Logarithme népérien en Terminale : cours et exercices

Q: C’est quoi le logarithme népérien ?

Pour un réel x>0, \ln x est le nombre y tel que e^y=x : c’est l’exposant qu’il faut donner à e pour obtenir x. La fonction \ln est la réciproque de la fonction exponentielle.

Q: Pourquoi ln n’est-il défini que pour les nombres strictement positifs ?

Parce que e^y est toujours strictement positif : il n’existe aucun réel y tel que e^y=0 ou e^y=-3. On ne peut donc calculer \ln x que pour x>0.

Q: Comment résoudre une équation avec des ln ?

On cherche d’abord les valeurs de x pour lesquelles chaque logarithme existe. On se ramène ensuite à \ln A=\ln B ou à \ln A=k, puis on utilise \ln A=\ln B\iff A=B ou \ln A=k\iff A=e^k. On ne garde que les solutions de l’ensemble de départ.

Q: Quelle est la dérivée de ln(u) ?

Si u est dérivable et strictement positive sur un intervalle, (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}. Par exemple, la dérivée de \ln(x^2+1) est \dfrac{2x}{x^2+1}.

Q: Quelle est la limite de ln(x)/x en plus l’infini ?

Elle vaut 0 : c’est une croissance comparée du cours. \ln x tend vers +\infty, mais beaucoup moins vite que x. De même, x\ln x tend vers 0 quand x tend vers 0.

Programme de Terminale

Ce que tu dois savoir faire en Terminale

La fonction logarithme népérien est l’une des grandes nouveautés de l’analyse en Terminale. Le programme de spécialité l’introduit comme la fonction réciproque de l’exponentielle vue en Première, en s’appuyant sur les deux courbes, symétriques l’une de l’autre.

Il demande de connaître ses propriétés algébriques, sa dérivée, ses variations, ses limites en $0$ et en $+\infty$ , et la croissance comparée de $\ln x$ et de $x^n$ . Tu dois savoir utiliser ces propriétés pour transformer une écriture, résoudre une équation ou une inéquation, et t’en servir dans des problèmes. Deux démonstrations sont au programme : le calcul de la dérivée de $\ln$ et la limite de $x\ln x$ en $0$ .

Dans Mathflow, le chapitre compte six compétences, chacune en trois niveaux.

Les 6 compétences du chapitre

Comprendre la définition de la fonction logarithme népérien
Utiliser les propriétés algébriques du logarithme
Résoudre des équations et inéquations logarithmiques
Étudier une fonction comportant des logarithmes
Étudier la concavité d’une fonction logarithmique
Comparer la croissance du logarithme à celle d’autres fonctions

Cours

L’essentiel du cours

La définition, les règles de calcul, l’étude de la fonction et la méthode pour les équations : l’ordre logique du chapitre.

La réciproque de l’exponentielle

y=\ln x \iff x=e^{y}\qquad (x>0)

$\ln 1=0$ car $e^0=1$ , et $\ln e=1$ car $e^1=e$ .
Pour tout réel $x$ , $\ln(e^x)=x$ ; pour tout réel $x>0$ , $e^{\ln x}=x$ .
$\ln x$ est l’exposant qu’il faut donner à $e$ pour obtenir $x$ : comme $e^3\approx20{,}1$ et $e^4\approx54{,}6$ , on a $3<\ln 50<4$ .

Dans un repère orthonormé, les courbes de $\ln$ et de $\exp$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$ . Comme une exponentielle est toujours strictement positive, $\ln x$ n’existe pas pour $x\le0$ .

Les propriétés algébriques

Règle	Exemple
$\ln(ab)=\ln a+\ln b$	$\ln 6=\ln 2+\ln 3$
$\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln b$	$\ln\left(\dfrac{1}{8}\right)=-\ln 8$
$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$	$\ln\left(\dfrac{4}{27}\right)=\ln 4-\ln 27$
$\ln(a^n)=n\ln a$	$\ln 8=\ln(2^3)=3\ln 2$
$\ln\sqrt{a}=\dfrac{1}{2}\ln a$	$\ln\sqrt{12}=\dfrac{1}{2}\ln 12$

Ces règles viennent de la relation $e^{x+y}=e^x\times e^y$ . Attention : il n’existe aucune règle pour $\ln(a+b)$ .

