Limites de fonctions en Terminale : cours et exercices

Q: Quelles sont les formes indéterminées ?

Il y en a quatre : \infty-\infty, 0\times\infty, \frac{\infty}{\infty} et \frac{0}{0}. Dans ces cas, les règles d’opérations ne permettent pas de conclure directement.

Q: Comment trouver une asymptote horizontale ou verticale ?

Si f(x) tend vers un réel \ell en +\infty ou en -\infty, la droite y=\ell est asymptote horizontale. Si f(x) tend vers +\infty ou -\infty quand x tend vers un réel a, la droite x=a est asymptote verticale.

Q: Que disent les croissances comparées ?

En +\infty, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance : pour tout entier n\ge1, \frac{e^x}{x^n}\to+\infty et \frac{x^n}{e^x}\to0. En -\infty, x^ne^x\to0.

Programme de Terminale

Ce que tu dois savoir faire en Terminale

Les limites de fonctions sont au cœur de l’analyse de la spécialité maths de Terminale ; elles prolongent les limites de suites. Le programme étudie les limites finies ou infinies en $+\infty$ , en $-\infty$ et en un réel, les asymptotes parallèles aux axes, les limites des fonctions de référence de Première (puissances entières, racine carrée, exponentielle), la comparaison et les opérations sur les limites, qui sont admises.

L’attendu central : déterminer, dans des cas simples, une limite en combinant les limites usuelles, les opérations, les croissances comparées, les majorations, minorations ou encadrements et la factorisation du terme prépondérant, puis faire le lien entre limite et asymptote. La croissance comparée de $x^n$ et de $e^x$ en $+\infty$ fait partie des démonstrations du programme.

Dans Mathflow, le chapitre compte quatre compétences, chacune en trois niveaux.

Les 4 compétences du chapitre

Déterminer une limite à l’infini ou en un réel
Utiliser les opérations sur les limites
Calculer des limites en utilisant un encadrement ou une dérivée
Comparer les croissances des fonctions puissances et exponentielles

Cours

L’essentiel du cours

Les définitions et les asymptotes, les limites usuelles, les opérations et leurs formes indéterminées, puis les outils de comparaison et les croissances comparées.

Limites et asymptotes

Si $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell$ , la droite d’équation $y=\ell$ est asymptote horizontale à la courbe.
Si $f(x)$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ , la droite d’équation $x=a$ est asymptote verticale à la courbe.
En un réel, on distingue souvent la limite à gauche ( $x\to a^-$ , avec $x<a$ ) et la limite à droite ( $x\to a^+$ , avec $x>a$ ).

Les limites usuelles à connaître :

pour tout entier $n\ge1$ , $x^n$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ ; en $-\infty$ , vers $+\infty$ si $n$ est pair et vers $-\infty$ si $n$ est impair ;
$\dfrac{1}{x^n}$ tend vers $0$ en $+\infty$ et en $-\infty$ ; $\dfrac{1}{x}$ tend vers $+\infty$ en $0^+$ et vers $-\infty$ en $0^-$ ;
$\sqrt{x}$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ ;
$e^x$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ et vers $0$ en $-\infty$ .

Opérations et formes indéterminées

Les règles sur les sommes, produits et quotients de limites sont admises. Elles donnent le résultat attendu, par exemple $+\infty+\infty=+\infty$ ou $\dfrac{3}{+\infty}=0$ , sauf dans quatre formes indéterminées :

\infty-\infty\qquad0\times\infty\qquad\dfrac{\infty}{\infty}\qquad\dfrac{0}{0}

Pour un quotient dont le dénominateur tend vers $0$ et le numérateur vers un réel non nul, la limite est infinie : son signe se lit avec un tableau de signes, souvent différent à gauche et à droite.

Pour lever une indétermination, on transforme l’écriture :

factoriser par le terme prépondérant (le plus haut degré, ou l’exponentielle) ;
simplifier un quotient par un facteur commun, pour une forme $\dfrac{0}{0}$ ;
multiplier par l’expression conjuguée quand il y a des racines carrées.

