Exponentielle en Première : cours et exercices corrigés

Q: Qu’est-ce que la fonction exponentielle ?

C’est l’unique fonction f dérivable sur \mathbb{R} telle que f'=f et f(0)=1. On la note \exp ou x\mapsto e^x. Elle est strictement positive et strictement croissante sur \mathbb{R}.

Q: Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle ?

La fonction exponentielle est sa propre dérivée : (e^x)'=e^x. Plus généralement, pour tout réel k, la dérivée de t\mapsto e^{kt} est t\mapsto k\,e^{kt}.

Q: Combien vaut le nombre e ?

e=\exp(1)\approx2{,}718. C’est l’image de 1 par la fonction exponentielle ; on peut l’approcher par la méthode d’Euler ou par les termes de la suite \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.

Q: Comment résoudre une équation avec des exponentielles ?

On écrit chaque membre sous la forme d’une seule exponentielle, puis on utilise e^a=e^b si et seulement si a=b. Par exemple, e^{3x-2}=e^{x+4} équivaut à 3x-2=x+4, soit x=3.

Q: Pourquoi l’exponentielle est-elle toujours positive ?

Pour tout réel x, e^x\times e^{-x}=e^0=1, donc e^x ne s’annule jamais. Comme e^x s’écrit aussi \left(e^{x/2}\right)^2, c’est un carré non nul : il est strictement positif.

Programme de Première

Ce que tu dois savoir faire en Première

La fonction exponentielle est, avec la dérivation, l’un des deux grands points du programme d’analyse de la spécialité maths de Première. Elle est définie comme l’unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ égale à sa dérivée et qui vaut $1$ en $0$ ; son existence et son unicité sont admises.

Le programme demande de transformer une expression avec les propriétés algébriques ( $e^{x+y}=e^x\times e^y$ …), de connaître le signe, le sens de variation et la courbe de l’exponentielle, de dériver $t\mapsto e^{at}$ , de représenter $t\mapsto e^{kt}$ et $t\mapsto e^{-kt}$ et de modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle : capital à taux fixe, décroissance radioactive. Il fait aussi le lien avec les suites géométriques.

Dans Mathflow, le chapitre compte cinq compétences, chacune en trois niveaux.

Les 5 compétences du chapitre

Définir la fonction exponentielle
Appliquer les propriétés algébriques de l’exponentielle
Résoudre des équations et inéquations avec des exponentielles
Étudier et dériver des fonctions exponentielles
Étudier des suites de la forme $u_n=e^{an}$

Cours

L’essentiel du cours

La définition, les règles de calcul, les équations et inéquations, puis la dérivée et la modélisation.

Définition et premières propriétés

$e^0=1$ et $e^1=e$ .
Pour tout réel $x$ , $e^x>0$ : la courbe est toujours au-dessus de l’axe des abscisses.
$(e^x)'=e^x$ : en chaque point de la courbe, la pente de la tangente est égale à l’ordonnée du point. Au point d’abscisse $0$ , la tangente a pour équation $y=x+1$ .

La méthode d’Euler construit une approximation de la courbe : pour un petit pas $h$ , $f(x+h)\approx f(x)+h\,f'(x)=(1+h)\,f(x)$ . Avec $h=0{,}1$ , on multiplie par $1{,}1$ à chaque pas, et dix pas donnent $e\approx1{,}1^{10}\approx2{,}594$ . Plus le pas est petit, meilleure est l’approximation.

Les règles de calcul

Règle	Exemple
$e^{x+y}=e^x\times e^y$	$e^2\times e^3=e^5$
$e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$	$e^{-2}=\dfrac{1}{e^2}$
$e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$	$\dfrac{e^7}{e^4}=e^3$
$\left(e^x\right)^n=e^{nx}$	$\left(e^x\right)^3=e^{3x}$

Pour simplifier, on regroupe tout en une seule exponentielle et on calcule l’exposant à part :

\dfrac{e^{2x+1}\times e^{-x}}{e^{x-3}}=e^{(2x+1)+(-x)-(x-3)}=e^{4}

Sens de variation, équations et inéquations

Comme $\exp'=\exp$ et $e^x>0$ , la dérivée est strictement positive : la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Écrire chaque membre sous la forme $e^{\dots}$ grâce aux règles de calcul.
Remplacer $e^A=e^B$ par $A=B$ , ou $e^A<e^B$ par $A<B$ .
Résoudre l’équation ou l’inéquation obtenue, souvent du premier ou du second degré.