Étude de la fonction $\ln$

\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty \qquad \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty

L’axe des ordonnées (la droite $x=0$ ) est asymptote verticale à la courbe.
Signe : $\ln x<0$ sur $]0\,;\,1[$ , $\ln 1=0$ et $\ln x>0$ sur $]1\,;\,+\infty[$ .
Si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ , alors $\ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $\big(\ln(u)\big)'=\dfrac{u'}{u}$ .
$(\ln x)''=-\dfrac{1}{x^2}<0$ : la fonction $\ln$ est concave, sa courbe est sous ses tangentes. Avec la tangente en $1$ , on obtient $\ln x\le x-1$ pour tout $x>0$ .

Croissances comparées : $\ln x$ tend vers $+\infty$ , mais beaucoup moins vite que n’importe quelle puissance de $x$ . Pour tout entier $n\ge1$ :

\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^n}=0 \qquad \lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0

Résoudre une équation ou une inéquation

Comme $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ , pour tous réels $a>0$ et $b>0$ :

\begin{gathered}\ln a=\ln b \iff a=b\\ \ln a<\ln b \iff a<b\end{gathered}

Chercher les valeurs de $x$ pour lesquelles chaque logarithme existe : ce qui est dans un $\ln$ doit être strictement positif.
Se ramener à $\ln A=\ln B$ , $\ln A<\ln B$ ou $\ln A=k$ , en regroupant avec les propriétés algébriques.
Supprimer les logarithmes : $\ln A=k\iff A=e^k$ et $\ln A<\ln B\iff A<B$ .
Ne garder que les solutions qui appartiennent à l’ensemble trouvé à la première étape.

Dans l’autre sens, pour un réel $k>0$ , $e^x=k\iff x=\ln k$ . Si $k\le0$ , l’équation $e^x=k$ n’a pas de solution.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Une équation avec deux logarithmes
Résous dans $\mathbb{R}$ l’équation $\ln x+\ln(x-2)=\ln 3$ .
Solution
Ensemble de validité : il faut $x>0$ et $x-2>0$ , soit $x>2$ . On cherche donc les solutions dans $]2\,;\,+\infty[$ .
Sur cet intervalle, $\ln x+\ln(x-2)=\ln\big(x(x-2)\big)$ . L’équation devient $\ln\big(x(x-2)\big)=\ln 3$ , soit $x^2-2x=3$ .
$\begin{aligned}x^2-2x-3=0&\iff(x-3)(x+1)=0\\&\iff x=3\ \text{ou}\ x=-1\end{aligned}$
$-1$ n’est pas dans $]2\,;\,+\infty[$ : on l’écarte. Vérification : $\ln 3+\ln 1=\ln 3$ . L’unique solution est $x=3$ .
Exemple 2
Étudier $f(x)=x^2-8\ln x$
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=x^2-8\ln x$ . Étudie ses variations et ses limites, puis donne son minimum.
Solution
$f'(x)=2x-\dfrac{8}{x}=\dfrac{2x^2-8}{x}=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x}$
Sur $]0\,;\,+\infty[$ , $x>0$ et $x+2>0$ : $f'(x)$ a le signe de $x-2$ . La fonction $f$ est décroissante sur $]0\,;\,2]$ et croissante sur $[2\,;\,+\infty[$ . Son minimum est $f(2)=4-8\ln 2\approx-1{,}55$ .
En $0$ : $x^2$ tend vers $0$ et $-8\ln x$ vers $+\infty$ , donc $f(x)$ tend vers $+\infty$ .
En $+\infty$ : on factorise, $f(x)=x^2\left(1-8\,\dfrac{\ln x}{x^2}\right)$ . Par croissance comparée, $\dfrac{\ln x}{x^2}$ tend vers $0$ , donc $f(x)$ tend vers $+\infty$ .

