Convexité en Terminale : cours et exercices corrigés

Q: Comment savoir si une fonction est convexe ou concave ?

On calcule la dérivée seconde f'' et on étudie son signe. Sur un intervalle où f''(x)\ge0, la fonction est convexe ; là où f''(x)\le0, elle est concave.

Q: Qu’est-ce qu’un point d’inflexion ?

C’est un point où la courbe traverse sa tangente : la fonction passe de convexe à concave, ou l’inverse. Il se trouve là où f'' s’annule en changeant de signe.

Q: Comment calculer une dérivée seconde ?

On dérive la fonction, puis on dérive à nouveau le résultat. Par exemple, pour f(x)=x^3-3x, f'(x)=3x^2-3 et f''(x)=6x.

Q: Comment démontrer une inégalité avec la convexité ?

On montre que la fonction est convexe (ou concave), on écrit l’équation d’une tangente bien choisie, puis on utilise la position de la courbe : au-dessus de ses tangentes si elle est convexe, au-dessous si elle est concave. Par exemple, e^x\ge x+1 vient de la tangente en 0.

Q: Une fonction convexe est-elle forcément croissante ?

Non. La convexité décrit la forme de la courbe, pas son sens de variation : la fonction carré est convexe sur \mathbb{R} mais décroissante sur ]{-}\infty\,;\,0].

Programme de Terminale

Ce que tu dois savoir faire en Terminale

La convexité fait partie des compléments sur la dérivation du programme de spécialité. Elle enrichit l’étude de fonctions commencée en Première : après le sens de variation, donné par le signe de $f'$ , on étudie la forme de la courbe, donnée par la dérivée seconde $f''$ .

Le programme définit une fonction convexe par la position de sa courbe par rapport à ses cordes, puis admet l’équivalence avec la position par rapport aux tangentes, la croissance de $f'$ et la positivité de $f''$ . Tu dois savoir lire sur un graphique les intervalles où $f$ est convexe ou concave et les points d’inflexion, esquisser une courbe à partir des tableaux de $f$ , $f'$ ou $f''$ , et démontrer des inégalités grâce à la convexité. La démonstration au programme : si $f''$ est positive, la courbe est au-dessus de ses tangentes.

Dans Mathflow, le chapitre compte trois compétences, chacune en trois niveaux.

Les 3 compétences du chapitre

Calculer une dérivée seconde
Étudier la convexité à l’aide de la dérivée seconde
Étudier la convexité et l’utiliser pour démontrer des inégalités

Cours

L’essentiel du cours

La dérivée seconde, la définition de la convexité, les points d’inflexion et les inégalités : l’ordre logique du chapitre.

La dérivée seconde

On dérive donc deux fois de suite, avec les formules habituelles et celle de la composée : $\big(v(u(x))\big)'=v'(u(x))\times u'(x)$ .

$f(x)$	$f'(x)$	$f''(x)$
$x^3-3x$	$3x^2-3$	$6x$
$e^{2x+1}$	$2e^{2x+1}$	$4e^{2x+1}$
$xe^x$	$(x+1)e^x$	$(x+2)e^x$

En physique, si $x(t)$ est la position d’un mobile, $x'(t)$ est sa vitesse et $x''(t)$ son accélération.

Fonction convexe, fonction concave

De même, $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f''(x)\le0$ sur $I$ : sa courbe est alors au-dessous de ses tangentes.
Fonctions de référence : $x\mapsto x^2$ et $\exp$ sont convexes sur $\mathbb{R}$ ; $x\mapsto\sqrt{x}$ et $\ln$ sont concaves sur leur ensemble de définition.
Convexe ne veut pas dire croissante : $x\mapsto x^2$ est convexe mais décroissante sur $]{-}\infty\,;\,0]$ .

Point d’inflexion et méthode

Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ : résoudre $f''(x)=0$ , puis dresser un tableau de signes.
Conclure : $f$ est convexe là où $f''\ge0$ , concave là où $f''\le0$ .
Si $f''$ s’annule en changeant de signe en $a$ , le point de la courbe d’abscisse $a$ est un point d’inflexion.

Attention : $f''(a)=0$ ne suffit pas. Pour $f(x)=x^4$ , $f''(x)=12x^2$ s’annule en $0$ sans changer de signe : $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ et sa courbe n’a pas de point d’inflexion.

Démontrer une inégalité

Si $f$ est convexe sur $I$ , sa courbe est au-dessus de sa tangente en tout point $a$ de $I$ . On obtient une inégalité valable sur tout l’intervalle :

f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a)\quad\text{pour tout } x\in I

$\exp$ est convexe et sa tangente en $0$ est $y=x+1$ : pour tout réel $x$ , $e^x\ge x+1$ .
$\ln$ est concave et sa tangente en $1$ est $y=x-1$ : pour tout $x>0$ , $\ln x\le x-1$ .
Avec une corde : si $f$ est convexe sur $[a\,;\,b]$ , sa courbe est au-dessous de la corde entre $a$ et $b$ , ce qui donne une majoration de $f(x)$ pour $x$ dans $[a\,;\,b]$ .