Par exemple, $e^{3x-1}=e^{x+5}$ équivaut à $3x-1=x+5$ , soit $x=3$ .

Dériver et modéliser

Avec les formules de dérivation d’un produit et d’un quotient :

\begin{aligned}\left((x+1)e^x\right)'&=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x\\\left(\dfrac{e^x}{x}\right)'&=\dfrac{e^x\times x-e^x}{x^2}=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}\end{aligned}

La seconde formule vaut pour $x\neq0$ . Dans les deux cas, $e^x>0$ : le signe de la dérivée est celui du facteur restant.

Lien avec les suites géométriques. Pour tout réel $a$ , $e^{a(n+1)}=e^a\times e^{an}$ : la suite $u_n=e^{an}$ est géométrique de raison $e^a$ et de premier terme $1$ . Une grandeur $C(t)=C_0\,e^{kt}$ , relevée à chaque unité de temps, est donc multipliée par $e^k$ à chaque étape : c’est l’évolution à taux constant, en version continue.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Une équation et une inéquation
1. Résous dans $\mathbb{R}$ l’équation $e^{x^2}=e^{4x-3}$ .
2. Résous dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $e^{2x-1}\le\dfrac{1}{e^x}$ .
Solution
1. $e^{x^2}=e^{4x-3}$ équivaut à $x^2=4x-3$ , soit $x^2-4x+3=0$ . Le nombre $1$ est racine évidente et le produit des racines vaut $3$ : les solutions sont $1$ et $3$ .
2. $\dfrac{1}{e^x}=e^{-x}$ , donc l’inéquation s’écrit $e^{2x-1}\le e^{-x}$ . Comme l’exponentielle est strictement croissante, elle équivaut à $2x-1\le-x$ , soit $x\le\dfrac{1}{3}$ .
L’ensemble des solutions de l’inéquation est $\left]-\infty\,;\,\dfrac{1}{3}\right]$ .
Exemple 2
Étudier $f(x)=(2x-1)e^x$
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x-1)e^x$ . Étudie ses variations, puis donne l’équation de sa tangente au point d’abscisse $0$ .
Solution
$f$ est le produit de $u(x)=2x-1$ et $v(x)=e^x$ , avec $u'(x)=2$ et $v'(x)=e^x$ :
$f'(x)=2e^x+(2x-1)e^x=(2x+1)e^x$
Comme $e^x>0$ , $f'(x)$ a le signe de $2x+1$ : négatif pour $x<-\dfrac{1}{2}$ , positif pour $x>-\dfrac{1}{2}$ . La fonction $f$ est décroissante sur $\left]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}\right]$ et croissante sur $\left[-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$ .
Son minimum vaut $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-2e^{-0{,}5}\approx-1{,}21$ .
$f(0)=-1$ et $f'(0)=1$ : la tangente au point d’abscisse $0$ a pour équation $y=x-1$ .