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Revenir à la définition
Résous chaque équation et donne la valeur exacte de la solution.
1. $e^x=7$
2. $\ln x=-1$
3. $\ln(3x-2)=0$
4. $e^{2x+1}=3$
Voir le corrigé
1. $7>0$ , donc $x=\ln 7\approx1{,}95$ .
2. $x=e^{-1}=\dfrac{1}{e}\approx0{,}37$ , qui est bien strictement positif.
3. Il faut $3x-2>0$ , soit $x>\dfrac{2}{3}$ . Ensuite, $\ln(3x-2)=0$ équivaut à $3x-2=1$ , soit $x=1$ , qui convient.
4. $2x+1=\ln 3$ , donc $x=\dfrac{\ln 3-1}{2}\approx0{,}05$ .
Exercice 2
Tout écrire avec $\ln 2$ et $\ln 3$
Écris chaque nombre en fonction de $\ln 2$ et de $\ln 3$ .
1. $\ln 6$
2. $\ln 18$
3. $\ln\left(\dfrac{4}{27}\right)$
4. $\ln\sqrt{12}$
Voir le corrigé
1. $\ln 6=\ln(2\times3)=\ln 2+\ln 3$ .
2. $\ln 18=\ln(2\times3^2)=\ln 2+2\ln 3$ .
3. $\ln\left(\dfrac{4}{27}\right)=\ln(2^2)-\ln(3^3)$ , donc $\ln\left(\dfrac{4}{27}\right)=2\ln 2-3\ln 3$ .
4. $\ln\sqrt{12}=\dfrac{1}{2}\ln 12$ et $\ln 12=2\ln 2+\ln 3$ , donc $\ln\sqrt{12}=\ln 2+\dfrac{1}{2}\ln 3$ .
Exercice 3
Deux inéquations
1. Résous l’inéquation $\ln x<2$ .
2. Résous l’inéquation $\ln(3-x)\ge\ln(2x)$ .
Voir le corrigé
1. $\ln x$ existe pour $x>0$ . Comme $2=\ln(e^2)$ et que $\ln$ est strictement croissante, $\ln x<2\iff x<e^2$ . Ensemble des solutions : $]0\,;\,e^2[$ , avec $e^2\approx7{,}39$ .
2. Il faut $3-x>0$ et $2x>0$ , soit $0<x<3$ . Sur $]0\,;\,3[$ , l’inéquation $\ln(3-x)\ge\ln(2x)$ équivaut à $3-x\ge2x$ , soit $x\le1$ . Ensemble des solutions : $]0\,;\,1]$ .
Exercice 4
Étude complète de $x\ln x$
Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=x\ln x$ .
1. Calcule $f'(x)$ et donne les variations de $f$ .
2. Donne les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$ .
3. Calcule $f''(x)$ , puis montre que $x\ln x\ge x-1$ pour tout $x>0$ .
Voir le corrigé
1. Dérivée d’un produit : $f'(x)=1\times\ln x+x\times\dfrac{1}{x}=\ln x+1$ . Et $f'(x)>0\iff\ln x>-1\iff x>e^{-1}$ . Donc $f$ est décroissante sur $]0\,;\,e^{-1}]$ et croissante sur $[e^{-1}\,;\,+\infty[$ , avec pour minimum $f(e^{-1})=-e^{-1}\approx-0{,}37$ .
2. En $0$ , $x\ln x$ tend vers $0$ (limite démontrée en cours). En $+\infty$ , $x$ et $\ln x$ tendent vers $+\infty$ , donc $f(x)$ tend vers $+\infty$ .
3. $f''(x)=\dfrac{1}{x}>0$ : $f$ est convexe sur $]0\,;\,+\infty[$ . Sa tangente en $1$ a pour équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)$ , soit $y=x-1$ . Une courbe convexe est au-dessus de ses tangentes, donc $x\ln x\ge x-1$ pour tout $x>0$ .
Exercice 5
Un médicament qui s’élimine
Un patient reçoit $50$ mg d’un médicament. Chaque heure, la quantité présente dans son sang diminue de $20\,\%$ . On note $q_n$ la quantité, en mg, au bout de $n$ heures.
1. Exprime $q_n$ en fonction de $n$ .
2. Au bout de combien d’heures entières reste-t-il moins de $1$ mg ?
Voir le corrigé
1. Diminuer de $20\,\%$ revient à multiplier par $0{,}8$ : la suite $(q_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$ et $q_n=50\times0{,}8^n$ .
2. $50\times0{,}8^n<1$ équivaut à $0{,}8^n<0{,}02$ , puis à $n\ln 0{,}8<\ln 0{,}02$ , car $\ln$ est strictement croissante. Comme $\ln 0{,}8<0$ , diviser par $\ln 0{,}8$ change le sens : $n>\dfrac{\ln 0{,}02}{\ln 0{,}8}\approx17{,}53$ . Il reste moins de $1$ mg à partir de $18$ heures : $q_{17}\approx1{,}13$ et $q_{18}\approx0{,}90$ .

