Trigonométrie en 3e : cours et exercices corrigés

Q: Comment calculer une longueur avec la tangente ?

On écrit \tan\widehat{B}=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} avec les données. Si l’opposé est inconnu, on multiplie le côté adjacent par \tan\widehat{B} ; si c’est l’adjacent, on divise le côté opposé par \tan\widehat{B}.

Programme de 3e

Ce que tu dois savoir faire en 3e

La trigonométrie termine le travail commencé en 4e avec le cosinus. En 3e, deux nouveaux rapports s’ajoutent : le sinus et la tangente. Les attendus de fin de 3e citent les lignes trigonométriques du triangle rectangle parmi les connaissances qui servent à démontrer, et demandent de les utiliser pour calculer des longueurs ou des mesures d’angles.

Le chapitre te demande de choisir le bon rapport selon les côtés connus et le côté cherché, de calculer un angle avec les touches $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ et $\tan^{-1}$ de la calculatrice, puis une longueur en multipliant ou en divisant. Il s’appuie sur le théorème de Pythagore et revient souvent au brevet, dans des problèmes de hauteur, de pente ou de distance.

Dans Mathflow, le chapitre compte trois compétences, chacune en trois niveaux.

Les 3 compétences du chapitre

Utiliser la définition du cosinus dans un triangle rectangle
Calculer un angle à l’aide du cosinus, du sinus ou de la tangente
Calculer une longueur à l’aide du cosinus, du sinus ou de la tangente

Cours

L’essentiel du cours

Les trois rapports, la façon de choisir le bon, puis les deux calculs du chapitre.

Les côtés vus depuis un angle

Dans un triangle rectangle, on se place toujours du point de vue d’un angle aigu. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. Le côté adjacent à l’angle est le côté de l’angle droit qui passe par son sommet. Le côté opposé est le côté qui ne passe pas par ce sommet.

Si $ABC$ est rectangle en $A$ , pour l’angle $\widehat{B}$ : l’hypoténuse est $[BC]$ , le côté adjacent $[AB]$ et le côté opposé $[AC]$ . Pour l’angle $\widehat{C}$ , l’adjacent et l’opposé échangent leurs rôles.

Cosinus, sinus et tangente

\begin{gathered} \cos\widehat{B}=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \\[4pt] \sin\widehat{B}=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \\[4pt] \tan\widehat{B}=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} \end{gathered}

Pour t’en souvenir : SOH CAH TOA, soit Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent.

Ces rapports ne dépendent que de l’angle, pas de la taille du triangle.
Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont compris entre $0$ et $1$ , car on divise par l’hypoténuse, le plus long côté.
La tangente peut dépasser $1$ : elle est plus grande que $1$ quand l’angle dépasse $45^\circ$ , car le côté opposé est alors plus long que le côté adjacent.
Ces rapports ne s’utilisent jamais pour l’angle droit, ni dans un triangle qui n’est pas rectangle.

Côtés utilisés	Rapport
adjacent et hypoténuse	cosinus
opposé et hypoténuse	sinus
opposé et adjacent	tangente

Calculer un angle

Repère les deux côtés connus par rapport à l’angle cherché.
Choisis le rapport qui utilise ces deux côtés, et calcule-le.
Utilise la touche réciproque de la calculatrice, en mode degré : $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ .

Par exemple, si le côté opposé à $\widehat{B}$ mesure $5$ cm et le côté adjacent $8$ cm, alors $\tan\widehat{B}=\dfrac{5}{8}=0{,}625$ et $\widehat{B}=\tan^{-1}(0{,}625)\approx32{,}0^\circ$ . L’autre angle aigu mesure alors environ $90^\circ-32{,}0^\circ=58{,}0^\circ$ , car les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.

Calculer une longueur

On écrit le rapport qui relie le côté connu, le côté cherché et l’angle, puis on isole la longueur cherchée :

Si la longueur cherchée est au numérateur, on multiplie. Avec $AB=10$ cm et $\widehat{B}=25^\circ$ : $\tan 25^\circ=\dfrac{AC}{10}$ , donc $AC=10\times\tan 25^\circ\approx4{,}7$ cm.
Si elle est au dénominateur, on divise. Avec $AC=4$ cm et $\widehat{B}=35^\circ$ : $\sin 35^\circ=\dfrac{4}{BC}$ , donc $BC=\dfrac{4}{\sin 35^\circ}\approx7{,}0$ cm.