\dfrac{3x^2-x}{x^2+1}=\dfrac{3-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}\xrightarrow[x\to+\infty]{}3

Pour une composée, on enchaîne les limites : quand $x\to+\infty$ , $X=-x^2$ tend vers $-\infty$ et $e^X$ tend vers $0$ , donc $e^{-x^2}$ tend vers $0$ .

Comparaison, gendarmes et taux d’accroissement

Par exemple, pour $x>0$ , $-1\le\sin x\le1$ donne $-\dfrac{1}{x}\le\dfrac{\sin x}{x}\le\dfrac{1}{x}$ . Les deux bornes tendent vers $0$ en $+\infty$ , donc $\dfrac{\sin x}{x}$ aussi.

Taux d’accroissement. Si $f$ est dérivable en $a$ , $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ tend vers $f'(a)$ quand $x$ tend vers $a$ . Ainsi, avec $f=\exp$ et $a=0$ :

\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}=\exp'(0)=1

Croissances comparées

Démonstration pour $n=1$ . La fonction $h(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}$ a pour dérivée $e^x-x$ , positive car $e^x\ge x+1$ . Comme $h(0)=1$ , $h(x)>0$ pour $x\ge0$ . Donc, pour $x>0$ , $\dfrac{e^x}{x}\ge\dfrac{x}{2}$ , qui tend vers $+\infty$ : par comparaison, $\dfrac{e^x}{x}\to+\infty$ . Le cas général s’en déduit en écrivant :

\dfrac{e^x}{x^n}=\dfrac{1}{n^n}\left(\dfrac{e^{x/n}}{x/n}\right)^n

En pratique, on factorise par le terme qui l’emporte : $e^x-x^3=e^x\left(1-\dfrac{x^3}{e^x}\right)$ , et la parenthèse tend vers $1$ , donc $e^x-x^3\to+\infty$ en $+\infty$ .

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Les asymptotes de $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$
Soit $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ pour $x\neq3$ . Calcule les limites de $f$ en $+\infty$ , en $-\infty$ , puis à gauche et à droite de $3$ . Interprète graphiquement.
Solution
En $\pm\infty$ , la forme est $\dfrac{\infty}{\infty}$ . On factorise par $x$ en haut et en bas :
$f(x)=\dfrac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}\xrightarrow[x\to\pm\infty]{}\dfrac{2}{1}=2$
En $3$ , le numérateur tend vers $7$ et le dénominateur vers $0$ . Pour $x>3$ , $x-3>0$ , donc $f(x)\to+\infty$ ; pour $x<3$ , $x-3<0$ , donc $f(x)\to-\infty$ .
La droite $y=2$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$ ; la droite $x=3$ est asymptote verticale.
Exemple 2
Deux limites avec l’exponentielle
1. Calcule $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(e^x-x^2\right)$ .
2. Calcule $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^3+1}{e^x}$ .
Solution
1. Forme $\infty-\infty$ . On factorise par $e^x$ : $e^x-x^2=e^x\left(1-\dfrac{x^2}{e^x}\right)$ . Par croissances comparées, $\dfrac{x^2}{e^x}\to0$ , donc la parenthèse tend vers $1$ et le produit tend vers $+\infty$ .
2. $\dfrac{x^3+1}{e^x}=\dfrac{x^3}{e^x}+\dfrac{1}{e^x}$ . Par croissances comparées, $\dfrac{x^3}{e^x}\to0$ ; et $\dfrac{1}{e^x}\to0$ . La limite vaut $0$ .

