Probabilités en 3e : cours et exercices corrigés

Programme de 3e

Ce que tu dois savoir faire en 3e

Les probabilités se construisent sur tout le cycle 4. En 4e, tu as appris le vocabulaire (expérience aléatoire, issue, événement) et le calcul de probabilités simples. Les attendus de fin de 3e ajoutent deux choses : calculer des probabilités pour des expériences à une ou deux épreuves à partir de dénombrements, et faire le lien entre la stabilisation des fréquences et la probabilité.

Le tableau à double entrée devient l’outil central : il permet de lister sans en oublier toutes les issues de deux lancers ou de deux tirages. Les probabilités reviennent souvent au brevet, avec des urnes, des dés et des jeux.

Dans Mathflow, le chapitre compte quatre compétences, chacune en trois niveaux.

Les 4 compétences du chapitre

Utiliser le vocabulaire des probabilités
Estimer une probabilité à partir de fréquences
Calculer une probabilité dans une situation d’équiprobabilité
Modéliser une situation à deux épreuves à l’aide d’un tableau

Cours

L’essentiel du cours

Le vocabulaire, les règles de calcul, les fréquences et les expériences à deux épreuves.

Le vocabulaire

Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, les issues, et on ne peut pas prévoir lequel se produira. Un événement est un ensemble d’issues : avec un dé, « obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues $2$ , $4$ et $6$ .

Un événement élémentaire ne contient qu’une issue ; un événement certain les contient toutes ; un événement impossible n’en contient aucune.
L’événement contraire de $A$ , noté $\overline{A}$ , est réalisé exactement quand $A$ ne l’est pas.
Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Deux événements contraires sont incompatibles, mais l’inverse est faux.

Les règles de calcul

P(\overline{A})=1-P(A)

Un événement impossible a pour probabilité $0$ , un événement certain a pour probabilité $1$ . Une probabilité peut s’écrire sous forme de fraction, de décimal ou de pourcentage : $\frac{1}{4}=0{,}25=25\,\%$ .

Les situations d’équiprobabilité

Quand toutes les issues ont la même probabilité (dé équilibré, tirage au hasard dans une urne), on compte :

P(A)=\dfrac{\text{nombre d’issues favorables à }A}{\text{nombre d’issues possibles}}

Avec un dé équilibré à six faces, « obtenir un multiple de $3$ » est réalisé par $3$ et $6$ : sa probabilité vaut $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ .

Fréquences et probabilité

La fréquence d’un résultat est le nombre de fois où il est apparu, divisé par le nombre d’essais. Sur peu d’essais, elle varie beaucoup. Quand on répète l’expérience un grand nombre de fois, elle se stabilise autour de la probabilité.

Pour une punaise ou un bouchon, aucune symétrie ne donne la probabilité : on l’estime par la fréquence observée sur un grand nombre de lancers.

Deux épreuves : le tableau à double entrée

Pour deux lancers ou deux tirages, on fait un tableau : la première épreuve en lignes, la seconde en colonnes. Chaque case est une issue ; avec deux dés, il y en a $6\times6=36$ , toutes équiprobables.

Avec remise, on peut retirer le même objet deux fois. Sans remise, les cases où l’on retire deux fois le même objet sont impossibles et on les barre. Pour que les cases soient équiprobables, on distingue les objets identiques, par exemple $V_1$ et $V_2$ pour deux boules vertes.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Une urne
Une urne contient $3$ boules bleues, $5$ vertes et $2$ jaunes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Calcule la probabilité de tirer une boule verte, puis celle de ne pas tirer une boule jaune.
Solution
Il y a $10$ boules, toutes ont la même chance d’être tirées.
$P(\text{verte})=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ .
$P(\text{jaune})=\frac{2}{10}$ , donc $P(\text{pas jaune})=1-\frac{2}{10}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ .
Exemple 2
La somme de deux dés
On lance deux dés équilibrés à six faces et on additionne les deux nombres obtenus. Quelle est la probabilité que la somme soit égale à $8$ ?
Solution
Le tableau à double entrée compte $36$ issues équiprobables.
La somme $8$ est obtenue pour $(2\,;\,6)$ , $(3\,;\,5)$ , $(4\,;\,4)$ , $(5\,;\,3)$ et $(6\,;\,2)$ , soit $5$ issues.
$P(S=8)=\frac{5}{36}$ .