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Simplifier avec les règles de calcul
Écris chaque nombre ou expression sous la forme d’une seule exponentielle, $x$ désignant un réel.
1. $e^3\times e^{-5}$
2. $\dfrac{e^{4x}}{e^x}$
3. $\left(e^{x+1}\right)^2\times e^{-2x}$
4. $\dfrac{e^x\times e^{2x+1}}{e^{x-1}}$
Voir le corrigé
1. $e^3\times e^{-5}=e^{3-5}=e^{-2}$ .
2. $\dfrac{e^{4x}}{e^x}=e^{4x-x}=e^{3x}$ .
3. $\left(e^{x+1}\right)^2=e^{2x+2}$ , donc le produit vaut $e^{2x+2-2x}=e^2$ : il ne dépend pas de $x$ .
4. $e^{x+(2x+1)-(x-1)}=e^{2x+2}$ .
Exercice 2
Trois équations
Résous dans $\mathbb{R}$ chaque équation.
1. $e^{3x-2}=e^{x+4}$
2. $e^{2x}=\dfrac{1}{e^{x-6}}$
3. $e^x=-1$
Voir le corrigé
1. $3x-2=x+4$ , donc $2x=6$ et $x=3$ .
2. $\dfrac{1}{e^{x-6}}=e^{-(x-6)}=e^{-x+6}$ . L’équation équivaut à $2x=-x+6$ , donc $x=2$ .
3. Pour tout réel $x$ , $e^x>0$ : l’équation $e^x=-1$ n’a pas de solution.
Exercice 3
Une inéquation du second degré
Résous dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $e^{x^2}<e^{x+6}$ .
Voir le corrigé
L’exponentielle est strictement croissante : l’inéquation équivaut à $x^2<x+6$ , soit $x^2-x-6<0$ .
$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ ; ce trinôme est négatif strictement entre ses racines $-2$ et $3$ .
L’ensemble des solutions est l’intervalle $]{-}2\,;\,3[$ .
Exercice 4
Dériver et étudier $f(x)=(x-2)e^x$
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-2)e^x$ .
1. Calcule $f'(x)$ .
2. Étudie le sens de variation de $f$ et donne son minimum.
3. Donne l’équation de la tangente au point d’abscisse $0$ .
Voir le corrigé
1. Dérivée d’un produit : $f'(x)=1\times e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x$ .
2. $e^x>0$ , donc $f'(x)$ a le signe de $x-1$ . La fonction $f$ est décroissante sur $]{-}\infty\,;\,1]$ et croissante sur $[1\,;\,+\infty[$ . Son minimum est $f(1)=-e\approx-2{,}72$ .
3. $f(0)=-2$ et $f'(0)=-1$ : la tangente a pour équation $y=-x-2$ .
Exercice 5
Une décroissance radioactive
La masse, en grammes, d’une substance radioactive est modélisée par $m(t)=50e^{-0{,}1t}$ , où $t$ est le temps écoulé en années.
1. Donne la masse initiale et le sens de variation de $m$ .
2. On note $u_n=m(n)$ la masse au bout de $n$ années entières. Montre que $(u_n)$ est géométrique. De quel pourcentage la masse baisse-t-elle chaque année, arrondi au dixième ?
3. Au bout de combien d’années entières la masse passe-t-elle sous $25$ g ?
Voir le corrigé
1. $m(0)=50e^0=50$ g. $m'(t)=50\times(-0{,}1)e^{-0{,}1t}=-5e^{-0{,}1t}<0$ : la masse est strictement décroissante.
2. $u_{n+1}=50e^{-0{,}1(n+1)}=e^{-0{,}1}\times u_n$ : $(u_n)$ est géométrique de raison $e^{-0{,}1}\approx0{,}905$ . Multiplier par $0{,}905$ revient à baisser d’environ $9{,}5\,\%$ par an.
3. $(u_n)$ est décroissante ; à la calculatrice, $u_6=50e^{-0{,}6}\approx27{,}44$ et $u_7=50e^{-0{,}7}\approx24{,}83$ . La masse passe sous $25$ g au bout de $7$ ans.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Les règles de l’exponentielle ressemblent à celles des puissances : c’est justement là que les confusions arrivent.

