Maths · 3e · Nombres et calculs

Équations en 3e : cours, exemples et exercices

Q: Comment résoudre une équation produit nul ?

On écrit l’équation sous la forme d’un produit égal à 0, en factorisant si besoin. Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul : on résout chaque facteur égal à 0. Par exemple (x-3)(x+2)=0 donne x=3 ou x=-2.

Q: Combien de solutions a l’équation x² = a ?

Deux si a>0 (\sqrt{a} et -\sqrt{a}), une seule si a=0 (le nombre 0), aucune si a<0, car un carré n’est jamais négatif.

Q: Une équation peut-elle n’avoir aucune solution ?

Oui. Si, après réduction, les x disparaissent et qu’il reste une égalité fausse comme 6=5, l’équation n’a aucune solution. Si l’égalité qui reste est vraie, tous les nombres sont solutions.

Q: Comment mettre un problème en équation ?

Choisis l’inconnue et écris ce qu’elle représente, avec son unité. Exprime les autres quantités en fonction de cette inconnue, puis traduis la phrase qui donne l’égalité. Après la résolution, vérifie que la solution a un sens et conclus par une phrase.

Q: Quelle est la différence entre les équations de 4e et de 3e ?

En 4e, on apprend à résoudre une équation du premier degré. En 3e, on résout aussi des équations produits et des équations x^2=a, et on traite des cas sans solution ou avec une infinité de solutions.

En 3e, tu résous des équations du premier degré plus longues, des équations produits et des équations $x^2=a$ , et tu mets des problèmes en équation. Voici le cours, deux exemples résolus et cinq exercices corrigés.

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Un produit est nul quand l’un de ses facteurs est nul :

(x-3)(x+2)=0

a deux solutions,

-2

3

Programme de 3e

Ce que tu dois savoir faire en 3e

Tu sais résoudre une équation du premier degré depuis les équations de 4e. En 3e, le chapitre des équations va plus loin : des parenthèses à développer, des équations sans solution ou vraies pour tout nombre, les équations produits et les équations de la forme $x^2=a$ .

Les attendus de fin de 3e demandent de résoudre algébriquement les équations du premier degré, les équations qui s’y ramènent (équations produits) et les équations $x^2=a$ sur des exemples simples, puis de résoudre des problèmes qui s’y ramènent, en mathématiques ou en lien avec d’autres disciplines.

Dans Mathflow, le chapitre compte deux compétences, chacune en trois niveaux : traduire un problème en équation, puis la résoudre.

Les 2 compétences du chapitre

Utiliser les données du problème et le traduire en équation
Savoir résoudre une équation du premier degré

Cours

L’essentiel du cours

Les règles de résolution, les cas particuliers, le produit nul, $x^2=a$ et la mise en équation.

Résoudre une équation du premier degré

Développer et réduire chaque membre.
Regrouper les termes en $x$ dans un membre et les nombres dans l’autre.
Arriver à $ax=b$ , puis diviser par $a$ si $a\neq0$ .
Vérifier en remplaçant $x$ par la valeur trouvée.

\begin{aligned}3(2x-1)-(x+4)&=2x+5\\5x-7&=2x+5\\3x&=12\\x&=4\end{aligned}

Attention au signe moins devant $(x+4)$ : il change le signe des deux termes, $-(x+4)=-x-4$ .

Aucune solution, ou une infinité

Parfois, les $x$ disparaissent et l’on obtient une égalité sans $x$ , du type $0x=b$ .

Si cette égalité est fausse, l’équation n’a aucune solution : $2(x+3)=2x+5$ donne $2x+6=2x+5$ , puis $6=5$ , ce qui est faux.
Si elle est vraie, tous les nombres sont solutions : $3(x-2)+x=4x-6$ donne $4x-6=4x-6$ , vrai pour tout $x$ .

À ne pas confondre avec $3x=0$ , qui a une solution : $x=0$ .