Contrôle de cohérence : l’hypoténuse doit rester le plus long côté. On garde les valeurs exactes dans la calculatrice et on n’arrondit qu’à la fin.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
La hauteur d’un arbre
On se place sur un sol horizontal, à $20$ m du pied d’un arbre vertical. Depuis le sol, on vise le sommet de l’arbre : la visée fait un angle de $32^\circ$ avec l’horizontale. Calcule la hauteur de l’arbre, arrondie au dixième de mètre.
Solution
L’arbre est perpendiculaire au sol : on obtient un triangle rectangle au pied de l’arbre. Pour l’angle de $32^\circ$ , la distance au sol, $20$ m, est le côté adjacent, et la hauteur $h$ cherchée est le côté opposé.
Opposé et adjacent : c’est la tangente. $\tan 32^\circ=\dfrac{h}{20}$ , donc :
$h=20\times\tan 32^\circ\approx12{,}5\text{ m}$
Exemple 2
L’angle d’une rampe
Une rampe rectiligne de $6$ m de long permet de monter de $0{,}5$ m. Quel angle fait-elle avec le sol horizontal, au dixième de degré près ?
Solution
La rampe est l’hypoténuse, et la hauteur de $0{,}5$ m est le côté opposé à l’angle $\alpha$ entre la rampe et le sol.
Opposé et hypoténuse : c’est le sinus. $\sin\alpha=\dfrac{0{,}5}{6}\approx0{,}083$ .
$\alpha=\sin^{-1}(0{,}5\div6)\approx4{,}8^\circ$ .

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, calculatrice en mode degré, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Écrire les trois rapports
Le triangle $KLM$ est rectangle en $L$ . Écris $\cos\widehat{K}$ , $\sin\widehat{K}$ et $\tan\widehat{K}$ , puis $\sin\widehat{M}$ . Que remarques-tu ?
Voir le corrigé
L’hypoténuse est $[KM]$ . Pour $\widehat{K}$ , le côté adjacent est $[KL]$ et le côté opposé $[LM]$ :
$\cos\widehat{K}=\dfrac{KL}{KM}$ , $\sin\widehat{K}=\dfrac{LM}{KM}$ et $\tan\widehat{K}=\dfrac{LM}{KL}$ .
Pour $\widehat{M}$ , le côté opposé est $[KL]$ : $\sin\widehat{M}=\dfrac{KL}{KM}$ . On remarque que $\sin\widehat{M}=\cos\widehat{K}$ : le côté adjacent à un angle aigu est le côté opposé à l’autre.
Exercice 2
Des valeurs exactes
Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ , avec $RS=15$ cm et $ST=8$ cm. Calcule $RT$ , puis donne les valeurs exactes de $\cos\widehat{R}$ , $\sin\widehat{R}$ et $\tan\widehat{R}$ sous forme de fractions.
Voir le corrigé
Théorème de Pythagore dans $RST$ rectangle en $S$ : $RT^2=15^2+8^2=225+64=289$ , donc $RT=17$ cm.
Pour $\widehat{R}$ : adjacent $RS=15$ , opposé $ST=8$ , hypoténuse $RT=17$ .
$\cos\widehat{R}=\dfrac{15}{17}$ , $\sin\widehat{R}=\dfrac{8}{17}$ et $\tan\widehat{R}=\dfrac{8}{15}$ .
Exercice 3
Choisir le rapport pour un angle
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB=7{,}5$ cm et $AC=4$ cm. Calcule $\widehat{ABC}$ , puis $\widehat{ACB}$ , arrondis au degré.
Voir le corrigé
Pour $\widehat{ABC}$ , on connaît le côté opposé $AC$ et le côté adjacent $AB$ : c’est la tangente.
$\tan\widehat{ABC}=\dfrac{4}{7{,}5}$ , donc $\widehat{ABC}=\tan^{-1}(4\div7{,}5)\approx28{,}07^\circ$ , soit $28^\circ$ .
$\widehat{ACB}=90^\circ-\widehat{ABC}\approx61{,}93^\circ$ , soit $62^\circ$ au degré.
Exercice 4
Deux longueurs avec une hypoténuse
Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$ , avec $DF=9$ cm et $\widehat{EDF}=52^\circ$ . Calcule $EF$ et $DE$ , arrondis au millimètre.
Voir le corrigé
L’hypoténuse est $[DF]$ . Pour l’angle $\widehat{D}$ , $[EF]$ est le côté opposé et $[DE]$ le côté adjacent.
$\sin 52^\circ=\dfrac{EF}{9}$ , donc $EF=9\times\sin 52^\circ\approx7{,}1$ cm.
$\cos 52^\circ=\dfrac{DE}{9}$ , donc $DE=9\times\cos 52^\circ\approx5{,}5$ cm.
Vérification avec Pythagore, sur les valeurs non arrondies : $EF^2+DE^2=81=DF^2$ .
Exercice 5
Deux triangles emboîtés
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB=6$ cm et $\widehat{ABC}=40^\circ$ . Le point $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ : il est sur $[BC]$ et $(AH)$ est perpendiculaire à $(BC)$ .
1. Calcule $AH$ , arrondi au millimètre.
2. Calcule $BC$ , arrondi au millimètre.
3. Déduis-en $HC$ .
Voir le corrigé
1. Dans le triangle $ABH$ , rectangle en $H$ , l’hypoténuse est $[AB]$ et $[AH]$ est opposé à l’angle $\widehat{B}$ : $AH=6\times\sin 40^\circ\approx3{,}9$ cm.
2. Dans le triangle $ABC$ , rectangle en $A$ , $[AB]$ est adjacent à $\widehat{B}$ et $[BC]$ est l’hypoténuse : $\cos 40^\circ=\dfrac{6}{BC}$ , donc $BC=\dfrac{6}{\cos 40^\circ}\approx7{,}8$ cm.
3. Dans $ABH$ , $BH=6\times\cos 40^\circ\approx4{,}6$ cm. Donc $HC=BC-BH\approx3{,}2$ cm, en calculant avec les valeurs non arrondies.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

