir le corrigé

    On ne connaît pas de primitive de ln⁡x\ln x directement : on la dérive. On pose u(x)=ln⁡xu(x)=\ln x et v′(x)=xv'(x)=x, d’où u′(x)=1xu'(x)=\dfrac{1}{x} et v(x)=x22v(x)=\dfrac{x^2}{2}.

    J=[x22ln⁡x]1e−∫1ex2 dx=e22−[x24]1e=e22−e24+14=e2+14\begin{aligned}J&=\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\dfrac{x}{2}\,dx\\&=\dfrac{e^2}{2}-\left[\dfrac{x^2}{4}\right]_1^e\\&=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{e^2+1}{4}\end{aligned}

    Donc J=e2+14≈2,10J=\dfrac{e^2+1}{4}\approx2{,}10.

  5. Exercice 5

    Une suite d’intégrales

    Pour tout entier naturel nn, on pose un=∫01xnex dxu_n=\displaystyle\int_0^1x^ne^x\,dx.

    1. Calcule u0u_0.
    2. Montre que un+1=e−(n+1)unu_{n+1}=e-(n+1)u_n, puis calcule u1u_1 et u2u_2.
    3. Montre que la suite (un)(u_n) est décroissante.
    4. Montre que 0≤un≤en+10\le u_n\le\dfrac{e}{n+1} et déduis-en la limite de (un)(u_n).
    Voir le corrigé
    1. u0=∫01ex dx=e−1u_0=\displaystyle\int_0^1e^x\,dx=e-1.
    2. Par parties avec u(x)=xn+1u(x)=x^{n+1} et v′(x)=exv'(x)=e^x, on obtient un+1=e−(n+1)∫01xnex dxu_{n+1}=e-(n+1)\displaystyle\int_0^1x^ne^x\,dx, car [xn+1ex]01=e\Big[x^{n+1}e^x\Big]_0^1=e. Ainsi un+1=e−(n+1)unu_{n+1}=e-(n+1)u_n. Donc u1=e−(e−1)=1u_1=e-(e-1)=1 et u2=e−2×1=e−2≈0,72u_2=e-2\times1=e-2\approx0{,}72.
    3. Pour x∈[0 ; 1]x\in[0\,;\,1], xn+1≤xnx^{n+1}\le x^n et ex>0e^x>0, donc xn+1ex≤xnexx^{n+1}e^x\le x^ne^x. En intégrant sur [0 ; 1][0\,;\,1], un+1≤unu_{n+1}\le u_n : la suite est décroissante.
    4. Sur [0 ; 1][0\,;\,1], 0≤xnex≤xne0\le x^ne^x\le x^ne, donc 0≤un≤e∫01xn dx=en+10\le u_n\le e\displaystyle\int_0^1x^n\,dx=\dfrac{e}{n+1}. Comme en+1\dfrac{e}{n+1} tend vers 00, le théorème des gendarmes donne lim⁡un=0\lim u_n=0.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Les erreurs viennent souvent d’une confusion entre intégrale et aire, ou d’une primitive écrite trop vite.

  • Confondre intégrale et aire

    Si la fonction change de signe, l’intégrale n’est pas l’aire : ∫−13(2−x) dx=4\displaystyle\int_{-1}^{3}(2-x)\,dx=4, alors que l’aire du domaine vaut 55.

  • Oublier F(a)F(a)

    ∫01ex dx=e−e0=e−1\displaystyle\int_0^1e^x\,dx=e-e^0=e-1, et non ee : même quand la borne du bas vaut 00, F(0)F(0) n’est pas forcément nul.

  • Intégrer un produit facteur par facteur

    Une primitive de xexxe^x n’est pas x22ex\dfrac{x^2}{2}e^x. Pour un produit, pense à l’intégration par parties ou à une forme u′euu'e^u.

  • Soustraire dans le mauvais ordre

    Pour l’aire entre deux courbes, on intègre la fonction du dessus moins celle du dessous, après avoir étudié le signe de leur différence.

  • Mal choisir uu et v′v'

    Pour ∫1exln⁡x dx\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx, poser v′(x)=ln⁡xv'(x)=\ln x bloque le calcul : on prend u(x)=ln⁡xu(x)=\ln x, qui se simplifie en dérivant.

  • Oublier l’unité d’aire

    Si une unité vaut 22 cm sur chaque axe, une unité d’aire vaut 44 cm² : une aire de 4,54{,}5 unités d’aire fait 1818 cm².

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Six séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, l’intégrale se voit : tu déplaces une borne jusqu’à ce que les aires se compensent, tu règles le nombre de rectangles qui approchent une aire, tu fais descendre des courbes sous l’axe. Au niveau 2, tu tranches des débats « Qui a raison ? » et tu cherches la première ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu calcules des intégrales, des aires et des limites, avec Alphi, le coach IA, quand un indice t’aide à repartir.

  1. 1Interpréter une intégrale comme une aire sous une courbe

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu règles une fonction constante pour que son intégrale vaille −6-6, tu places bb pour que ∫0b(2−x) dx=0\int_0^b(2-x)\,dx=0 et tu règles le nombre de rectangles qui approchent ∫02x2 dx\int_0^2x^2\,dx.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu complètes la définition, tu départages deux élèves qui calculent ∫04(x−2) dx\int_0^4(x-2)\,dx et tu dis ce que représente l’intégrale de la vitesse d’un robot.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu calcules des intégrales avec des aires de triangles ou d’un demi-disque, tu encadres une intégrale par deux rectangles et tu trouves l’altitude d’un ascenseur à partir de sa vitesse.