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Limites usuelles et opérations
Calcule chaque limite.
1. $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x^2+\sqrt{x}\right)$
2. $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(3+\dfrac{2}{x}\right)$
3. $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(4-e^x\right)$
4. les limites de $\dfrac{1}{x}-x$ en $0^+$ et en $0^-$
Voir le corrigé
1. $x^2\to+\infty$ et $\sqrt{x}\to+\infty$ : la somme tend vers $+\infty$ .
2. $\dfrac{2}{x}\to0$ , donc la limite vaut $3$ .
3. $e^x\to0$ en $-\infty$ , donc la limite vaut $4$ .
4. $x\to0$ et $\dfrac{1}{x}$ tend vers $+\infty$ en $0^+$ , vers $-\infty$ en $0^-$ . Donc $\dfrac{1}{x}-x$ tend vers $+\infty$ en $0^+$ et vers $-\infty$ en $0^-$ .
Exercice 2
Lever une forme indéterminée
1. Calcule $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x^3-5x^2+1\right)$ .
2. Calcule $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{4x^2-x}{1-2x^2}$ .
Voir le corrigé
1. Forme $\infty-\infty$ . Pour $x\neq0$ , $x^3-5x^2+1=x^3\left(1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^3}\right)$ . La parenthèse tend vers $1$ et $x^3\to+\infty$ : la limite vaut $+\infty$ .
2. Forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ . On factorise par $x^2$ en haut et en bas :
$\dfrac{4x^2-x}{1-2x^2}=\dfrac{4-\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}-2}\xrightarrow[x\to-\infty]{}\dfrac{4}{-2}=-2$
Exercice 3
Une asymptote verticale
Soit $f(x)=\dfrac{x-4}{(x+1)^2}$ pour $x\neq-1$ . Calcule les limites de $f$ en $-1$ et en $+\infty$ , puis donne les asymptotes de sa courbe.
Voir le corrigé
En $-1$ : le numérateur tend vers $-5$ et le dénominateur vers $0$ en restant positif, car c’est un carré. Donc $f(x)\to-\infty$ , à gauche comme à droite de $-1$ .
En $+\infty$ : $f(x)=\dfrac{1}{x}\times\dfrac{1-\frac{4}{x}}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^2}$ . Le second facteur tend vers $1$ et $\dfrac{1}{x}\to0$ : la limite vaut $0$ .
La droite $x=-1$ est asymptote verticale et la droite $y=0$ est asymptote horizontale en $+\infty$ (et aussi en $-\infty$ , par le même calcul).
Exercice 4
Avec des racines carrées
1. Calcule $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+4}-\sqrt{x}\right)$ .
2. Calcule $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ .
Voir le corrigé
a. Forme $\infty-\infty$ . On multiplie par l’expression conjuguée :
$\begin{aligned}\sqrt{x+4}-\sqrt{x}&=\dfrac{(x+4)-x}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}}\\&=\dfrac{4}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}}\end{aligned}$
Le dénominateur tend vers $+\infty$ : la limite vaut $0$ .
b. Forme $\dfrac{0}{0}$ . Pour $x\neq0$ :
$\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}&=\dfrac{(x+4)-4}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}\\&=\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}\end{aligned}$
Quand $x\to0$ , cette expression tend vers $\dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}$ . On retrouve un taux d’accroissement : avec $g(x)=\sqrt{x+4}$ , la limite vaut $g'(0)=\dfrac{1}{2\sqrt{4}}=\dfrac{1}{4}$ .
Exercice 5
Encadrement et croissances comparées
1. Pour $x>-1$ , montre que $\dfrac{2x-1}{x+1}\le\dfrac{2x+\sin x}{x+1}\le\dfrac{2x+1}{x+1}$ , puis déduis-en la limite en $+\infty$ de $\dfrac{2x+\sin x}{x+1}$ .
2. Soit $f(x)=\left(x^2+1\right)e^{-x}$ . Calcule ses limites en $+\infty$ et en $-\infty$ .
Voir le corrigé
1. $-1\le\sin x\le1$ , donc $2x-1\le2x+\sin x\le2x+1$ . On divise par $x+1>0$ , ce qui conserve le sens des inégalités. Pour $x>0$ , en divisant par $x$ , les bornes s’écrivent $\dfrac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$ et $\dfrac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$ : elles tendent vers $2$ . D’après le théorème des gendarmes, la limite vaut $2$ .
2. En $+\infty$ : $f(x)=\dfrac{x^2}{e^x}+\dfrac{1}{e^x}$ , et les deux termes tendent vers $0$ par croissances comparées, donc $f(x)\to0$ . En $-\infty$ : $x^2+1\to+\infty$ et $e^{-x}\to+\infty$ , donc le produit tend vers $+\infty$ .

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

La plupart des erreurs viennent d’une forme indéterminée traitée comme un calcul ordinaire.