Multiplier les exposants
$e^x\times e^y=e^{x+y}$ , et non $e^{xy}$ : $e^2\times e^3=e^5$ , pas $e^6$ .
Additionner deux exponentielles
$e^x+e^y$ ne se simplifie pas : $e^0+e^0=2$ , alors que $e^{0+0}=1$ .
Diviser les exposants
$\dfrac{e^{6x}}{e^{2x}}=e^{6x-2x}=e^{4x}$ : on soustrait les exposants, on ne les divise pas.
Oublier que $e^x>0$
$e^x=-1$ n’a pas de solution, et dans $f'(x)=(x-1)e^x$ le signe est celui de $x-1$ seulement.
Dériver $e^{kt}$ en $e^{kt}$
La dérivée de $t\mapsto e^{kt}$ est $t\mapsto k\,e^{kt}$ : par exemple, la dérivée de $e^{-0{,}5t}$ est $-0{,}5e^{-0{,}5t}$ .
Confondre $e^{-x}$ et $-e^x$
$e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$ est toujours strictement positif, alors que $-e^x$ est toujours strictement négatif.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Cinq séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, l’exponentielle se construit sous tes doigts : tu places des tangentes dont la pente égale la hauteur, tu réduis le pas de la méthode d’Euler, tu règles des exposants pour que deux courbes se superposent. Au niveau 2, tu tranches des débats « Qui a raison ? » et tu repères la première ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu résous, tu dérives et tu modélises un médicament, une épidémie ou un isotope radioactif, avec Alphi si tu as besoin d’un indice.

1Définir la fonction exponentielle
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places la tangente à la courbe en un point, tu choisis le pas de la méthode d’Euler qui donne $e$ à $0{,}01$ près et tu places une droite horizontale qui ne coupe jamais la courbe.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition, tu départages deux élèves sur les fonctions égales à leur dérivée et tu trouves l’erreur de Nora dans la méthode d’Euler.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu justifies que l’exponentielle est strictement croissante, tu approches $\exp(0{,}3)$ par la méthode d’Euler et tu remets en ordre la preuve que $e^x$ ne s’annule jamais.
2Appliquer les propriétés algébriques de l’exponentielle
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places un point à la hauteur $e^1\times e^2$ , tu règles un exposant pour que $e^3\times e^b=1$ et tu décales une courbe pour qu’elle recouvre celle de $\dfrac{e^x}{e^2}$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes les règles du produit et du quotient, tu trouves la première ligne fausse de Noé et l’erreur de Malo qui écrit $\dfrac{e^{6x}}{e^{2x}}=e^{3x}$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu réduis des quotients à une seule exponentielle, tu calcules $e^{2a}+e^{-a}$ quand $e^a=3$ et tu choisis les bonnes factorisations de $e^{3x}-e^x$ .
3Résoudre des équations et inéquations avec des exponentielles
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places le point où $e^{x+1}=e^{3-x}$ , tu règles $m$ pour que $e^{x^2}=e^m$ ait une seule solution et tu choisis le graphique qui montre les solutions de $e^{-x}<e^2$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la propriété qui ramène $e^a<e^b$ à $a<b$ , tu associes chaque équation à une équation sans exponentielle et tu trouves la première ligne fausse de la copie d’Inès.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu résous des équations comme $\dfrac{e^{3x}}{e^{x+2}}=e^4$ , tu construis l’ensemble des solutions de $e^{x^2}<e^{2x+8}$ et tu comptes les solutions de $e^{x^3}=e^{4x}$ .
4Étudier et dériver des fonctions exponentielles
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu règles $k$ pour qu’une droite soit tangente à la courbe de $e^{kt}$ , tu reconnais la dérivée de $(x+1)e^x$ et tu places le moment où la concentration d’un médicament est maximale.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la dérivation de $(x+3)e^x$ , tu trouves l’erreur de Maël sur $(2x-1)e^{-x}$ et tu interprètes la vitesse de refroidissement d’un café.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu dresses le tableau de variations de $(x+1)e^{-x}$ , tu cherches le minimum de $\dfrac{e^x}{x-2}$ et la semaine où une épidémie atteint son pic.
5Étudier des suites de la forme $u_n=e^{an}$
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu règles $a$ pour que chaque terme de $e^{an}$ soit la moitié du précédent, tu reconnais le nuage d’une suite $e^{an}$ et tu obtiens une suite croissante à termes négatifs.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes l’étude de $u_n=e^{an}$ , tu trouves la première ligne fausse de Romane sur $4e^{3n+1}$ et tu décris l’évolution d’un médicament dans le sang.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules une raison arrondie, tu retrouves $a$ à partir de deux termes et le pourcentage de perte annuelle d’un isotope radioactif.

