Suites numériques en Première : cours et exercices

Q: Qu’est-ce qu’une suite numérique ?

C’est une liste ordonnée de nombres u_0, u_1, u_2… : à chaque entier naturel n, on associe un nombre réel u_n, le terme de rang n.

Q: Quelle est la différence entre forme explicite et récurrence ?

Avec une forme explicite u_n=f(n), on calcule directement n’importe quel terme. Avec une récurrence, on part du premier terme et on calcule chaque terme à partir du précédent.

Q: Comment étudier le sens de variation d’une suite ?

On étudie le signe de u_{n+1}-u_n pour tout n. Si cette différence est positive, la suite est croissante ; si elle est négative, la suite est décroissante. Pour une suite à termes strictement positifs, on peut aussi comparer \frac{u_{n+1}}{u_n} à 1.

Programme de Première

Ce que tu dois savoir faire en Première

Les suites numériques ouvrent le programme d’algèbre de la spécialité maths de Première. Le programme les présente comme des modèles d’évolutions à temps discret : une population année après année, un capital mois après mois, un motif qui grandit étape par étape.

Il demande de savoir générer une suite de façon explicite, par une relation de récurrence ou par un algorithme, de passer d’un registre à l’autre (langue naturelle, formule, graphique), de traiter les suites arithmétiques et géométriques, d’étudier le sens de variation et de conjecturer une limite dans des cas simples.

Dans Mathflow, ce premier chapitre sur les suites compte trois compétences, chacune en trois niveaux. Les chapitres suivants de l’app approfondissent les suites arithmétiques, les suites géométriques et les suites dans des situations réelles.

Les 3 compétences du chapitre

Comprendre ce qu’est une suite numérique
Exprimer une suite de manière explicite ou récurrente
Analyser les variations et les limites d’une suite

Cours

L’essentiel du cours

Définitions, modes de génération, suites de référence, variations et première idée de limite.

Qu’est-ce qu’une suite ?

$(u_n)$ désigne la suite tout entière, $u_n$ un seul de ses termes.
Si la suite commence à $u_0$ , le dixième terme est $u_9$ .
$u_{n+1}$ est le terme qui suit $u_n$ ; il ne faut pas le confondre avec $u_n+1$ .

On représente une suite par les points isolés de coordonnées $(n\,;\,u_n)$ , sans les relier : $n$ ne prend que des valeurs entières.

Forme explicite et relation de récurrence

Forme explicite : $u_n=f(n)$ . On calcule directement n’importe quel terme, par exemple $u_{100}$ pour $u_n=n^2-3n$ .

Relation de récurrence : on donne le premier terme et une relation $u_{n+1}=f(u_n)$ . Chaque terme se calcule à partir du précédent, ce que fait très bien un tableur ou une boucle en Python.

\begin{aligned}&u_0=2,\quad u_{n+1}=3u_n-2\\&u_1=4,\quad u_2=10,\quad u_3=28\end{aligned}

Deux suites de référence

	Arithmétique de raison $r$	Géométrique de raison $q$
Récurrence	$u_{n+1}=u_n+r$	$u_{n+1}=q\times u_n$
Forme explicite	$u_n=u_0+nr$	$u_n=u_0\times q^n$
Modèle	accroissements constants	taux d’évolution constant

Une hausse de $3\,\%$ par an multiplie chaque année par $1{,}03$ : c’est une suite géométrique de raison $1{,}03$ . Les sommes utiles : $1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ et, pour $q\neq1$ , $1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ .

Sens de variation

Méthode générale : étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ .
Si $u_n=f(n)$ et que $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ , alors $(u_n)$ est croissante.
Si tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ .

Une suite arithmétique est croissante si $r>0$ et décroissante si $r<0$ . Pour une suite géométrique de premier terme positif, elle est croissante si $q>1$ et décroissante si $0<q<1$ .

Une première idée de limite

En Première, on conjecture la limite à partir des termes ou du graphique. Les termes de $u_n=3-\dfrac{1}{n+1}$ se rapprochent de $3$ ; ceux de $u_n=n^2$ dépassent n’importe quel nombre ; ceux de $u_n=(-1)^n$ alternent entre $1$ et $-1$ et ne se rapprochent d’aucun nombre.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Une suite explicite et ses variations
Pour tout entier naturel $n$ , $u_n=2n^2-3$ . Calcule $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ , puis étudie le sens de variation de la suite.
Solution
$u_0=-3$ , $u_1=-1$ et $u_2=5$ .
$\begin{aligned}u_{n+1}-u_n&=2(n+1)^2-3-(2n^2-3)\\&=4n+2\end{aligned}$
Pour tout entier naturel $n$ , $4n+2>0$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
Exemple 2
Une suite définie par récurrence
On pose $u_0=2$ et $u_{n+1}=3u_n-2$ . Calcule $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ . La suite est-elle arithmétique ? géométrique ?
Solution
$u_1=3\times2-2=4$ , $u_2=3\times4-2=10$ , $u_3=3\times10-2=28$ .
$u_1-u_0=2$ mais $u_2-u_1=6$ : la suite n’est pas arithmétique.
$\dfrac{u_1}{u_0}=2$ mais $\dfrac{u_2}{u_1}=2{,}5$ : elle n’est pas géométrique non plus.