L’équation produit nul

A\times B=0 \iff A=0\ \text{ou}\ B=0

Pour $(x-3)(x+2)=0$ : $x-3=0$ ou $x+2=0$ , donc $x=3$ ou $x=-2$ . L’équation a deux solutions.

Si l’équation n’est pas écrite comme un produit égal à $0$ , on regroupe tout dans un membre, puis on factorise : $x^2=5x$ devient $x^2-5x=0$ , soit $x(x-5)=0$ . Les solutions sont $0$ et $5$ .

Les équations $x^2=a$ et la mise en équation

Si $a>0$ , l’équation $x^2=a$ a deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ . Par exemple $x^2=49$ donne $x=7$ ou $x=-7$ , et $x^2=20$ donne $x=\sqrt{20}$ ou $x=-\sqrt{20}$ .
Si $a=0$ , la seule solution est $0$ .
Si $a<0$ , il n’y a aucune solution, car un carré n’est jamais négatif.

Pour mettre un problème en équation : choisis l’inconnue et précise ce qu’elle représente, avec son unité ; traduis l’énoncé par une égalité ; résous ; vérifie que la solution a un sens dans le problème (une longueur est positive, un nombre de personnes est entier) ; conclus par une phrase.

À toi de jouer

Équilibre la balance.

L’activité de l’accueil : des boules identiques et un poids d’un côté, le total de l’autre. Trouver le poids d’une boule, c’est résoudre une équation du premier degré.

f(x) = 2x - 1

cible

y = 0{,}5x + 1

a0,5b1

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Résoudre ${4(x-1)-(2x+3)=5-x}$
Résous l’équation $4(x-1)-(2x+3)=5-x$ .
Solution
On développe le membre de gauche, sans oublier le signe moins devant la seconde parenthèse :
$\begin{aligned}4x-4-2x-3&=5-x\\2x-7&=5-x\\3x&=12\\x&=4\end{aligned}$
Vérification : à gauche, $4\times3-(8+3)=12-11=1$ ; à droite, $5-4=1$ . La solution est $4$ .
Exemple 2
Un carré agrandi
On augmente de $3$ cm le côté d’un carré. Le nouveau carré a une aire de $64$ cm². Quel était le côté du carré de départ ?
Solution
On note $x$ le côté du carré de départ, en cm. Le nouveau côté mesure $x+3$ , donc $(x+3)^2=64$ .
Un nombre dont le carré vaut $64$ est $8$ ou $-8$ : $x+3=8$ ou $x+3=-8$ , donc $x=5$ ou $x=-11$ .
Une longueur est positive : on garde $x=5$ . Le carré de départ avait un côté de $5$ cm. Vérification : $(5+3)^2=64$ .