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Questions fréquentes

Qu’est-ce que la fonction exponentielle ?

C’est l’unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$ . On la note $\exp$ ou $x\mapsto e^x$ . Elle est strictement positive et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle ?

La fonction exponentielle est sa propre dérivée : $(e^x)'=e^x$ . Plus généralement, pour tout réel $k$ , la dérivée de $t\mapsto e^{kt}$ est $t\mapsto k\,e^{kt}$ .

Combien vaut le nombre e ?

$e=\exp(1)\approx2{,}718$ . C’est l’image de $1$ par la fonction exponentielle ; on peut l’approcher par la méthode d’Euler ou par les termes de la suite $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ .

Comment résoudre une équation avec des exponentielles ?

On écrit chaque membre sous la forme d’une seule exponentielle, puis on utilise $e^a=e^b$ si et seulement si $a=b$ . Par exemple, $e^{3x-2}=e^{x+4}$ équivaut à $3x-2=x+4$ , soit $x=3$ .

Pourquoi l’exponentielle est-elle toujours positive ?

Pour tout réel $x$ , $e^x\times e^{-x}=e^0=1$ , donc $e^x$ ne s’annule jamais. Comme $e^x$ s’écrit aussi $\left(e^{x/2}\right)^2$ , c’est un carré non nul : il est strictement positif.

Pour aller plus loin

L’exponentielle prolonge au temps continu les suites géométriques et s’étudie avec les outils du nombre dérivé. En Terminale, elle revient avec les limites de fonctions et sa fonction réciproque, le logarithme népérien. Pour l’épreuve de fin d’année, lis notre guide de l’épreuve anticipée de maths. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Fonction exponentielle en Première : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en Première

L’essentiel du cours

Définition et premières propriétés

Les règles de calcul

Sens de variation, équations et inéquations

Dériver et modéliser

Deux exemples résolus

Une équation et une inéquation

Étudier $f(x)=(2x-1)e^x$

Cinq exercices corrigés

Simplifier avec les règles de calcul

Trois équations

Une inéquation du second degré

Dériver et étudier $f(x)=(x-2)e^x$

Une décroissance radioactive

Les pièges à éviter

Multiplier les exposants

Additionner deux exponentielles

Diviser les exposants

Oublier que $e^x>0$

Dériver $e^{kt}$ en $e^{kt}$

Confondre $e^{-x}$ et $-e^x$

Ce chapitre dans Mathflow

1Définir la fonction exponentielle

2Appliquer les propriétés algébriques de l’exponentielle

3Résoudre des équations et inéquations avec des exponentielles

4Étudier et dériver des fonctions exponentielles

5Étudier des suites de la forme $u_n=e^{an}$

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Fonction exponentielle en Première : cours, exemples et exercices

Définition et premières propriétés

Les règles de calcul

Sens de variation, équations et inéquations

Dériver et modéliser

Une équation et une inéquation

Étudier f(x)=(2x−1)exf(x)=(2x-1)e^xf(x)=(2x−1)ex

Simplifier avec les règles de calcul

Trois équations

Une inéquation du second degré

Dériver et étudier f(x)=(x−2)exf(x)=(x-2)e^xf(x)=(x−2)ex

Une décroissance radioactive

Multiplier les exposants

Additionner deux exponentielles

Diviser les exposants

Oublier que ex>0e^x>0ex>0

Dériver ekte^{kt}ekt en ekte^{kt}ekt

Confondre e−xe^{-x}e−x et −ex-e^x−ex

1Définir la fonction exponentielle

2Appliquer les propriétés algébriques de l’exponentielle

3Résoudre des équations et inéquations avec des exponentielles

4Étudier et dériver des fonctions exponentielles

5Étudier des suites de la forme un=eanu_n=e^{an}un​=ean

Les maths, c’est une question de flow.

Étudier $f(x)=(2x-1)e^x$

Dériver et étudier $f(x)=(x-2)e^x$

Oublier que $e^x>0$

Dériver $e^{kt}$ en $e^{kt}$

Confondre $e^{-x}$ et $-e^x$

5Étudier des suites de la forme $u_n=e^{an}$