Dénombrement en Terminale : cours et exercices corrigés

Q: Comment calculer k parmi n ?

On utilise \binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}. Par exemple, \binom{10}{2}=\frac{10\times9}{2}=45. La calculatrice le donne aussi directement avec la fonction notée Combinaison ou nCr.

Q: Quelle est la différence entre une liste et une combinaison ?

Une liste est ordonnée : (a\,;\,b) et (b\,;\,a) sont deux listes différentes. Une combinaison est une partie : \{a\,;\,b\} et \{b\,;\,a\} sont la même. Chaque combinaison de k éléments correspond à k! listes sans répétition.

Q: Combien de parties a un ensemble à n éléments ?

Il en a 2^n, en comptant l’ensemble vide et l’ensemble lui-même : pour chaque élément, on décide s’il est dans la partie ou non. Un ensemble à 8 éléments a donc 2^8=256 parties.

Programme de Terminale

Ce que tu dois savoir faire en Terminale

Le chapitre combinatoire et dénombrement ouvre la partie algèbre du programme de spécialité. Il donne des outils pour compter les éléments d’un ensemble fini : principe additif, principe multiplicatif, listes, permutations et combinaisons.

Le programme demande d’utiliser une représentation adaptée (ensembles, arbres, tableaux, diagrammes), de reconnaître les objets à dénombrer et d’effectuer des dénombrements simples, en informatique, en génétique, dans les jeux ou en probabilités. Les formules au programme sont $n^k$ , $n!$ et $\binom{n}{k}$ , avec la symétrie et la relation de Pascal. Deux démonstrations sont exigibles : la relation $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$ par dénombrement, et la relation de Pascal.

Dans Mathflow, le chapitre compte six compétences, chacune en trois niveaux. Il prépare directement la loi binomiale, où $\binom{n}{k}$ compte les chemins d’un arbre.

Les 6 compétences du chapitre

Appliquer le principe additif et le principe multiplicatif
Dénombrer des k-uplets avec ou sans répétition
Dénombrer des permutations d’un ensemble fini
Dénombrer des combinaisons de k éléments parmi n
Utiliser les propriétés des coefficients binomiaux
Déterminer le nombre de parties d’un ensemble fini

Cours

L’essentiel du cours

Les deux principes, les listes, les combinaisons, puis le triangle de Pascal et les parties d’un ensemble.

Principe additif et principe multiplicatif

Si les ensembles ne sont pas disjoints, on retire les éléments comptés deux fois : si $14$ élèves font du foot, $9$ du basket et $4$ les deux, alors $14+9-4=19$ élèves pratiquent au moins l’un des deux sports. Un arbre ou un diagramme aide à ne rien oublier.

Listes et permutations

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. Un $k$ -uplet (ou $k$ -liste) d’éléments de $E$ est une suite ordonnée de $k$ éléments de $E$ : l’ordre compte.

Avec répétition : chaque place a $n$ choix, donc il y a $n^k$ $k$ -uplets. Il y a $10^3=1\,000$ codes de $3$ chiffres.
Sans répétition (éléments distincts, $k\le n$ ) : $n\times(n-1)\times\dots\times(n-k+1)=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ . Avec $5$ personnes, on forme $5\times4=20$ bureaux « président, trésorier ».
Permutations : ranger les $n$ éléments de $E$ dans un ordre donne $n!=n\times(n-1)\times\dots\times2\times1$ possibilités. Par convention, $0!=1$ .

Combinaisons et coefficients binomiaux

Pour tout entier $k$ tel que $0\le k\le n$ :

\begin{aligned}\binom{n}{k}&=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\\&=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\end{aligned}

Chaque partie à $k$ éléments donne $k!$ listes ordonnées : on divise donc le nombre de listes sans répétition par $k!$ . Par exemple, $\binom{5}{2}=\dfrac{20}{2}=10$ . Cas utiles : $\binom{n}{0}=1$ , $\binom{n}{1}=n$ et $\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$ .

Quelle formule choisir ?

L’ordre compte, avec répétition : $n^k$ ( $k$ -uplets).
L’ordre compte, sans répétition : $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ ( $k$ -uplets d’éléments distincts), et $n!$ si l’on range les $n$ éléments (permutations).
L’ordre ne compte pas, sans répétition : $\binom{n}{k}$ (combinaisons).

Triangle de Pascal et parties d’un ensemble

La relation de Pascal permet de construire le triangle de Pascal ligne par ligne : chaque coefficient est la somme des deux coefficients situés au-dessus de lui, comme sur la figure.