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Une suite arithmétique
Pour tout entier naturel $n$ , $u_n=5-2n$ .
1. Calcule $u_0$ , $u_1$ et $u_{10}$ .
2. Montre que la suite est arithmétique et donne sa raison.
3. Quel est son sens de variation ?
Voir le corrigé
1. $u_0=5$ , $u_1=3$ , $u_{10}=5-20=-15$ .
2. $u_{n+1}-u_n=5-2(n+1)-(5-2n)=-2$ : la suite est arithmétique de raison $-2$ .
3. La raison est négative : la suite est décroissante.
Exercice 2
Calculer des termes par récurrence
On pose $v_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n+1}=2v_n+3$ . Calcule $v_1$ , $v_2$ et $v_3$ .
Voir le corrigé
$v_1=2\times1+3=5$ , $v_2=2\times5+3=13$ , $v_3=2\times13+3=29$ .
Exercice 3
Une population qui augmente de 3 %
Une ville compte $12\,000$ habitants en $2026$ . On suppose que sa population augmente de $3\,\%$ par an. On note $p_n$ la population en $2026+n$ .
1. Exprime $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$ , puis $p_n$ en fonction de $n$ .
2. Estime la population en $2029$ , arrondie à l’unité.
Voir le corrigé
1. Augmenter de $3\,\%$ revient à multiplier par $1{,}03$ : $p_{n+1}=1{,}03\,p_n$ . La suite est géométrique de raison $1{,}03$ et $p_n=12\,000\times1{,}03^n$ .
2. $2029$ correspond à $n=3$ : $p_3=12\,000\times1{,}03^3=13\,112{,}724$ , soit environ $13\,113$ habitants.
Exercice 4
Étudier le sens de variation
Pour tout entier naturel $n$ , $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ .
1. Étudie le sens de variation de $(u_n)$ .
2. Conjecture la limite de la suite.
Voir le corrigé
1. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}>0$ : la suite est strictement croissante.
2. $u_n=1-\dfrac{1}{n+1}$ : les termes se rapprochent de $1$ sans l’atteindre. On conjecture que la limite est $1$ .
Exercice 5
Un abonnement qui augmente
Un abonnement coûte $30$ € le premier mois, puis son prix augmente de $2$ € chaque mois. On note $u_n$ le prix du $n$ -ième mois, avec $u_1=30$ .
1. Exprime $u_n$ en fonction de $n$ .
2. À partir de quel mois le prix dépasse-t-il $50$ € ?
3. Combien coûtent au total les $12$ premiers mois ?
Voir le corrigé
1. La suite est arithmétique de raison $2$ et de premier terme $u_1=30$ : $u_n=30+2(n-1)$ .
2. $30+2(n-1)>50$ équivaut à $n-1>10$ , soit $n>11$ . Le prix dépasse $50$ € à partir du $12$ e mois ( $u_{11}=50$ , $u_{12}=52$ ).
3. $u_1+\dots+u_{12}=12\times30+2\times(0+1+\dots+11)=360+2\times66=492$ €.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Les erreurs sur les suites viennent souvent des notations : un indice mal lu change tout le calcul.

Confondre $u_{n+1}$ et $u_n+1$
Pour $u_n=n^2$ et $n=2$ : $u_{n+1}=u_3=9$ , alors que $u_n+1=5$ .
Se tromper de rang
Si la suite commence à $u_0$ , le dixième terme est $u_9$ ; entre $u_{12}$ et $u_{40}$ inclus, il y a $29$ termes.
Conclure sur quelques termes
Trois termes qui montent ne prouvent pas qu’une suite est croissante : il faut un argument valable pour tout $n$ .
Utiliser le quotient avec des termes négatifs
Comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ ne marche que si les termes sont strictement positifs.
Relier les points du graphique
Une suite se représente par des points isolés, pas par une courbe.
Oublier le premier terme
Une relation de récurrence seule ne définit pas la suite : sans $u_0$ , on ne peut calculer aucun terme.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Trois séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, les suites prennent forme : tu fais tourner une machine qui calcule chaque terme à partir du précédent, tu fais pousser un arbre étape par étape, tu places les points $(n\,;\,u_n)$ . Au niveau 2, tu tranches des débats sur les notations et tu traques l’erreur d’un raisonnement. Au niveau 3, tu calcules, tu modélises et tu justifies, avec Alphi quand un indice t’aide à repartir.