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Premier degré : trois équations
Résous chaque équation.
1. $7x+5=3x-11$
2. $2(3x-1)=5x+4$
3. $\dfrac{2}{3}x-1=7$
Voir le corrigé
1. $7x-3x=-11-5$ , soit $4x=-16$ , donc $x=-4$ .
2. $6x-2=5x+4$ , donc $6x-5x=4+2$ et $x=6$ .
3. $\dfrac{2}{3}x=8$ , puis on multiplie les deux membres par $\dfrac{3}{2}$ : $x=8\times\dfrac{3}{2}=12$ .
Exercice 2
Combien de solutions ?
Pour chaque équation, dis si elle a une solution, aucune ou une infinité.
1. $3(x+2)=3x+5$
2. $2(x-4)+x=3x-8$
3. $5x-1=2x-1$
Voir le corrigé
1. $3x+6=3x+5$ donne $6=5$ , ce qui est faux : aucune solution.
2. $2x-8+x=3x-8$ , soit $3x-8=3x-8$ : vrai pour tout $x$ , tous les nombres sont solutions.
3. $3x=0$ , donc $x=0$ : une solution, le nombre $0$ .
Exercice 3
Équations produits
Résous chaque équation.
1. $(x-7)(2x+5)=0$
2. $x^2=6x$
3. $4x^2-25=0$
Voir le corrigé
1. $x-7=0$ ou $2x+5=0$ : $x=7$ ou $x=-\dfrac{5}{2}=-2{,}5$ .
2. $x^2-6x=0$ , soit $x(x-6)=0$ : $x=0$ ou $x=6$ . Diviser par $x$ aurait fait perdre la solution $0$ .
3. On factorise avec $a^2-b^2$ : $(2x-5)(2x+5)=0$ , donc $x=\dfrac{5}{2}$ ou $x=-\dfrac{5}{2}$ .
Exercice 4
Des équations $x^2=a$
Résous chaque équation.
1. $x^2=81$
2. $x^2=7$ (donne aussi les arrondis au centième)
3. $x^2+4=0$
4. $3x^2=48$
Voir le corrigé
1. $x=9$ ou $x=-9$ .
2. $x=\sqrt{7}$ ou $x=-\sqrt{7}$ , soit environ $2{,}65$ et $-2{,}65$ .
3. $x^2=-4$ : un carré n’est jamais négatif, il n’y a aucune solution.
4. $x^2=16$ , donc $x=4$ ou $x=-4$ .
Exercice 5
Deux tarifs de piscine
Tarif A : $4{,}50$ € par entrée. Tarif B : un abonnement annuel de $30$ €, puis $2$ € par entrée. On note $n$ le nombre d’entrées dans l’année.
1. Exprime le prix payé avec chaque tarif en fonction de $n$ .
2. Pour combien d’entrées les deux tarifs coûtent-ils le même prix ?
3. Lison dispose de $70$ €. Combien d’entrées peut-elle payer au maximum avec chaque tarif ?
Voir le corrigé
1. Tarif A : $4{,}5n$ euros. Tarif B : $30+2n$ euros.
2. $4{,}5n=30+2n$ donne $2{,}5n=30$ , donc $n=12$ . Pour $12$ entrées, les deux tarifs coûtent $54$ €.
3. Tarif A : $70\div4{,}5\approx15{,}6$ , soit $15$ entrées au maximum (pour $67{,}50$ €). Tarif B : il reste $70-30=40$ € après l’abonnement, et $40\div2=20$ entrées. Le tarif B lui permet de nager plus souvent.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

En 3e, les erreurs viennent moins des calculs que des solutions oubliées ou mal interprétées.

Diviser par $x$
Dans $x^2=5x$ , diviser par $x$ fait perdre la solution $0$ . On factorise : $x(x-5)=0$ , donc $x=0$ ou $x=5$ .
Oublier la solution négative
$x^2=49$ a deux solutions, $7$ et $-7$ . Et $x^2=-4$ n’en a aucune.
Utiliser le produit nul sans zéro
$(x-2)(x+3)=6$ ne se résout pas avec la règle du produit nul : elle exige un produit égal à $0$ .
Confondre « aucune solution » et « solution $0$ »
$3x=0$ a une solution, $x=0$ . C’est une égalité fausse comme $6=5$ qui signale l’absence de solution.
Oublier le signe moins devant une parenthèse
$-(2x+3)=-2x-3$ : le moins change le signe de chaque terme de la parenthèse.
Garder une solution qui n’a pas de sens
Une longueur négative ou un nombre de places non entier ne répond pas au problème : vérifie toujours la solution dans le contexte.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Deux séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Une équation, c’est d’abord un équilibre : dans les séries, tu fais parler des balances, des barres d’âges et des machines que tu fais fonctionner à reculons. Au niveau 2, tu départages deux élèves, tu justifies chaque étape et tu cherches la première ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu résous et tu mets en équation des problèmes de périmètres, de tarifs ou de cyclistes, avec Alphi, le coach IA, si tu bloques.