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Convexité et point d’inflexion
Soit $f(x)=x^3-3x^2-9x+2$ sur $\mathbb{R}$ . Étudie la convexité de $f$ , puis donne l’équation de la tangente au point d’inflexion.
Solution
$f'(x)=3x^2-6x-9$ et $f''(x)=6x-6=6(x-1)$ .
$f''(x)\le0$ pour $x\le1$ et $f''(x)\ge0$ pour $x\ge1$ : $f$ est concave sur $]{-}\infty\,;\,1]$ et convexe sur $[1\,;\,+\infty[$ .
$f''$ s’annule en changeant de signe en $1$ : le point $I(1\,;\,-9)$ est un point d’inflexion, car $f(1)=1-3-9+2=-9$ .
$f'(1)=3-6-9=-12$ , donc la tangente en $I$ a pour équation $y=-12(x-1)-9$ , soit $y=-12x+3$ . On peut vérifier que $f(x)-(-12x+3)=(x-1)^3$ change de signe en $1$ : la courbe traverse bien sa tangente.
Exemple 2
Une inégalité avec une tangente
Démontre que pour tout réel $x>-1$ , $\ln(1+x)\le x$ .
Solution
Soit $g(x)=\ln(1+x)$ sur $]{-}1\,;\,+\infty[$ . Alors $g'(x)=\dfrac{1}{1+x}$ et $g''(x)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}<0$ : $g$ est concave.
La tangente en $0$ a pour équation $y=g'(0)(x-0)+g(0)=x$ .
Une fonction concave a sa courbe au-dessous de ses tangentes : pour tout $x>-1$ , $\ln(1+x)\le x$ . Par exemple, $\ln(1{,}1)\le0{,}1$ ; la calculatrice donne $\ln(1{,}1)\approx0{,}095$ .

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Quatre dérivées secondes
Calcule $f'(x)$ puis $f''(x)$ pour chaque fonction, définie sur $\mathbb{R}$ .
1. $f(x)=2x^4-x^3+3x-7$
2. $f(x)=e^{-3x}$
3. $f(x)=xe^{-x}$
4. $f(x)=\sin(2x)$
Voir le corrigé
1. $f'(x)=8x^3-3x^2+3$ et $f''(x)=24x^2-6x$ .
2. $f'(x)=-3e^{-3x}$ et $f''(x)=9e^{-3x}$ .
3. Dérivée d’un produit : $f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$ , puis $f''(x)=-e^{-x}-(1-x)e^{-x}=(x-2)e^{-x}$ .
4. $f'(x)=2\cos(2x)$ et $f''(x)=-4\sin(2x)$ .
Exercice 2
Étudier la convexité d’un polynôme
Soit $f(x)=x^4-4x^3+2$ sur $\mathbb{R}$ . Étudie la convexité de $f$ et donne les points d’inflexion de sa courbe.
Voir le corrigé
$f'(x)=4x^3-12x^2$ et $f''(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$ .
$f''(x)$ est positif à l’extérieur des racines $0$ et $2$ , négatif entre elles. Donc $f$ est convexe sur $]{-}\infty\,;\,0]$ et sur $[2\,;\,+\infty[$ , concave sur $[0\,;\,2]$ .
$f''$ s’annule en changeant de signe en $0$ et en $2$ : les points d’inflexion sont $(0\,;\,2)$ et $(2\,;\,-14)$ , car $f(2)=16-32+2=-14$ .
Exercice 3
Vrai ou faux ?
Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.
1. Si $f''(a)=0$ , la courbe de $f$ a un point d’inflexion d’abscisse $a$ .
2. Une fonction convexe sur $\mathbb{R}$ est croissante sur $\mathbb{R}$ .
3. Si $f'$ est décroissante sur $I$ , alors $f$ est concave sur $I$ .
4. La fonction $\ln$ est concave sur $]0\,;\,+\infty[$ .
Voir le corrigé
1. Faux : pour $f(x)=x^4$ , $f''(0)=0$ mais $f''$ ne change pas de signe ; il n’y a pas de point d’inflexion.
2. Faux : $x\mapsto x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$ , mais décroissante sur $]{-}\infty\,;\,0]$ .
3. Vrai : c’est l’une des caractérisations de la concavité pour une fonction dérivable.
4. Vrai : $(\ln x)''=-\dfrac{1}{x^2}<0$ pour tout $x>0$ .
Exercice 4
L’inégalité $e^x\ge x+1$
1. Démontre que pour tout réel $x$ , $e^x\ge x+1$ .
2. Déduis-en que pour tout entier $n\ge1$ , $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\le e$ .
Voir le corrigé
1. $(e^x)''=e^x>0$ : la fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$ . Sa tangente en $0$ a pour équation $y=e^0(x-0)+e^0=x+1$ . La courbe d’une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes, donc $e^x\ge x+1$ pour tout réel $x$ .
2. Avec $x=\dfrac{1}{n}$ : $e^{\frac{1}{n}}\ge1+\dfrac{1}{n}>0$ . La fonction $t\mapsto t^n$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ , donc $\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^n\ge\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ , c’est-à-dire $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\le e$ . Par exemple, $1{,}1^{10}\approx2{,}594\le e$ .
Exercice 5
Encadrer $\sqrt{2}$ grâce à la concavité
Soit $f(x)=\sqrt{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ .
1. Montre que $f$ est concave.
2. Avec la tangente en $1$ , montre que $\sqrt{x}\le\dfrac{x+1}{2}$ pour tout $x>0$ .
3. Avec la corde entre les points d’abscisses $1$ et $4$ , montre que $\sqrt{x}\ge\dfrac{x+2}{3}$ pour tout $x$ de $[1\,;\,4]$ .
4. Déduis-en un encadrement de $\sqrt{2}$ .
Voir le corrigé
1. $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ et $f''(x)=-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}<0$ : $f$ est concave sur $]0\,;\,+\infty[$ .
2. La tangente en $1$ : $y=\dfrac{1}{2}(x-1)+1=\dfrac{x+1}{2}$ . La courbe d’une fonction concave est au-dessous de ses tangentes, donc $\sqrt{x}\le\dfrac{x+1}{2}$ .
3. La corde joint $(1\,;\,1)$ et $(4\,;\,2)$ : son coefficient directeur est $\frac{2-1}{4-1}=\frac{1}{3}$ , donc $y=1+\frac{x-1}{3}=\frac{x+2}{3}$ . Une courbe concave est au-dessus de ses cordes : $\sqrt{x}\ge\dfrac{x+2}{3}$ sur $[1\,;\,4]$ .
4. Avec $x=2$ : $\dfrac{4}{3}\le\sqrt{2}\le\dfrac{3}{2}$ , soit $1{,}33\le\sqrt{2}\le1{,}5$ . En effet, $\sqrt{2}\approx1{,}414$ .