  2. 2Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu places bb pour que ∫1bx dx=4\int_1^b x\,dx=4, tu ranges des intégrales avec la primitive qui sert à les calculer et tu règles nn pour que ∫01xn dx=15\int_0^1x^n\,dx=\frac{1}{5}.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu complètes la formule fondamentale, tu repères la première ligne fausse d’un calcul et tu choisis la phrase qui définit la valeur moyenne.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu calcules ∫13(3x2−2x+1) dx\int_1^3(3x^2-2x+1)\,dx ou ∫01e2x dx\int_0^1e^{2x}\,dx, une valeur moyenne, et une aire en cm² quand une unité d’aire vaut 22 cm².

  3. 3Calculer une aire comprise entre deux courbes

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu touches la courbe située au-dessus de l’autre, tu places le point où l’écart vertical est le plus grand et tu règles mm pour que le domaine ait une aire de 4,54{,}5.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu départages des élèves quand les courbes sont sous l’axe ou se croisent, et tu trouves l’erreur d’un calcul d’aire entre une parabole et une droite.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu calcules l’aire entre x2x^2 et x+2x+2, entre deux paraboles, ou celle d’un logo en cm² avec 22 cm pour unité.

  4. 4Calculer une intégrale à l’aide d’une intégration par parties

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu choisis uu et v′v' pour que la nouvelle intégrale soit calculable, tu règles kk pour que (x+k)ex(x+k)e^x soit une primitive de xexxe^x et tu enchaînes deux intégrations par parties.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu complètes la formule, tu départages deux élèves sur le choix de uu et v′v' et tu ranges des intégrales selon la méthode qui convient.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu calcules ∫0π2xsin⁡x dx\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\,dx, ∫12ln⁡x dx\int_1^2\ln x\,dx ou ∫1eln⁡xx2 dx\int_1^e\frac{\ln x}{x^2}\,dx, et une aire sous la courbe de (x+1)e−x(x+1)e^{-x}.

  5. 5Calculer une intégrale à l’aide d’un changement de variable

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu places les nouvelles bornes u(0)u(0) et u(2)u(2) pour u=x2+1u=x^2+1 et tu règles des bornes pour que deux intégrales soient égales.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu complètes la méthode, tu justifies le choix u=x3u=x^3 pour ∫01x2ex3 dx\int_0^1x^2e^{x^3}\,dx et tu trouves la ligne fausse d’une copie.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu calcules ∫1e3ln⁡xx dx\int_1^{e^3}\frac{\ln x}{x}\,dx ou ∫04dx2x+1\int_0^4\frac{dx}{\sqrt{2x+1}}, et le volume d’eau qui entre dans un bassin.

  6. 6Étudier une suite définie par une intégrale paramétrée

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu cherches le plus petit nn tel que ∫0ne−x dx≥0,99\int_0^ne^{-x}\,dx\ge0{,}99, tu ranges des suites selon leur sens de variation et tu encadres ∫231x dx\int_2^3\frac{1}{x}\,dx par deux rectangles.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu complètes la preuve du sens de variation d’une suite d’intégrales, tu départages des élèves sur sa limite et tu choisis l’intégration par parties qui relie In+1I_{n+1} à InI_n.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu calcules des termes avec une relation de récurrence, tu cherches la limite de (un)(u_n) ou de n unn\,u_n, et le rang à partir duquel une majoration garantit un≤0,01u_n\le0{,}01.

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Questions fréquentes

Comment calculer une intégrale ?

On cherche une primitive FF de la fonction ff à intégrer, puis on calcule F(b)−F(a)F(b)-F(a). Par exemple, ∫123x2 dx=23−13=7\int_1^2 3x^2\,dx=2^3-1^3=7.

Quelle est la différence entre une intégrale et une aire ?

Pour une fonction positive, l’intégrale est l’aire sous la courbe. Si la fonction est négative sur une partie de l’intervalle, cette partie compte négativement : l’intégrale peut alors être plus petite que l’aire, et même négative.

Comment calculer l’aire entre deux courbes ?

On cherche les points d’intersection, on repère quelle courbe est au-dessus de l’autre, puis on intègre la différence « fonction du dessus moins fonction du dessous » entre les deux bornes.

Quand faut-il faire une intégration par parties ?

Quand on doit intégrer un produit dont on ne connaît pas de primitive directe, comme xexxe^x, xsin⁡xx\sin x ou xln⁡xx\ln x. On dérive le facteur qui se simplifie et on intègre l’autre.

Comment calculer la valeur moyenne d’une fonction ?

On divise l’intégrale par la longueur de l’intervalle : μ=1b−a∫abf(x) dx\mu=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx. Par exemple, la valeur moyenne de 3x23x^2 sur [0 ; 2][0\,;\,2] est 82=4\frac{8}{2}=4.

Pour aller plus loin

Le calcul intégral repose sur les primitives, et donc sur les dérivées : la page nombre dérivé en Première en reprend les bases. La primitive ln⁡x\ln x de x↦1xx\mapsto\dfrac{1}{x} est expliquée sur la page logarithme népérien en Terminale, et les encadrements de suites d’intégrales utilisent les outils de la page limites de fonctions en Terminale. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Les maths, c’est une question de flow.

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