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Contraire ou incompatible ?
On lance un dé équilibré à six faces. $A$ : « obtenir un nombre pair » ; $B$ : « obtenir $5$ ».
1. $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ? contraires ?
2. Décris l’événement $\overline{A}$ et calcule $P(A)$ .
Voir le corrigé
1. Aucune issue ne réalise à la fois $A$ et $B$ : ils sont incompatibles. Ils ne sont pas contraires, car l’issue $1$ ne réalise ni $A$ ni $B$ .
2. $\overline{A}$ : « obtenir un nombre impair », réalisé par $1$ , $3$ et $5$ . $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ .
Exercice 2
La punaise
Une punaise est lancée $500$ fois ; elle tombe $185$ fois pointe en haut.
1. Calcule la fréquence de « pointe en haut ».
2. Combien de fois peut-on s’attendre à l’observer sur $2\,000$ lancers ?
Voir le corrigé
1. $\frac{185}{500}=0{,}37$ . On estime la probabilité de « pointe en haut » à environ $0{,}37$ .
2. $2\,000\times0{,}37=740$ : environ $740$ fois, sans que ce nombre soit garanti.
Exercice 3
Un jeu de 32 cartes
On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes (de $7$ à l’as, dans les quatre couleurs). Calcule la probabilité de tirer une figure (valet, dame ou roi), puis celle de ne pas tirer de figure.
Voir le corrigé
Il y a $3$ figures par couleur, soit $12$ figures. $P(\text{figure})=\frac{12}{32}=\frac{3}{8}$ .
$P(\text{pas de figure})=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$ .
Exercice 4
Deux tirages avec remise
Un sac contient quatre jetons numérotés $1$ , $2$ , $3$ et $4$ . On tire un jeton, on note son numéro, on le remet, puis on en tire un second.
1. Combien y a-t-il d’issues ?
2. Quelle est la probabilité d’obtenir deux fois le même numéro ?
3. Quelle est la probabilité que le produit des deux numéros soit pair ?
Voir le corrigé
1. Le tableau compte $4\times4=16$ cases équiprobables.
2. $4$ cases sur la diagonale : $(1\,;\,1)$ , $(2\,;\,2)$ , $(3\,;\,3)$ , $(4\,;\,4)$ . La probabilité vaut $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$ .
3. Le produit est impair seulement si les deux numéros sont impairs : $4$ cases ( $1$ ou $3$ , puis $1$ ou $3$ ). Il est donc pair dans $12$ cases : $\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$ .
Exercice 5
Au moins un 6
On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un $6$ ? Déduis-en la probabilité de n’obtenir aucun $6$ .
Voir le corrigé
Dans le tableau, la ligne du $6$ et la colonne du $6$ comptent $6+6=12$ cases, mais la case $(6\,;\,6)$ est comptée deux fois : $11$ cases.
$P(\text{au moins un }6)=\frac{11}{36}$ , donc $P(\text{aucun }6)=1-\frac{11}{36}=\frac{25}{36}$ .

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

En probabilités, l’intuition se trompe souvent : ces réflexes t’éviteront les erreurs les plus fréquentes.

Trouver une probabilité plus grande que 1
Une probabilité est toujours entre $0$ et $1$ , et la somme des probabilités de toutes les issues vaut exactement $1$ .
Confondre fréquence et probabilité
Ne pas avoir obtenu de $6$ en $12$ lancers ne rend pas le $6$ impossible : c’est une fréquence sur peu d’essais.
Croire que le hasard a de la mémoire
Après six Pile de suite avec une pièce équilibrée, le lancer suivant reste à une chance sur deux.
Confondre contraire et incompatible
« Obtenir $1$ » et « obtenir $6$ » sont incompatibles, mais pas contraires : l’issue $3$ ne réalise aucun des deux.
Oublier l’ordre dans un tableau
Avec deux dés, $(1\,;\,2)$ et $(2\,;\,1)$ sont deux issues différentes : il y en a $36$ , pas $21$ .
Mal former le contraire
Le contraire de « au moins $9$ » est « au plus $8$ », pas « au plus $9$ ».