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

La plupart des erreurs viennent d’une confusion entre $f'$ et $f''$ , ou entre tangentes et cordes.

Confondre variations et convexité
Le signe de $f'$ donne le sens de variation ; c’est le signe de $f''$ qui donne la convexité. Une fonction convexe peut être décroissante.
Croire que $f''(a)=0$ suffit
Il faut que $f''$ change de signe en $a$ . Pour $x^4$ , $f''(0)=0$ et pourtant il n’y a pas de point d’inflexion.
Inverser cordes et tangentes
Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de ses tangentes et au-dessous de ses cordes. Pour une fonction concave, c’est l’inverse.
Oublier le facteur de la composée
$(e^{2x+1})'=2e^{2x+1}$ , donc $(e^{2x+1})''=4e^{2x+1}$ : le facteur $2$ apparaît à chaque dérivation.
Parler de convexité sans intervalle
$x\mapsto x^3$ n’est ni convexe ni concave sur $\mathbb{R}$ : elle est concave sur $]{-}\infty\,;\,0]$ et convexe sur $[0\,;\,+\infty[$ .
Prendre le point d’inflexion pour un extremum
Au point d’inflexion, c’est $f''$ qui change de signe, pas forcément $f'$ . La courbe y traverse sa tangente : la fonction n’y atteint pas d’extremum local.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Trois séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, la convexité se voit et se manipule : tu fais glisser un point jusqu’à ce que la courbe traverse sa tangente, tu places une corde, tu règles un paramètre pour qu’une fonction reste convexe. Au niveau 2, tu tranches des débats « Qui a raison ? » et tu cherches la première ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu calcules, tu étudies des signes et tu démontres des inégalités, avec Alphi, le coach IA, quand un indice t’aide à repartir.