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

La plupart des erreurs viennent d’une règle inventée ou d’un ensemble de validité oublié.

Inventer une règle pour $\ln(a+b)$
$\ln(a+b)$ ne se simplifie pas. Par exemple $\ln(1+1)=\ln 2\approx0{,}69$ , alors que $\ln 1+\ln 1=0$ .
Oublier l’ensemble de validité
Pour $\ln x+\ln(x-2)=\ln 3$ , le calcul donne $3$ et $-1$ , mais $-1$ rend les logarithmes impossibles. Cherche toujours d’abord où l’équation a un sens.
Confondre $(\ln x)^2$ et $\ln(x^2)$
$\ln(x^2)=2\ln x$ pour $x>0$ , mais $(\ln x)^2$ est le carré du nombre $\ln x$ : pour $x=e$ , $(\ln e)^2=1$ alors que $2\ln e=2$ .
Diviser par un logarithme négatif
$\ln 0{,}8<0$ : dans $n\ln 0{,}8<\ln 0{,}02$ , diviser par $\ln 0{,}8$ change le sens de l’inégalité.
Dériver $\ln(u)$ en $\frac{1}{u}$
La dérivée de $\ln(u)$ est $\dfrac{u'}{u}$ : pour $\ln(x^2+1)$ , on trouve $\dfrac{2x}{x^2+1}$ , et non $\dfrac{1}{x^2+1}$ .
Croire que $\ln 0=0$
$\ln 0$ n’existe pas, car aucune puissance de $e$ ne vaut $0$ . C’est $\ln 1$ qui vaut $0$ .

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Six séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, le logarithme se manipule : tu places les points de la courbe de $\ln$ par symétrie avec celle de $\exp$ , tu fais glisser la réglette d’une règle à calcul, tu empiles des blocs $\ln 2$ . Au niveau 2, tu tranches des débats « Qui a raison ? » et tu cherches la première ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu calcules, tu résous et tu étudies des fonctions, avec Alphi, le coach IA, quand un indice t’aide à repartir.