La plupart des erreurs viennent du choix du rapport ou du réglage de la calculatrice.

Choisir le mauvais rapport
Commence toujours par nommer l’hypoténuse, l’adjacent et l’opposé par rapport à l’angle utilisé, puis applique SOH CAH TOA.
Changer d’angle sans changer les côtés
Le côté adjacent à $\widehat{B}$ est le côté opposé à $\widehat{C}$ . Si tu changes d’angle, refais le repérage.
Oublier le mode degré
Si la calculatrice n’est pas réglée en mode degré, $\sin 30$ ne donne pas $0{,}5$ . Vérifie le réglage avant de commencer.
Multiplier au lieu de diviser
Quand la longueur cherchée est au dénominateur, comme dans $\cos 40^\circ=\dfrac{6}{BC}$ , on divise : $BC=\dfrac{6}{\cos 40^\circ}$ .
Renverser le rapport
Taper $\cos^{-1}(10\div8)$ donne « Erreur » : l’hypoténuse va au dénominateur, et un cosinus est toujours plus petit que $1$ .
Utiliser la trigonométrie sans angle droit
Cosinus, sinus et tangente ne s’appliquent que dans un triangle rectangle, et seulement pour ses angles aigus.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Trois séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, la trigonométrie se manipule : tu donnes un rôle à chaque côté, tu fais glisser un sommet sur un arc jusqu’au bon cosinus, tu règles un angle ou la hauteur d’un mât, tu places le pied d’une échelle. Au niveau 2, tu départages deux élèves et tu traques la ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu calcules des angles et des longueurs dans des situations concrètes, avec Alphi, le coach IA, si tu bloques.