1Calculer une dérivée seconde
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu touches la formule de $f''$ qui donne la pente de la courbe de $f'$ , tu règles $\omega$ pour que $x''(t)=-9x(t)$ et tu ranges des fonctions selon leur dérivée seconde.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu départages des élèves qui dérivent deux fois $\cos x$ , $x^2e^x$ ou $e^{2x+1}$ , et tu complètes la vitesse et l’accélération d’un mobile.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules $f''(2)$ ou $f''(0)$ , par exemple pour $(x^2+1)e^{-x}$ ou $x\sin x$ , tu trouves la ligne fausse d’une copie et l’accélération d’un mobile.
2Étudier la convexité à l’aide de la dérivée seconde
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places l’instant où la croissance d’une population cesse d’accélérer, tu règles $k$ pour que $x^4+kx^2$ soit convexe sur $\mathbb{R}$ et tu associes une courbe de $f''$ à celle de $f$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes le lien entre le signe de $f''$ et la convexité, tu tranches des débats et tu trouves la première ligne fausse d’une copie.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu résous $f''(x)=0$ , tu trouves où $x^4-6x^2+3$ est concave et tu calcules les coordonnées d’un point où la convexité change.
3Étudier la convexité et l’utiliser pour démontrer des inégalités
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu fais glisser un point jusqu’à ce que la courbe traverse sa tangente, tu places une corde sous la courbe et tu touches les droites qui restent au-dessus de la courbe de $\ln$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes les définitions de la convexité et du point d’inflexion, tu justifies $\sin x\le x$ sur $[0\,;\,\pi]$ et tu trouves l’erreur d’une comparaison entre $\ln x$ et $x-1$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu utilises une tangente ou une corde pour majorer $\sqrt{4{,}4}$ , minorer $f(3)$ ou encadrer $e^{0{,}2}$ , et tu remets dans l’ordre la preuve de $e^x\ge ex$ .

Commencer gratuitement

Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est convexe ou concave ?

On calcule la dérivée seconde $f''$ et on étudie son signe. Sur un intervalle où $f''(x)\ge0$ , la fonction est convexe ; là où $f''(x)\le0$ , elle est concave.

Qu’est-ce qu’un point d’inflexion ?

C’est un point où la courbe traverse sa tangente : la fonction passe de convexe à concave, ou l’inverse. Il se trouve là où $f''$ s’annule en changeant de signe.

Comment calculer une dérivée seconde ?

On dérive la fonction, puis on dérive à nouveau le résultat. Par exemple, pour $f(x)=x^3-3x$ , $f'(x)=3x^2-3$ et $f''(x)=6x$ .

Comment démontrer une inégalité avec la convexité ?

On montre que la fonction est convexe (ou concave), on écrit l’équation d’une tangente bien choisie, puis on utilise la position de la courbe : au-dessus de ses tangentes si elle est convexe, au-dessous si elle est concave. Par exemple, $e^x\ge x+1$ vient de la tangente en $0$ .

Une fonction convexe est-elle forcément croissante ?

Non. La convexité décrit la forme de la courbe, pas son sens de variation : la fonction carré est convexe sur $\mathbb{R}$ mais décroissante sur $]{-}\infty\,;\,0]$ .

Pour aller plus loin

La convexité prolonge la dérivation de Première : revois le nombre dérivé et la fonction exponentielle si les calculs de dérivées ne sont pas encore automatiques. La concavité de $\ln$ est étudiée sur la page logarithme népérien en Terminale, et les comportements aux bornes sur la page limites de fonctions en Terminale. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Convexité en Terminale : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en Terminale

L’essentiel du cours

La dérivée seconde

Fonction convexe, fonction concave

Point d’inflexion et méthode

Démontrer une inégalité

Deux exemples résolus

Convexité et point d’inflexion

Une inégalité avec une tangente

Cinq exercices corrigés

Quatre dérivées secondes

Étudier la convexité d’un polynôme

Vrai ou faux ?

L’inégalité $e^x\ge x+1$

Encadrer $\sqrt{2}$ grâce à la concavité

Les pièges à éviter

Confondre variations et convexité

Croire que $f''(a)=0$ suffit

Inverser cordes et tangentes

Oublier le facteur de la composée

Parler de convexité sans intervalle

Prendre le point d’inflexion pour un extremum

Ce chapitre dans Mathflow

1Calculer une dérivée seconde

2Étudier la convexité à l’aide de la dérivée seconde

3Étudier la convexité et l’utiliser pour démontrer des inégalités

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Convexité en Terminale : cours, exemples et exercices

La dérivée seconde

Fonction convexe, fonction concave

Point d’inflexion et méthode

Démontrer une inégalité

Convexité et point d’inflexion

Une inégalité avec une tangente

Quatre dérivées secondes

Étudier la convexité d’un polynôme

Vrai ou faux ?

L’inégalité ex≥x+1e^x\ge x+1ex≥x+1

Encadrer 2\sqrt{2}2​ grâce à la concavité

Confondre variations et convexité

Croire que f′′(a)=0f''(a)=0f′′(a)=0 suffit

Inverser cordes et tangentes

Oublier le facteur de la composée

Parler de convexité sans intervalle

Prendre le point d’inflexion pour un extremum

1Calculer une dérivée seconde

2Étudier la convexité à l’aide de la dérivée seconde

3Étudier la convexité et l’utiliser pour démontrer des inégalités

Les maths, c’est une question de flow.

L’inégalité $e^x\ge x+1$

Encadrer $\sqrt{2}$ grâce à la concavité

Croire que $f''(a)=0$ suffit