1Comprendre ce qu’est une suite numérique
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places les points qui représentent les premiers termes, tu construis la figure suivante d’un motif et tu retires les points qui empêchent un graphique de représenter une suite.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu distingues indice et valeur, $(u_n)$ et $u_n$ , $u_{n+1}$ et $u_n+1$ , et tu expliques pourquoi $u_{2{,}5}$ n’existe pas.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu retrouves l’indice d’un terme, tu comptes les termes entre deux rangs et tu exploites un motif d’allumettes.
2Exprimer une suite de manière explicite ou récurrente
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu fais tourner une machine jusqu’à $u_5$ , tu règles le premier terme et tu simules une population de poissons mois par mois.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu expliques qu’une récurrence sans premier terme ne suffit pas et tu corriges une formule explicite décalée d’un rang.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des termes, tu passes de la récurrence à la forme explicite et tu modélises la valeur d’une voiture.
3Analyser les variations et les limites d’une suite
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu repères le rang à partir duquel une suite croît, tu règles une raison et tu places la droite dont les termes se rapprochent.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition d’une suite croissante et tu repères la ligne fausse d’une étude de $u_{n+1}-u_n$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu étudies le signe de $u_{n+1}-u_n$ ou un quotient, tu conjectures une limite et tu cherches un seuil.

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Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’une suite numérique ?

C’est une liste ordonnée de nombres $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ … : à chaque entier naturel $n$ , on associe un nombre réel $u_n$ , le terme de rang $n$ .

Quelle est la différence entre forme explicite et récurrence ?

Avec une forme explicite $u_n=f(n)$ , on calcule directement n’importe quel terme. Avec une récurrence, on part du premier terme et on calcule chaque terme à partir du précédent.

Comment étudier le sens de variation d’une suite ?

On étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ pour tout $n$ . Si cette différence est positive, la suite est croissante ; si elle est négative, la suite est décroissante. Pour une suite à termes strictement positifs, on peut aussi comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ .

Comment reconnaître une suite arithmétique ou géométrique ?

Une suite est arithmétique si l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ , géométrique si l’on multiplie toujours par le même nombre $q$ . On le vérifie en calculant $u_{n+1}-u_n$ ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .

Pour aller plus loin

Pour préparer l’épreuve de fin d’année, lis notre guide de l’épreuve anticipée de maths en Première et entretiens tes calculs avec la page sur les automatismes de Première. L’autre grand chapitre de l’année est la dérivation : la page nombre dérivé en Première en reprend les bases. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Suites numériques en Première : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en Première

L’essentiel du cours

Qu’est-ce qu’une suite ?

Forme explicite et relation de récurrence

Deux suites de référence

Sens de variation

Une première idée de limite

Deux exemples résolus

Une suite explicite et ses variations

Une suite définie par récurrence

Cinq exercices corrigés

Une suite arithmétique

Calculer des termes par récurrence

Une population qui augmente de 3 %

Étudier le sens de variation

Un abonnement qui augmente

Les pièges à éviter

Confondre $u_{n+1}$ et $u_n+1$

Se tromper de rang

Conclure sur quelques termes

Utiliser le quotient avec des termes négatifs

Relier les points du graphique

Oublier le premier terme

Ce chapitre dans Mathflow

1Comprendre ce qu’est une suite numérique

2Exprimer une suite de manière explicite ou récurrente

3Analyser les variations et les limites d’une suite

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Suites numériques en Première : cours, exemples et exercices

Qu’est-ce qu’une suite ?

Forme explicite et relation de récurrence

Deux suites de référence

Sens de variation

Une première idée de limite

Une suite explicite et ses variations

Une suite définie par récurrence

Une suite arithmétique

Calculer des termes par récurrence

Une population qui augmente de 3 %

Étudier le sens de variation

Un abonnement qui augmente

Confondre un+1u_{n+1}un+1​ et un+1u_n+1un​+1

Se tromper de rang

Conclure sur quelques termes

Utiliser le quotient avec des termes négatifs

Relier les points du graphique

Oublier le premier terme

1Comprendre ce qu’est une suite numérique

2Exprimer une suite de manière explicite ou récurrente

3Analyser les variations et les limites d’une suite

Les maths, c’est une question de flow.

Confondre $u_{n+1}$ et $u_n+1$