1Utiliser la définition du cosinus dans un triangle rectangle
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu donnes à chaque côté son rôle pour un angle, tu places un point sur un arc pour que $\cos\widehat{ABC}=0{,}6$ et tu écris le cosinus, le sinus et la tangente d’un même angle.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes les définitions du sinus et de la tangente, tu départages deux élèves sur un triangle agrandi deux fois et tu expliques pourquoi une tangente peut valoir $3$ alors qu’un cosinus reste plus petit que $1$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu écris un même cosinus dans deux triangles emboîtés, tu donnes des valeurs exactes en fraction et tu retrouves une longueur dans un triangle agrandi qui a le même angle.
2Calculer un angle à l’aide du cosinus, du sinus ou de la tangente
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu touches les deux côtés connus pour choisir le rapport, tu règles un angle jusqu’à ce que son cosinus affiche $0{,}60$ et tu places le pied d’une échelle pour qu’elle fasse $68^\circ$ avec le sol.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la méthode de la tangente, tu expliques pourquoi $\cos^{-1}(10\div8)$ affiche « Erreur » et tu contrôles un angle sans refaire le calcul.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des angles au degré ou au dixième : un cerf-volant, la diagonale d’un écran, un toit symétrique, la pente de deux rampes, l’angle au sommet d’un triangle isocèle.
3Calculer une longueur à l’aide du cosinus, du sinus ou de la tangente
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu touches le rapport qui relie deux côtés, tu écris l’égalité $\cos 50^\circ=\dfrac{6}{BC}$ et tu règles la hauteur d’un mât pour que $\dfrac{h}{12}=\sin 55^\circ$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la règle « multiplier ou diviser », tu trouves la ligne fausse de la copie de Yanis et tu expliques pourquoi on calcule la hauteur d’un arbre avec $15\times\tan 38^\circ$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des longueurs arrondies : la hauteur d’un arbre visé, une rampe, une échelle sous une fenêtre, deux triangles enchaînés, la distance d’un bateau au pied d’un phare.

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Questions fréquentes

Comment retenir les formules de trigonométrie ?

Avec SOH CAH TOA : Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent. Les côtés se repèrent toujours par rapport à l’angle utilisé.

Comment savoir s’il faut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente ?

On regarde les deux côtés qui interviennent, celui qu’on connaît et celui qu’on cherche (ou les deux côtés connus pour un angle). Adjacent et hypoténuse : cosinus. Opposé et hypoténuse : sinus. Opposé et adjacent : tangente.

Comment calculer un angle avec la trigonométrie ?

On calcule le rapport adapté aux deux côtés connus, puis on utilise la touche $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ de la calculatrice, en mode degré. Par exemple, $\sin^{-1}(0{,}5)=30^\circ$ .

Comment calculer une longueur avec la tangente ?

On écrit $\tan\widehat{B}=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ avec les données. Si l’opposé est inconnu, on multiplie le côté adjacent par $\tan\widehat{B}$ ; si c’est l’adjacent, on divise le côté opposé par $\tan\widehat{B}$ .

Pourquoi la tangente peut-elle être plus grande que 1 ?

Parce qu’elle compare les deux côtés de l’angle droit, et non un côté à l’hypoténuse. Quand l’angle dépasse $45^\circ$ , le côté opposé est plus long que le côté adjacent, donc la tangente dépasse $1$ .

Pour aller plus loin

Si le cosinus te pose encore problème, reprends la page cosinus en 4e, qui détaille le repérage des côtés. Pour le troisième côté d’un triangle rectangle, c’est le théorème de Pythagore, et pour les triangles emboîtés, le théorème de Thalès. La trigonométrie revient très souvent au brevet : notre guide pour réviser le brevet de maths t’aide à t’y préparer. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Trigonométrie en 3e : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en 3e

L’essentiel du cours

Les côtés vus depuis un angle

Cosinus, sinus et tangente

Calculer un angle

Calculer une longueur

Deux exemples résolus

La hauteur d’un arbre

L’angle d’une rampe

Cinq exercices corrigés

Écrire les trois rapports

Des valeurs exactes

Choisir le rapport pour un angle

Deux longueurs avec une hypoténuse

Deux triangles emboîtés

Les pièges à éviter

Choisir le mauvais rapport

Changer d’angle sans changer les côtés

Oublier le mode degré

Multiplier au lieu de diviser

Renverser le rapport

Utiliser la trigonométrie sans angle droit

Ce chapitre dans Mathflow

1Utiliser la définition du cosinus dans un triangle rectangle

2Calculer un angle à l’aide du cosinus, du sinus ou de la tangente

3Calculer une longueur à l’aide du cosinus, du sinus ou de la tangente

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.