Écrire $\infty-\infty=0$
C’est une forme indéterminée : $x^2-x\to+\infty$ , $x-x^2\to-\infty$ et $(x+1)-x\to1$ , alors que chaque fois les deux termes tendent vers $+\infty$ .
Écrire $\dfrac{\infty}{\infty}=1$
$\dfrac{2x}{x}$ tend vers $2$ et $\dfrac{x^2}{x}$ vers $+\infty$ : il faut factoriser par le terme prépondérant.
Oublier le signe du dénominateur
Pour $\dfrac{1}{x-2}$ en $2$ , la limite vaut $-\infty$ à gauche et $+\infty$ à droite : on étudie le signe de $x-2$ de chaque côté.
Remplacer $x$ par l’infini
On n’écrit jamais $f(+\infty)$ : on donne la limite de chaque morceau, puis on conclut avec les règles d’opérations.
Croire que les puissances gagnent
Pour $x=10$ , $x^{100}$ est bien plus grand que $e^x$ , et pourtant $\dfrac{e^x}{x^{100}}\to+\infty$ : l’exponentielle finit toujours par l’emporter.
Des gendarmes qui ne vont pas au même endroit
Si $1-\dfrac{1}{x}\le f(x)\le3+\dfrac{1}{x}$ , les bornes tendent vers $1$ et $3$ : on ne peut rien conclure sur la limite de $f$ .

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Quatre séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, les limites se voient : tu places les asymptotes d’une courbe, tu resserres des « gendarmes » autour d’une fonction, tu éloignes $x$ jusqu’à voir l’exponentielle dépasser $x^{10}$ . Au niveau 2, tu tranches des débats « Qui a raison ? » et tu repères la première ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu calcules des limites et tu lèves des indéterminations, avec Alphi si tu as besoin d’un indice.

1Déterminer une limite à l’infini ou en un réel
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places un point à partir duquel la courbe reste dans une bande autour de $2$ , tu places les asymptotes d’une courbe et tu lis quatre limites sur un graphique.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition d’une limite finie en $+\infty$ , tu tranches un débat sur $\dfrac{1}{x}$ près de $0$ et tu trouves l’erreur de Maël sur la fonction carré en $-\infty$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des limites de quotients, à gauche et à droite d’un réel, tu trouves $a$ pour que $y=-3$ soit asymptote et tu repères la première ligne fausse de Lou.
2Utiliser les opérations sur les limites
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu repères les formes indéterminées, tu touches le terme qui l’emporte en haut et en bas d’un quotient et tu règles un exposant pour qu’un quotient tende vers $2$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu tranches des débats sur $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$ ou $\dfrac{2x+1}{x+3}$ , tu associes chaque expression à sa forme indéterminée et tu complètes la justification pour $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ en $2$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu lèves des indéterminations dans des polynômes et des quotients, tu simplifies une forme $\dfrac{0}{0}$ et tu utilises l’expression conjuguée pour $\sqrt{x^2+x}-x$ .
3Calculer des limites en utilisant un encadrement ou une dérivée
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu règles deux gendarmes pour qu’ils encadrent une fonction et aient la même limite, tu les resserres au maximum et tu places une droite qui reste sous la courbe en tendant vers $+\infty$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes l’énoncé du théorème des gendarmes, tu trouves l’erreur de Mehdi sur $\dfrac{\cos x}{x}$ et la ligne fausse de Lucas sur $x\sin x$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu choisis l’outil (gendarmes, minoration ou majoration) et tu calcules des limites comme celle de $\dfrac{x+\sin x}{x}$ ou de $x^2+x\cos x$ en $+\infty$ .
4Comparer les croissances des fonctions puissances et exponentielles
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu arrêtes $x$ au premier entier où $e^x$ repasse devant $x^3$ , tu dézoomes la courbe de $\dfrac{e^x}{x^n}$ et tu règles une parabole qui reste sous la courbe de $e^x$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes l’énoncé des croissances comparées, tu remets en ordre la preuve de $\dfrac{e^x}{x}\to+\infty$ et tu trouves la première ligne fausse de Zoé sur $x^3e^x$ en $-\infty$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des limites de quotients mêlant puissances et exponentielles, et la limite d’une population $P(t)=200+500t^2e^{-t}$ .