Nombre de parties : un ensemble à $n$ éléments a $2^n$ parties, car pour chaque élément on décide s’il est dans la partie ou non. En regroupant les parties selon leur nombre d’éléments :

\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n}=2^n

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Codes et podium
1. Combien de codes de $4$ chiffres peut-on former ?
2. Combien ont leurs $4$ chiffres tous différents ?
3. Huit coureurs disputent une course. Combien de podiums (premier, deuxième, troisième) sont possibles ?
Solution
1. L’ordre compte et un chiffre peut revenir : ce sont des $4$ -uplets de l’ensemble des $10$ chiffres. Il y a $10^4=10\,000$ codes.
2. Sans répétition : $10$ choix pour le premier chiffre, $9$ pour le deuxième, puis $8$ et $7$ . Il y a $10\times9\times8\times7=5\,040$ codes.
3. L’ordre compte (les places sont différentes) et un coureur ne peut pas occuper deux places : $8\times7\times6=336$ podiums.
Exemple 2
Des mains de cartes
Un jeu compte $32$ cartes, dont $4$ as. On appelle main de $4$ cartes un ensemble de $4$ cartes du jeu.
1. Combien y a-t-il de mains ?
2. Combien contiennent exactement $2$ as ?
3. Combien contiennent au moins un as ?
Solution
1. L’ordre ne compte pas et une carte ne peut pas être prise deux fois : il y a $\binom{32}{4}=\dfrac{32\times31\times30\times29}{4\times3\times2\times1}=35\,960$ mains.
2. On choisit $2$ as parmi $4$ , puis $2$ autres cartes parmi les $28$ qui ne sont pas des as : $\binom{4}{2}\times\binom{28}{2}=6\times378=2\,268$ mains.
3. On passe par le contraire. Les mains sans as sont formées de $4$ cartes parmi $28$ : $\binom{28}{4}=20\,475$ . Donc $35\,960-20\,475=15\,485$ mains contiennent au moins un as.

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Au restaurant
Un restaurant propose $4$ entrées, $5$ plats et $3$ desserts.
1. Combien de menus « entrée, plat, dessert » peut-on composer ?
2. Un client prend soit une entrée et un plat, soit un plat et un dessert. Combien de choix a-t-il ?
Voir le corrigé
1. Principe multiplicatif : $4\times5\times3=60$ menus.
2. Les deux formules sont incompatibles (une formule avec entrée n’a pas de dessert) : on additionne. $4\times5+5\times3=20+15=35$ choix.
Exercice 2
Le cadenas à trois molettes
Un cadenas a $3$ molettes, chacune portant les chiffres de $0$ à $9$ .
1. Combien de codes sont possibles ?
2. Combien de codes ont leurs $3$ chiffres différents ?
3. Combien de codes ont au moins deux chiffres égaux ?
Voir le corrigé
1. Liste avec répétition : $10^3=1\,000$ codes.
2. Liste sans répétition : $10\times9\times8=720$ codes.
3. C’est le contraire de « trois chiffres différents » : $1\,000-720=280$ codes.
Exercice 3
Les anagrammes de MATHS
On appelle anagramme de MATHS tout mot de $5$ lettres, ayant un sens ou non, formé avec ces $5$ lettres.
1. Combien y a-t-il d’anagrammes ?
2. Combien commencent par M ?
3. Combien contiennent les lettres A et T côte à côte, dans un ordre ou dans l’autre ?
Voir le corrigé
1. Les $5$ lettres sont distinctes : ce sont des permutations, $5!=120$ anagrammes.
2. M est fixé en première place ; on range les $4$ autres lettres : $4!=24$ anagrammes.
3. On colle A et T en un bloc : on range $4$ objets (le bloc, M, H, S), soit $4!=24$ façons, puis le bloc s’écrit AT ou TA. Il y a $24\times2=48$ anagrammes.
Exercice 4
Une délégation de trois élèves
Une classe compte $30$ élèves : $18$ filles et $12$ garçons. On forme une délégation de $3$ élèves.
1. Combien de délégations sont possibles ?
2. Combien comptent exactement $2$ filles ?
3. Combien comptent au moins un garçon ?
Voir le corrigé
1. Une délégation est une partie à $3$ éléments : $\binom{30}{3}=\dfrac{30\times29\times28}{6}=4\,060$ .
2. $2$ filles parmi $18$ , puis $1$ garçon parmi $12$ : $\binom{18}{2}\times\binom{12}{1}=153\times12=1\,836$ .
3. Contraire : les délégations sans garçon sont formées de $3$ filles, $\binom{18}{3}=816$ . Donc $4\,060-816=3\,244$ délégations comptent au moins un garçon.
Exercice 5
Parties d’un ensemble et triangle de Pascal
Soit $E=\{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$ .
1. Combien $E$ a-t-il de parties ?
2. Combien de parties ont $2$ éléments ? Et $4$ éléments ?
3. Combien de parties ont au moins $2$ éléments ?
4. Sans calculatrice, calcule $\binom{6}{2}+\binom{6}{3}$ .
Voir le corrigé
1. $E$ a $6$ éléments, donc $2^6=64$ parties, en comptant l’ensemble vide et $E$ lui-même.
2. $\binom{6}{2}=\dfrac{6\times5}{2}=15$ . Par symétrie, $\binom{6}{4}=\binom{6}{2}=15$ .
3. On retire la partie vide et les $6$ parties à un élément : $64-1-6=57$ .
4. Relation de Pascal : $\binom{6}{2}+\binom{6}{3}=\binom{7}{3}=\dfrac{7\times6\times5}{6}=35$ . On vérifie : $15+20=35$ .