1Utiliser les données du problème et le traduire en équation
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu touches l’inconnue dans l’énoncé, tu construis des barres d’âges, tu représentes une pesée sur une balance et tu règles l’équation d’une course en taxi.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu dis ce que représente $x$ dans l’équation d’une camarade, tu départages deux mises en équation d’un problème d’âges et tu choisis l’inconnue qui évite les fractions.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu construis l’équation de trois entiers consécutifs ou de deux cyclistes qui se croisent, tu repères la ligne fausse d’une copie et tu écartes une solution qui n’a pas de sens, comme une largeur négative.
2Savoir résoudre une équation du premier degré
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu laisses un cube seul sur une balance en équilibre, tu fais fonctionner une machine à reculons et tu découvres des équations sans solution ou vraies pour tout $x$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu justifies chaque étape, tu trouves la première ligne fausse d’une résolution et tu complètes la règle du produit nul.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu résous des équations avec parenthèses, décimaux ou fractions, une équation produit, et tu compares deux abonnements ou deux programmes de calcul.

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Questions fréquentes

Comment résoudre une équation produit nul ?

On écrit l’équation sous la forme d’un produit égal à $0$ , en factorisant si besoin. Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul : on résout chaque facteur égal à $0$ . Par exemple $(x-3)(x+2)=0$ donne $x=3$ ou $x=-2$ .

Combien de solutions a l’équation x² = a ?

Deux si $a>0$ ( $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ ), une seule si $a=0$ (le nombre $0$ ), aucune si $a<0$ , car un carré n’est jamais négatif.

Une équation peut-elle n’avoir aucune solution ?

Oui. Si, après réduction, les $x$ disparaissent et qu’il reste une égalité fausse comme $6=5$ , l’équation n’a aucune solution. Si l’égalité qui reste est vraie, tous les nombres sont solutions.

Comment mettre un problème en équation ?

Choisis l’inconnue et écris ce qu’elle représente, avec son unité. Exprime les autres quantités en fonction de cette inconnue, puis traduis la phrase qui donne l’égalité. Après la résolution, vérifie que la solution a un sens et conclus par une phrase.

Quelle est la différence entre les équations de 4e et de 3e ?

En 4e, on apprend à résoudre une équation du premier degré. En 3e, on résout aussi des équations produits et des équations $x^2=a$ , et on traite des cas sans solution ou avec une infinité de solutions.

Pour aller plus loin

Les bases de la résolution sont sur la page équations en 4e. Pour factoriser avant d’appliquer le produit nul, revois les identités remarquables sur la page calcul littéral en 3e. Chercher un antécédent par une fonction affine, c’est aussi résoudre une équation. Les problèmes de mise en équation reviennent souvent au brevet : notre guide pour réviser le brevet de maths t’aide à t’y préparer. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Équations en 3e : cours, exemples et exercices

Résoudre une équation du premier degré

Aucune solution, ou une infinité

L’équation produit nul

Les équations x2=ax^2=ax2=a et la mise en équation

Résoudre 4(x−1)−(2x+3)=5−x{4(x-1)-(2x+3)=5-x}4(x−1)−(2x+3)=5−x

Un carré agrandi

Premier degré : trois équations

Combien de solutions ?

Équations produits

Des équations x2=ax^2=ax2=a

Deux tarifs de piscine

Diviser par xxx

Oublier la solution négative

Utiliser le produit nul sans zéro

Confondre « aucune solution » et « solution 000 »

Oublier le signe moins devant une parenthèse

Garder une solution qui n’a pas de sens

1Utiliser les données du problème et le traduire en équation

2Savoir résoudre une équation du premier degré

Les maths, c’est une question de flow.

Les équations $x^2=a$ et la mise en équation

Résoudre ${4(x-1)-(2x+3)=5-x}$

Des équations $x^2=a$

Diviser par $x$

Confondre « aucune solution » et « solution $0$ »