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Quatre séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, tu lances une punaise mille fois en quelques secondes et tu vois la fréquence se stabiliser, tu composes une urne pour obtenir une probabilité donnée, tu barres les cases impossibles d’un tableau. Au niveau 2, tu tranches des débats où l’intuition trompe. Au niveau 3, tu calcules et tu choisis la meilleure stratégie de jeu, avec Alphi si tu as besoin d’un indice.

1Utiliser le vocabulaire des probabilités
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu tries des expériences aléatoires, tu classes des événements en certains, impossibles ou possibles et tu construis le contraire d’un événement.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu expliques qu’un événement très peu probable n’est pas impossible et que des événements incompatibles ne sont pas forcément contraires.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu comptes les issues d’un événement contraire et tu retrouves le nombre sorti d’un dé à douze faces à partir d’indices.
2Estimer une probabilité à partir de fréquences
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu lances une punaise $1\,000$ fois, tu places la droite où la fréquence se stabilise et tu colories une roue cachée d’après les résultats.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu distingues fréquence et probabilité et tu expliques pourquoi le hasard n’a pas de mémoire.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu estimes une probabilité, un nombre de résultats attendus ou le contenu d’une urne, et tu repères un dé truqué.
3Calculer une probabilité dans une situation d’équiprobabilité
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu touches les boules qui réalisent un événement, tu composes une urne et tu partages un ruban selon les probabilités.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu appliques $P(\overline{A})=1-P(A)$ et tu repères des probabilités dont la somme dépasse $1$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des probabilités avec des urnes, des roues et un jeu de $32$ cartes, et tu retrouves le nombre de faces d’un dé.
4Modéliser une situation à deux épreuves à l’aide d’un tableau
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu construis le tableau d’une pièce et d’un dé, tu barres les cases impossibles d’un tirage sans remise et tu cherches la somme la plus probable.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu expliques pourquoi on distingue deux jetons identiques et tu juges si un jeu est équitable.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des probabilités avec et sans remise et tu choisis la façon de tirer la plus favorable.

Commencer gratuitement

Questions fréquentes

Comment calculer une probabilité en 3e ?

Dans une situation d’équiprobabilité, on divise le nombre d’issues favorables par le nombre d’issues possibles. Pour deux épreuves, on compte les issues dans un tableau à double entrée.

Quelle est la différence entre fréquence et probabilité ?

La fréquence est observée sur une série d’essais réels et change d’une série à l’autre. La probabilité est une valeur théorique. Sur un grand nombre d’essais, la fréquence se rapproche de la probabilité.

Comment faire un tableau à double entrée pour deux épreuves ?

On écrit les issues de la première épreuve en lignes et celles de la seconde en colonnes. Chaque case est une issue de l’expérience ; si les deux épreuves sont équiprobables, toutes les cases le sont aussi.

Qu’est-ce qu’un événement contraire ?

C’est l’événement qui se réalise exactement quand le premier ne se réalise pas. Le contraire de « obtenir un nombre pair » est « obtenir un nombre impair », et $P(\overline{A})=1-P(A)$ .

Pour aller plus loin

Les probabilités demandent d’être à l’aise avec les fractions : la page fractions en 6e permet de revoir les calculs. Pour le brevet, notre guide pour réviser le brevet de maths détaille l’épreuve et un planning. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Probabilités en 3e : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en 3e

L’essentiel du cours

Le vocabulaire

Les règles de calcul

Les situations d’équiprobabilité

Fréquences et probabilité

Deux épreuves : le tableau à double entrée

Deux exemples résolus

Une urne

La somme de deux dés

Cinq exercices corrigés

Contraire ou incompatible ?

La punaise

Un jeu de 32 cartes

Deux tirages avec remise

Au moins un 6

Les pièges à éviter

Trouver une probabilité plus grande que 1

Confondre fréquence et probabilité

Croire que le hasard a de la mémoire

Confondre contraire et incompatible

Oublier l’ordre dans un tableau

Mal former le contraire

Ce chapitre dans Mathflow

1Utiliser le vocabulaire des probabilités

2Estimer une probabilité à partir de fréquences

3Calculer une probabilité dans une situation d’équiprobabilité

4Modéliser une situation à deux épreuves à l’aide d’un tableau

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.