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Avant de calculer, pose-toi deux questions : l’ordre compte-t-il ? Un élément peut-il revenir ?

Compter l’ordre quand il ne compte pas
Un groupe de $3$ élèves parmi $10$ : $\binom{10}{3}=120$ . Un podium de $3$ parmi $10$ : $10\times9\times8=720$ . Le groupe ne distingue pas les places.
Additionner au lieu de multiplier
Des choix successifs (un haut puis un bas) se multiplient. Des cas incompatibles (un fruit ou un gâteau) s’additionnent.
Oublier que les répétitions sont permises
Un code de $3$ chiffres où les chiffres peuvent revenir : $10^3=1\,000$ , et non $10\times9\times8=720$ .
Compter deux fois les éléments communs
Si $4$ élèves font foot et basket, ils sont comptés dans les deux groupes : $14+9-4=19$ élèves, et non $23$ .
Oublier la partie vide
Les $2^n$ parties d’un ensemble à $n$ éléments comprennent l’ensemble vide et l’ensemble lui-même. Pour « au moins un élément », il y en a $2^n-1$ .
Calculer de grandes factorielles
Simplifie avant de calculer : $\dfrac{10!}{8!}=10\times9=90$ , et $\binom{30}{3}=\dfrac{30\times29\times28}{6}$ .

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Six séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, on compte en manipulant : tu traces des binômes, tu complètes des arbres de tirages, tu échanges des lettres pour former des anagrammes, tu construis le triangle de Pascal ligne par ligne. Au niveau 2, tu tranches des débats « Qui a raison ? » et tu cherches la première ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu dénombres des codes, des mains de cartes ou des délégations, avec Alphi, le coach IA, quand un indice t’aide à repartir.

1Appliquer le principe additif et le principe multiplicatif
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu traces tous les binômes fille-garçon, tu règles le nombre de hauts pour composer $20$ tenues avec $4$ pantalons et tu complètes un arbre de sorties.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu justifies les calculs $5+3$ et $5\times3+4$ , tu départages deux élèves sur la composition d’un jury et tu repères l’erreur de qui compte deux fois des cartes.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu comptes des tee-shirts, des trajets ou des sujets, tu complètes un diagramme d’élèves et tu dénombres les diviseurs de $360$ .
2Dénombrer des k-uplets avec ou sans répétition
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu formes les bureaux « président, trésorier », tu complètes un arbre de tirages avec ou sans remise et tu règles le nombre de couleurs pour obtenir $625$ signaux.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la règle des listes avec répétition, tu trouves l’erreur de qui compte les codes à chiffres distincts et tu départages des élèves sur un relais ou une élection.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu comptes des listes de lancers de dé, des podiums, des grilles de questionnaire, des identifiants et les entiers de $4$ chiffres tous différents.
3Dénombrer des permutations d’un ensemble fini
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu touches les anagrammes de « MIEL », tu échanges des lettres voisines pour obtenir tous les rangements de « SOL » et tu règles le nombre de choix à chaque place d’un classement.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition d’une permutation, tu justifies $n!=n\times(n-1)!$ et tu départages deux élèves au sujet de $0!$ ou des anagrammes de « ANNA ».
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu comptes les anagrammes de « JARDIN », tu calcules $\frac{10!}{8!}$ , tu trouves $n$ tel que $n!=5\,040$ et tu ranges des livres qui restent groupés.
4Dénombrer des combinaisons de k éléments parmi n
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu traces tous les triangles dont les sommets sont pris parmi cinq points, tu regroupes en paquets les tirages d’une même poignée et tu simplifies la fraction égale à $\binom{8}{3}$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la phrase qui dit quand on compte des combinaisons, tu expliques pourquoi une grille de Loto se compte avec $\binom{49}{5}$ et tu départages des élèves sur un jury ou une équipe.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu comptes des groupes d’élèves, des mains de cartes, des délégations, les diagonales d’un octogone et les triangles formés par $7$ points.
5Utiliser les propriétés des coefficients binomiaux
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu construis la ligne $6$ du triangle de Pascal à partir de la ligne $5$ , tu trouves $k$ tel que $\binom{12}{k}=\binom{12}{3}$ et tu fusionnes des coefficients jusqu’à n’en garder qu’un.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes les phrases sur la symétrie et la relation de Pascal, tu trouves la case fausse d’un triangle et la méthode la plus rapide pour $\binom{50}{48}$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules $\binom{20}{18}$ ou $\binom{9}{4}+\binom{9}{5}$ , tu complètes une ligne du triangle et tu trouves $n$ tel que $\binom{n}{2}=\binom{n}{5}$ .
6Déterminer le nombre de parties d’un ensemble fini
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu formes toutes les parties d’un ensemble, tu décodes la partie associée au mot $10110$ et tu règles le nombre d’ampoules d’une guirlande pour obtenir $64$ éclairages.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la démonstration du nombre de parties, tu départages deux élèves sur les parties de l’ensemble vide et tu calcules la somme des $\binom{n}{k}$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu comptes les éclairages de $9$ projecteurs, les choix de garnitures ou d’options, et tu calcules une probabilité sur les parties d’un ensemble à $6$ éléments.