1Comprendre la définition de la fonction logarithme népérien
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places un point dont le symétrique par rapport à $y=x$ tombe sur l’axe des abscisses, tu places $\ln(3)$ sur l’axe, tu encadres $\ln(50)$ et tu cherches l’année où un capital $1000e^{0{,}05t}$ dépasse $2000$ €.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition, tu départages deux élèves au sujet de $\ln(0)$ et tu trouves la première ligne fausse d’une résolution de $e^{2x}=10$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules $\ln(e^4)+e^{\ln 3}$ , tu résous $e^x=0{,}2$ ou $e^{2x-1}=5$ , et tu modélises une population ou la concentration d’un médicament.
2Utiliser les propriétés algébriques du logarithme
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu fais glisser une réglette pour multiplier, tu empiles des blocs $\ln 2$ jusqu’à $\ln 8$ et tu règles $k$ pour que $k\ln x$ recouvre $\ln\left(\frac{1}{x^2}\right)$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la démonstration de la règle du quotient, tu repères l’erreur de qui écrit $(\ln x)^2=2\ln x$ et tu associes des expressions à un seul logarithme.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu écris $\ln 12-\ln 3+\ln 5$ sous la forme $\ln A$ , tu trouves $a$ et $b$ tels que $\ln\frac{8}{9}=a\ln 2+b\ln 3$ et tu approches $\ln(0{,}8)$ sans la touche $\ln$ .
3Résoudre des équations et inéquations logarithmiques
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu construis l’ensemble où $\ln(5-x)$ existe, tu places la solution de $\ln(x^2-4)=\ln(3x)$ et tu construis l’ensemble des solutions de $\ln(x+1)\ge\ln(5-x)$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la méthode pour $\ln(u(x))=\ln(v(x))$ , tu tranches des débats et tu trouves la première ligne fausse d’une copie.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu résous des équations comme $\ln(x+1)+\ln(x-1)=\ln 8$ , tu cherches le plus petit entier $n$ tel que $\ln(2n-3)>2$ et tu calcules quand un arbre atteint $5$ m.
4Étudier une fonction comportant des logarithmes
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places le point de la courbe de $\ln$ où la tangente a pour pente $2$ , tu règles $k$ pour que $x-k\ln x$ atteigne son minimum en $3$ et tu complètes un tableau de signes.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu départages deux élèves sur l’ensemble de définition de $\ln\left(\frac{x}{x-2}\right)$ ou la dérivée de $x^2\ln x$ , puis tu trouves l’erreur d’une étude de variations.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules $f'(1)$ ou $f'(e)$ , tu trouves une asymptote verticale et tu dresses le tableau de variations complet de $\ln(x^2-4x+8)$ .
5Étudier la concavité d’une fonction logarithmique
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu touches les fonctions concaves, tu places une droite qui ne passe jamais au-dessus de la courbe de $x\ln x$ et tu trouves le point d’inflexion de $(\ln x)^2$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes le calcul de $f''$ pour $x\ln x$ , tu départages deux élèves sur la convexité de $\ln$ et tu interprètes un rendement agricole dont la dérivée seconde est négative.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des dérivées secondes, tu cherches où $x\ln x-2x^2$ est concave et tu trouves le point d’inflexion de la courbe de $\frac{\ln x}{x}$ .
6Comparer la croissance du logarithme à celle d’autres fonctions
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu multiplies $x$ par $10$ jusqu’à ce que $\frac{\ln x}{x}$ passe sous $0{,}001$ , tu ranges des fonctions selon leur vitesse de croissance et tu places la limite de $x\ln x$ en $0$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes l’énoncé des croissances comparées, tu remets dans l’ordre une démonstration et tu tranches entre $x$ et $100\ln x$ pour $x$ très grand.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu lèves des formes indéterminées comme $\frac{5\ln x}{x^2}$ ou $x-3\ln x$ et tu compares deux algorithmes qui font $n\ln n$ et $n^2$ opérations.

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Questions fréquentes

C’est quoi le logarithme népérien ?

Pour un réel $x>0$ , $\ln x$ est le nombre $y$ tel que $e^y=x$ : c’est l’exposant qu’il faut donner à $e$ pour obtenir $x$ . La fonction $\ln$ est la réciproque de la fonction exponentielle.

Pourquoi ln n’est-il défini que pour les nombres strictement positifs ?

Parce que $e^y$ est toujours strictement positif : il n’existe aucun réel $y$ tel que $e^y=0$ ou $e^y=-3$ . On ne peut donc calculer $\ln x$ que pour $x>0$ .

Comment résoudre une équation avec des ln ?

On cherche d’abord les valeurs de $x$ pour lesquelles chaque logarithme existe. On se ramène ensuite à $\ln A=\ln B$ ou à $\ln A=k$ , puis on utilise $\ln A=\ln B\iff A=B$ ou $\ln A=k\iff A=e^k$ . On ne garde que les solutions de l’ensemble de départ.