Commencer gratuitement

Questions fréquentes

Comment calculer une limite en Terminale ?

On commence par les limites usuelles de chaque morceau, puis on applique les règles d’opérations. Si l’on tombe sur une forme indéterminée, on transforme l’écriture : factorisation par le terme prépondérant, simplification, expression conjuguée, ou croissances comparées.

Quelles sont les formes indéterminées ?

Il y en a quatre : $\infty-\infty$ , $0\times\infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac{0}{0}$ . Dans ces cas, les règles d’opérations ne permettent pas de conclure directement.

Comment trouver une asymptote horizontale ou verticale ?

Si $f(x)$ tend vers un réel $\ell$ en $+\infty$ ou en $-\infty$ , la droite $y=\ell$ est asymptote horizontale. Si $f(x)$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ quand $x$ tend vers un réel $a$ , la droite $x=a$ est asymptote verticale.

Qu’est-ce que le théorème des gendarmes ?

Si une fonction est coincée entre deux fonctions qui ont la même limite finie $\ell$ , elle a aussi pour limite $\ell$ . Il sert notamment avec $\sin x$ ou $\cos x$ , qui restent entre $-1$ et $1$ .

Que disent les croissances comparées ?

En $+\infty$ , l’exponentielle l’emporte sur toute puissance : pour tout entier $n\ge1$ , $\frac{e^x}{x^n}\to+\infty$ et $\frac{x^n}{e^x}\to0$ . En $-\infty$ , $x^ne^x\to0$ .

Pour aller plus loin

Les limites prolongent l’étude de la fonction exponentielle et l’idée de limite rencontrée avec les suites numériques. Elles servent ensuite à étudier le logarithme népérien, la convexité et le calcul intégral. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Limites de fonctions en Terminale : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en Terminale

L’essentiel du cours

Limites et asymptotes

Opérations et formes indéterminées

Comparaison, gendarmes et taux d’accroissement

Croissances comparées

Deux exemples résolus

Les asymptotes de $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$

Deux limites avec l’exponentielle

Cinq exercices corrigés

Limites usuelles et opérations

Lever une forme indéterminée

Une asymptote verticale

Avec des racines carrées

Encadrement et croissances comparées

Les pièges à éviter

Écrire $\infty-\infty=0$

Écrire $\dfrac{\infty}{\infty}=1$

Oublier le signe du dénominateur

Remplacer $x$ par l’infini

Croire que les puissances gagnent

Des gendarmes qui ne vont pas au même endroit

Ce chapitre dans Mathflow

1Déterminer une limite à l’infini ou en un réel

2Utiliser les opérations sur les limites

3Calculer des limites en utilisant un encadrement ou une dérivée

4Comparer les croissances des fonctions puissances et exponentielles

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Limites de fonctions en Terminale : cours, exemples et exercices

Limites et asymptotes

Opérations et formes indéterminées

Comparaison, gendarmes et taux d’accroissement

Croissances comparées

Les asymptotes de f(x)=2x+1x−3f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}f(x)=x−32x+1​

Deux limites avec l’exponentielle

Limites usuelles et opérations

Lever une forme indéterminée

Une asymptote verticale

Avec des racines carrées

Encadrement et croissances comparées

Écrire ∞−∞=0\infty-\infty=0∞−∞=0

Écrire ∞∞=1\dfrac{\infty}{\infty}=1∞∞​=1

Oublier le signe du dénominateur

Remplacer xxx par l’infini

Croire que les puissances gagnent

Des gendarmes qui ne vont pas au même endroit

1Déterminer une limite à l’infini ou en un réel

2Utiliser les opérations sur les limites

3Calculer des limites en utilisant un encadrement ou une dérivée

4Comparer les croissances des fonctions puissances et exponentielles

Les maths, c’est une question de flow.

Les asymptotes de $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$

Écrire $\infty-\infty=0$

Écrire $\dfrac{\infty}{\infty}=1$

Remplacer $x$ par l’infini