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Questions fréquentes

Comment savoir si l’ordre compte dans un dénombrement ?

Échange deux éléments du résultat. Si tu obtiens un résultat différent (un autre podium, un autre code), l’ordre compte : ce sont des listes. Si c’est le même résultat (le même groupe, la même main de cartes), l’ordre ne compte pas : ce sont des combinaisons.

Comment calculer k parmi n ?

On utilise $\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$ . Par exemple, $\binom{10}{2}=\frac{10\times9}{2}=45$ . La calculatrice le donne aussi directement avec la fonction notée Combinaison ou nCr.

Quelle est la différence entre une liste et une combinaison ?

Une liste est ordonnée : $(a\,;\,b)$ et $(b\,;\,a)$ sont deux listes différentes. Une combinaison est une partie : $\{a\,;\,b\}$ et $\{b\,;\,a\}$ sont la même. Chaque combinaison de $k$ éléments correspond à $k!$ listes sans répétition.

Combien de parties a un ensemble à n éléments ?

Il en a $2^n$ , en comptant l’ensemble vide et l’ensemble lui-même : pour chaque élément, on décide s’il est dans la partie ou non. Un ensemble à $8$ éléments a donc $2^8=256$ parties.

Pourquoi 0! vaut-il 1 ?

Il y a une seule façon de ranger zéro objet : ne rien faire. Cette convention rend aussi les formules cohérentes, par exemple $\binom{n}{0}=\frac{n!}{0!\,n!}=1$ .

Pour aller plus loin

Le dénombrement sert surtout en probabilités : la page loi binomiale en Terminale utilise $\binom{n}{k}$ pour compter les chemins d’un arbre. Les arbres et l’indépendance sont revus sur les pages probabilités en Seconde et probabilités conditionnelles en Première. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Dénombrement en Terminale : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en Terminale

L’essentiel du cours

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Listes et permutations

Combinaisons et coefficients binomiaux

Triangle de Pascal et parties d’un ensemble

Deux exemples résolus

Codes et podium

Des mains de cartes

Cinq exercices corrigés

Au restaurant

Le cadenas à trois molettes

Les anagrammes de MATHS

Une délégation de trois élèves

Parties d’un ensemble et triangle de Pascal

Les pièges à éviter

Compter l’ordre quand il ne compte pas

Additionner au lieu de multiplier

Oublier que les répétitions sont permises

Compter deux fois les éléments communs

Oublier la partie vide

Calculer de grandes factorielles

Ce chapitre dans Mathflow

1Appliquer le principe additif et le principe multiplicatif

2Dénombrer des k-uplets avec ou sans répétition

3Dénombrer des permutations d’un ensemble fini

4Dénombrer des combinaisons de k éléments parmi n

5Utiliser les propriétés des coefficients binomiaux

6Déterminer le nombre de parties d’un ensemble fini

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.