Quelle est la dérivée de ln(u) ?

Si $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle, $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ . Par exemple, la dérivée de $\ln(x^2+1)$ est $\dfrac{2x}{x^2+1}$ .

Quelle est la limite de ln(x)/x en plus l’infini ?

Elle vaut $0$ : c’est une croissance comparée du cours. $\ln x$ tend vers $+\infty$ , mais beaucoup moins vite que $x$ . De même, $x\ln x$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$ .

Pour aller plus loin

Le logarithme s’appuie sur la fonction exponentielle de Première : revois-la si la relation $e^{a+b}=e^a\times e^b$ n’est plus automatique. Ses limites complètent la page limites de fonctions en Terminale, et sa concavité s’étudie avec les outils de la page convexité en Terminale. Il sert aussi à calculer des intégrales, puisque $\ln$ est une primitive de $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ pour $x>0$ : voir le calcul intégral. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Logarithme népérien en Terminale : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en Terminale

L’essentiel du cours

La réciproque de l’exponentielle

Les propriétés algébriques

Étude de la fonction $\ln$

Résoudre une équation ou une inéquation

Deux exemples résolus

Une équation avec deux logarithmes

Étudier $f(x)=x^2-8\ln x$

Cinq exercices corrigés

Revenir à la définition

Tout écrire avec $\ln 2$ et $\ln 3$

Deux inéquations

Étude complète de $x\ln x$

Un médicament qui s’élimine

Les pièges à éviter

Inventer une règle pour $\ln(a+b)$

Oublier l’ensemble de validité

Confondre $(\ln x)^2$ et $\ln(x^2)$

Diviser par un logarithme négatif

Dériver $\ln(u)$ en $\frac{1}{u}$

Croire que $\ln 0=0$

Ce chapitre dans Mathflow

1Comprendre la définition de la fonction logarithme népérien

2Utiliser les propriétés algébriques du logarithme

3Résoudre des équations et inéquations logarithmiques

4Étudier une fonction comportant des logarithmes

5Étudier la concavité d’une fonction logarithmique

6Comparer la croissance du logarithme à celle d’autres fonctions

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Logarithme népérien en Terminale : cours, exemples et exercices

La réciproque de l’exponentielle

Les propriétés algébriques

Étude de la fonction ln⁡\lnln

Résoudre une équation ou une inéquation

Une équation avec deux logarithmes

Étudier f(x)=x2−8ln⁡xf(x)=x^2-8\ln xf(x)=x2−8lnx

Revenir à la définition

Tout écrire avec ln⁡2\ln 2ln2 et ln⁡3\ln 3ln3

Deux inéquations

Étude complète de xln⁡xx\ln xxlnx

Un médicament qui s’élimine

Inventer une règle pour ln⁡(a+b)\ln(a+b)ln(a+b)

Oublier l’ensemble de validité

Confondre (ln⁡x)2(\ln x)^2(lnx)2 et ln⁡(x2)\ln(x^2)ln(x2)

Diviser par un logarithme négatif

Dériver ln⁡(u)\ln(u)ln(u) en 1u\frac{1}{u}u1​

Croire que ln⁡0=0\ln 0=0ln0=0

1Comprendre la définition de la fonction logarithme népérien

2Utiliser les propriétés algébriques du logarithme

3Résoudre des équations et inéquations logarithmiques

4Étudier une fonction comportant des logarithmes

5Étudier la concavité d’une fonction logarithmique

6Comparer la croissance du logarithme à celle d’autres fonctions

Les maths, c’est une question de flow.

Étude de la fonction $\ln$

Étudier $f(x)=x^2-8\ln x$

Tout écrire avec $\ln 2$ et $\ln 3$

Étude complète de $x\ln x$

Inventer une règle pour $\ln(a+b)$

Confondre $(\ln x)^2$ et $\ln(x^2)$

Dériver $\ln(u)$ en $\frac{1}{u}$

Croire que $\ln 0=0$