Notion de fonction en 3e : cours et exercices corrigés

Q: C’est quoi une fonction en maths ?

Une fonction est un procédé qui associe à chaque nombre x un seul nombre, noté f(x) et appelé son image. Elle peut être donnée par une expression, un programme de calcul, un tableau de valeurs ou une courbe.

Q: Quelle est la différence entre une image et un antécédent ?

Si f(a)=b, alors b est l’image de a et a est un antécédent de b. L’image est le nombre d’arrivée, l’antécédent le nombre de départ. Un nombre a une seule image, mais peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Q: Comment trouver un antécédent par le calcul ?

On résout l’équation f(x)=b. Par exemple, pour l’antécédent de 7 par f(x)=3x-5, on résout 3x-5=7 et on trouve x=4. On vérifie ensuite que f(4)=7.

Q: Comment lire une image sur un graphique ?

On part du nombre sur l’axe des abscisses, on va verticalement jusqu’à la courbe, puis horizontalement jusqu’à l’axe des ordonnées, où l’on lit l’image.

Q: Un nombre peut-il avoir deux images ?

Non. Par définition, une fonction associe à chaque nombre une seule image. Si un même nombre était relié à deux résultats, ce ne serait pas une fonction.

Programme de 3e

Ce que tu dois savoir faire en 3e

La notion de fonction est l’une des grandes nouveautés de la 3e. Elle donne un nom à un lien que tu connais déjà : un programme de calcul, un tarif, une aire qui dépend d’une longueur. Les attendus de fin de 3e demandent d’utiliser les notations et le vocabulaire des fonctions, de passer d’un mode de représentation à un autre (expression, tableau, courbe) et de déterminer une image ou un antécédent.

Le chapitre te demande de comprendre qu’un nombre a une seule image mais peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents, de calculer et de lire sur une courbe, puis de modéliser une situation par une fonction. Il prépare directement les fonctions affines et, au lycée, les fonctions de référence de Seconde.

Dans Mathflow, le chapitre compte quatre compétences, chacune en trois niveaux.

Les 4 compétences du chapitre

Utiliser le vocabulaire et les notations d’une fonction
Déterminer une image ou un antécédent par le calcul
Lire une image ou un antécédent à partir d’une courbe
Modéliser une situation par une fonction

Cours

L’essentiel du cours

Le vocabulaire, le calcul, la lecture graphique et la modélisation : les quatre façons de travailler avec une fonction.

Fonction, image et antécédent

Si $f(a)=b$ , alors $b$ est l’image de $a$ , et $a$ est un antécédent de $b$ . Par exemple, $f(3)=7$ se lit « l’image de $3$ par $f$ est $7$ » ou « $3$ est un antécédent de $7$ par $f$ ».

Attention aux notations : $f$ désigne la fonction, $f(x)$ désigne un nombre, l’image de $x$ .

Calculer une image, chercher un antécédent

Pour calculer une image, on remplace $x$ par le nombre dans l’expression, en mettant les nombres négatifs entre parenthèses. Avec $f(x)=x^2-2x-3$ :

\begin{aligned} f(-2)&=(-2)^2-2\times(-2)-3\\ &=4+4-3=5 \end{aligned}

Pour chercher un antécédent de $b$ , on résout l’équation $f(x)=b$ . Avec $g(x)=3x-5$ , l’antécédent de $7$ vérifie $3x-5=7$ , donc $3x=12$ et $x=4$ . On vérifie : $g(4)=12-5=7$ .

Une fonction peut aussi être donnée par un tableau de valeurs, qui se lit colonne par colonne :

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$

On y lit $f(2)=-3$ , et les antécédents de $-3$ qui figurent dans le tableau : $0$ et $2$ .

Lire sur une courbe

La courbe représentative de $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $(x\,;\,f(x))$ . Un point $M(a\,;\,b)$ est sur la courbe si et seulement si $f(a)=b$ .

Image de $a$ : on part de $a$ sur l’axe des abscisses, on monte (ou on descend) jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée sur l’axe des ordonnées.
Antécédents de $b$ : on trace la droite horizontale à la hauteur $b$ , puis on lit les abscisses de tous ses points d’intersection avec la courbe.

Sur la figure du haut de la page, l’image de $4$ est $5$ , et la droite d’ordonnée $5$ coupe la courbe en deux points : $5$ a deux antécédents, $-2$ et $4$ . Une lecture graphique est souvent approchée : seul le calcul donne une valeur exacte.

Modéliser une situation par une fonction

Modéliser, c’est repérer deux grandeurs liées, choisir la variable et écrire l’expression qui donne l’autre grandeur. Par exemple, l’aire d’un disque dépend de son rayon $r$ , en centimètres :

A(r)=\pi r^2 \quad\text{donc}\quad A(3)=9\pi\approx28{,}27\text{ cm}^2

On précise toujours les valeurs possibles de la variable : ici $r>0$ . Une longueur, un nombre de séances ou un prix ne peuvent pas prendre n’importe quelle valeur.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Image et antécédents par $f(x)=x^2-4$
Soit $f(x)=x^2-4$ . Calcule l’image de $-3$ , puis cherche les antécédents de $5$ , de $-4$ et de $-5$ .
Solution
Image de $-3$ : $f(-3)=(-3)^2-4=9-4=5$ .
Antécédents de $5$ : $x^2-4=5$ donne $x^2=9$ , donc $x=3$ ou $x=-3$ . Le nombre $5$ a deux antécédents.
Antécédents de $-4$ : $x^2=0$ , donc $x=0$ , seul antécédent.
Antécédents de $-5$ : $x^2=-1$ est impossible, car un carré n’est jamais négatif. Le nombre $-5$ n’a aucun antécédent.
Exemple 2
L’aire d’un rectangle de périmètre fixé
Un rectangle a un périmètre de $24$ cm. On note $x$ sa largeur, en centimètres.
1. Exprime sa longueur, puis son aire $A(x)$ .
2. Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ?
3. Calcule $A(3)$ , $A(6)$ et $A(9)$ . L’aire est-elle proportionnelle à la largeur ?
Solution
1. Le demi-périmètre vaut $12$ cm, donc la longueur vaut $12-x$ et $A(x)=x(12-x)$ .
2. La largeur et la longueur doivent être positives : $x>0$ et $12-x>0$ , donc $0<x<12$ .
3. $A(3)=3\times9=27$ , $A(6)=6\times6=36$ et $A(9)=9\times3=27$ , en cm². Quand la largeur double de $3$ à $6$ cm, l’aire ne double pas ( $27$ puis $36$ ) : elle n’est pas proportionnelle à la largeur. On remarque aussi que $27$ a deux antécédents, $3$ et $9$ .

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Le vocabulaire
On sait que $g(-2)=7$ .
1. Complète : « $7$ est … de $-2$ par $g$ » et « $-2$ est … de $7$ par $g$ ».
2. Traduis par une égalité : « l’image de $5$ par $h$ est $0$ », puis « $3$ est un antécédent de $-1$ par $k$ ».
Voir le corrigé
1. $7$ est l’image de $-2$ par $g$ , et $-2$ est un antécédent de $7$ par $g$ .
2. $h(5)=0$ et $k(3)=-1$ : le nombre de départ est toujours entre les parenthèses.
Exercice 2
Lire un tableau de valeurs
Voici un tableau de valeurs d’une fonction $f$ .
$x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$
$f(x)$ $0$ $-2$ $1$ $0$ $3$ $-2$
1. Donne $f(-1)$ et l’image de $2$ .
2. Donne les antécédents de $0$ et de $-2$ qui figurent dans le tableau.
3. Le nombre $1$ a-t-il un antécédent dans le tableau ?
Voir le corrigé
1. $f(-1)=-2$ et l’image de $2$ est $f(2)=3$ .
2. $f(-2)=f(1)=0$ : $-2$ et $1$ sont des antécédents de $0$ . $f(-1)=f(3)=-2$ : $-1$ et $3$ sont des antécédents de $-2$ .
3. Oui : $f(0)=1$ , donc $0$ est un antécédent de $1$ .
Exercice 3
Calculer images et antécédents
Soit $f(x)=2x^2-3x+1$ et $g(x)=5-4x$ .
1. Calcule l’image de $-2$ par $f$ .
2. Montre que $\dfrac{1}{2}$ est un antécédent de $0$ par $f$ , puis trouve un autre antécédent de $0$ parmi les entiers de $-2$ à $2$ .
3. Détermine l’antécédent de $-7$ par $g$ .
Voir le corrigé
1. $f(-2)=2\times(-2)^2-3\times(-2)+1=8+6+1=15$ .
2. $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\times\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}+1=0$ . Pour les entiers : $f(-2)=15$ , $f(-1)=6$ , $f(0)=1$ , $f(1)=0$ et $f(2)=3$ . Donc $1$ est aussi un antécédent de $0$ .
3. $5-4x=-7$ donne $-4x=-12$ , donc $x=3$ . Vérification : $g(3)=5-12=-7$ .
Exercice 4
Des points sur une courbe
La courbe $\mathcal{C}$ représente la fonction $f(x)=x^2-2x-3$ , celle de la figure en haut de la page.
1. Le point $A(4\,;\,5)$ est-il sur $\mathcal{C}$ ?
2. Et le point $B(-1{,}5\,;\,2)$ ?
3. Le point $D(a\,;\,-4)$ est sur $\mathcal{C}$ . Trouve $a$ , sachant que $f(x)+4=(x-1)^2$ .
Voir le corrigé
1. $f(4)=16-8-3=5$ : oui, $A$ est sur $\mathcal{C}$ .
2. $f(-1{,}5)=2{,}25+3-3=2{,}25$ . Comme $2{,}25\neq2$ , le point $B$ n’est pas sur $\mathcal{C}$ , même s’il en paraît très proche sur un dessin.
3. $f(a)=-4$ équivaut à $f(a)+4=0$ , soit $(a-1)^2=0$ , donc $a=1$ . Le point $D(1\,;\,-4)$ est le point le plus bas de la courbe.
Exercice 5
Le volume d’une boîte
Avec une feuille carrée de $20$ cm de côté, on fabrique une boîte sans couvercle : on découpe un carré de côté $x$ cm à chaque coin, puis on relève les bords.
1. Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ?
2. Exprime le volume $V(x)$ de la boîte, en cm³.
3. Calcule $V(2)$ , $V(3)$ et $V(4)$ .
4. Parmi les valeurs entières de $x$ , laquelle donne la boîte de plus grand volume ?
Voir le corrigé
1. Le fond est un carré de côté $20-2x$ , qui doit être positif : $0<x<10$ .
2. La hauteur de la boîte est $x$ : $V(x)=x(20-2x)^2$ .
3. $V(2)=2\times16^2=512$ , $V(3)=3\times14^2=588$ et $V(4)=4\times12^2=576$ , en cm³.
4. Pour $x=1$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ et $9$ , on trouve respectivement $324$ , $500$ , $384$ , $252$ , $128$ et $36\text{ cm}^3$ . Le plus grand volume est obtenu pour $x=3$ : $588\text{ cm}^3$ .

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$0$	$-2$	$1$	$0$	$3$	$-2$

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Presque toutes les erreurs viennent d’une confusion entre l’image et l’antécédent, ou entre les deux axes.

Inverser image et antécédent
$f(2)=5$ : $5$ est l’image de $2$ , et $2$ est un antécédent de $5$ . Le nombre de départ est entre les parenthèses.
Croire à un seul antécédent
Un nombre a une seule image, mais peut avoir plusieurs antécédents : par la fonction carré, $9$ a pour antécédents $3$ et $-3$ .
Oublier les parenthèses
Pour $f(x)=x^2$ , $f(-3)=(-3)^2=9$ . Sans parenthèses, $-3^2$ vaut $-9$ .
Lire sur le mauvais axe
Une image se lit sur l’axe des ordonnées, un antécédent sur l’axe des abscisses.
Calculer une image au lieu d’un antécédent
Pour l’antécédent de $1$ par $f(x)=7-2x$ , on résout $7-2x=1$ : $x=3$ . Calculer $f(1)=5$ ne répond pas à la question.
Oublier les valeurs possibles
Dans un problème, la variable a souvent des limites : une largeur positive, un nombre entier de séances, une découpe plus petite que la moitié de la feuille.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Quatre séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, la fonction devient une machine : tu fais entrer un nombre, tu relies chaque nombre à son image par une flèche, tu remontes un programme de calcul, tu places une droite horizontale sur une courbe et tu règles la taille des coins d’une boîte. Au niveau 2, tu départages deux élèves et tu cherches la ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu calcules, tu lis et tu modélises, avec Alphi, le coach IA, si tu bloques.

1Utiliser le vocabulaire et les notations d’une fonction
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu fais entrer dans une machine un antécédent de $5$ , tu relies chaque nombre à son image et tu effaces une flèche pour qu’un diagramme représente une fonction.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes les deux façons de lire une égalité comme $f(-5)=8$ , tu départages deux élèves sur un nombre qui a deux antécédents et tu trouves la première ligne fausse d’une copie sur la fonction carré.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu traduis des phrases par des égalités, tu lis un tableau de valeurs et tu dis combien d’antécédents ont $9$ , $0$ et $-4$ par la fonction carré.
2Déterminer une image ou un antécédent par le calcul
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu calcules $f(-3)$ en choisissant l’écriture de chaque étape, tu remontes un programme de calcul pour trouver les nombres qui donnent $16$ et tu isoles $x$ pour trouver un antécédent.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu départages deux élèves sur l’image de $2$ par $1+3x^2$ , tu trouves la ligne fausse d’un calcul d’image et tu expliques l’erreur de Chloé, qui a calculé une image au lieu d’un antécédent.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des images, y compris celle de $-\frac{1}{2}$ , tu trouves des antécédents en écriture décimale et les deux antécédents de $49$ par $2x^2-1$ .
3Lire une image ou un antécédent à partir d’une courbe
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu lis l’image de $-2$ en passant par la courbe, tu places une droite horizontale pour trouver trois antécédents et tu repères les heures où il faisait $12$ °C.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu départages deux élèves sur des antécédents lus sur une courbe, tu expliques pourquoi $5$ n’a aucun antécédent et tu compares une lecture graphique à un calcul.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu lis des images exactes ou approchées, tu décides si un point est sur la courbe, tu résous graphiquement $f(x)=1$ et tu trouves les instants où une balle est à $5$ m.
4Modéliser une situation par une fonction
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places le coin d’un rectangle pour obtenir une aire de $16$ cm², tu règles la taille des coins d’une boîte pour obtenir le plus grand volume et tu associes des situations à leurs courbes.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu expliques pourquoi l’aire d’un rectangle de périmètre fixé n’est pas proportionnelle à sa largeur, tu trouves l’erreur de Théo dans un tarif et tu précises les valeurs possibles de la variable.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu écris des fonctions pour un taxi, une boîte, un jardin ou un enclos contre un mur, puis tu t’en sers pour comparer deux offres ou fixer le prix d’un billet.

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Questions fréquentes

C’est quoi une fonction en maths ?

Une fonction est un procédé qui associe à chaque nombre $x$ un seul nombre, noté $f(x)$ et appelé son image. Elle peut être donnée par une expression, un programme de calcul, un tableau de valeurs ou une courbe.

Quelle est la différence entre une image et un antécédent ?

Si $f(a)=b$ , alors $b$ est l’image de $a$ et $a$ est un antécédent de $b$ . L’image est le nombre d’arrivée, l’antécédent le nombre de départ. Un nombre a une seule image, mais peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Comment trouver un antécédent par le calcul ?

On résout l’équation $f(x)=b$ . Par exemple, pour l’antécédent de $7$ par $f(x)=3x-5$ , on résout $3x-5=7$ et on trouve $x=4$ . On vérifie ensuite que $f(4)=7$ .

Comment lire une image sur un graphique ?

On part du nombre sur l’axe des abscisses, on va verticalement jusqu’à la courbe, puis horizontalement jusqu’à l’axe des ordonnées, où l’on lit l’image.

Un nombre peut-il avoir deux images ?

Non. Par définition, une fonction associe à chaque nombre une seule image. Si un même nombre était relié à deux résultats, ce ne serait pas une fonction.

Pour aller plus loin

Le chapitre suivant étudie une famille précise de fonctions : les fonctions affines en 3e, représentées par des droites. Chercher un antécédent revient à résoudre une équation : la page équations en 3e t’y entraîne. Les fonctions sont au programme du brevet : notre guide pour réviser le brevet de maths t’aide à t’y préparer. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Notion de fonction en 3e : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en 3e

L’essentiel du cours

Fonction, image et antécédent

Calculer une image, chercher un antécédent

Lire sur une courbe

Modéliser une situation par une fonction

Deux exemples résolus

Image et antécédents par $f(x)=x^2-4$

L’aire d’un rectangle de périmètre fixé

Cinq exercices corrigés

Le vocabulaire

Lire un tableau de valeurs

Calculer images et antécédents

Des points sur une courbe

Le volume d’une boîte

Les pièges à éviter

Inverser image et antécédent

Croire à un seul antécédent

Oublier les parenthèses

Lire sur le mauvais axe

Calculer une image au lieu d’un antécédent

Oublier les valeurs possibles

Ce chapitre dans Mathflow

1Utiliser le vocabulaire et les notations d’une fonction

2Déterminer une image ou un antécédent par le calcul

3Lire une image ou un antécédent à partir d’une courbe

4Modéliser une situation par une fonction

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Notion de fonction en 3e : cours, exemples et exercices

Fonction, image et antécédent

Calculer une image, chercher un antécédent

Lire sur une courbe

Modéliser une situation par une fonction

Image et antécédents par f(x)=x2−4f(x)=x^2-4f(x)=x2−4

L’aire d’un rectangle de périmètre fixé

Le vocabulaire

Lire un tableau de valeurs

Calculer images et antécédents

Des points sur une courbe

Le volume d’une boîte

Inverser image et antécédent

Croire à un seul antécédent

Oublier les parenthèses

Lire sur le mauvais axe

Calculer une image au lieu d’un antécédent

Oublier les valeurs possibles

1Utiliser le vocabulaire et les notations d’une fonction

2Déterminer une image ou un antécédent par le calcul

3Lire une image ou un antécédent à partir d’une courbe

4Modéliser une situation par une fonction

Les maths, c’est une question de flow.

Image et antécédents par $f(x)=x^2-4$