Fonctions de référence en Seconde : cours et exercices

Q: Quelles sont les fonctions de référence en Seconde ?

Les fonctions affines, la fonction carré, la fonction inverse, la fonction racine carrée et la fonction cube. Le programme entré en vigueur à la rentrée 2026 y ajoute la fonction valeur absolue.

Q: Quel est le tableau de variations de la fonction carré ?

La fonction carré est décroissante sur ]{-\infty}\,;\,0], puis croissante sur [0\,;\,+\infty[. Son minimum vaut 0 et il est atteint en x=0.

Q: Pourquoi la fonction inverse n’est-elle pas définie en 0 ?

Parce que \frac{1}{x} demande de diviser par x, et qu’on ne divise jamais par 0. Sa courbe a donc deux branches séparées, de part et d’autre de l’axe des ordonnées.

Q: Comment résoudre une inéquation comme x² < 9 ?

On cherche les points de la parabole situés sous la droite d’équation y=9 : ils ont une abscisse entre -3 et 3. L’ensemble des solutions est ]{-3}\,;\,3[.

Q: Quelle est la différence entre la courbe de la fonction carré et celle de la fonction cube ?

La parabole de x^2 est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et ne descend jamais sous l’axe des abscisses. La courbe de x^3 est symétrique par rapport à l’origine : elle est croissante sur tout \mathbb{R} et prend des valeurs négatives quand x<0.

Programme de Seconde

Ce que tu dois savoir faire en Seconde

Le chapitre des fonctions de référence te donne un répertoire de courbes à connaître : la droite d’une fonction affine, la parabole de la fonction carré, l’hyperbole de la fonction inverse, les courbes des fonctions racine carrée et cube. Le programme parle d’« images mentales » : en voyant une expression, tu dois savoir quelle allure a sa courbe.

Le programme de Seconde en vigueur depuis la rentrée 2026 demande de connaître la définition et la courbe des fonctions carré et inverse, de démontrer les variations des fonctions affines, carré et inverse, et, pour toutes les fonctions de référence, de résoudre graphiquement ou algébriquement des équations et des inéquations du type $f(x)=k$ ou $f(x)<k$ . Il ajoute la fonction valeur absolue à la liste, et demande de comparer $f(a)$ et $f(b)$ à l’aide des variations.

Dans Mathflow, le chapitre compte cinq compétences, une par fonction, chacune en trois niveaux.

Les 5 compétences du chapitre

Connaître les propriétés des fonctions linéaires et affines
Connaître les propriétés de la fonction carré
Connaître les propriétés de la fonction inverse
Connaître les propriétés de la fonction racine carrée
Connaître les propriétés de la fonction cube

Cours

L’essentiel du cours

Pour chaque fonction : où elle est définie, comment elle varie, à quoi ressemble sa courbe et ce qu’elle permet de résoudre.

Les fonctions affines

Pour tous réels $a\neq b$ : $f(b)-f(a)=m(b-a)$ , donc $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=m$ . On en déduit les variations :

si $m>0$ , $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ;
si $m<0$ , $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ ;
si $m=0$ , $f$ est constante.

Sa courbe est une droite qui coupe l’axe des ordonnées au point $(0\,;\,p)$ .

La fonction carré

Démonstration sur $[0\,;\,+\infty[$ : si $0\le a<b$ , alors $b^2-a^2=(b-a)(b+a)>0$ , donc $a^2<b^2$ .

$x^2=k$ a deux solutions $-\sqrt{k}$ et $\sqrt{k}$ si $k>0$ , une seule ( $0$ ) si $k=0$ , aucune si $k<0$ .
Pour $k>0$ : $x^2\le k$ si et seulement si $x\in[-\sqrt{k}\,;\,\sqrt{k}]$ .

La fonction inverse

Démonstration sur $]0\,;\,+\infty[$ : si $0<a<b$ , alors $\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}=\dfrac{a-b}{ab}<0$ , car $a-b<0$ et $ab>0$ .

Racine carrée, cube, et un tableau pour tout retenir

La fonction racine carrée $x\mapsto\sqrt{x}$ est définie sur $[0\,;\,+\infty[$ et croissante sur cet intervalle. Sur $[0\,;\,1]$ , on a $x^2\le x\le\sqrt{x}$ ; sur $[1\,;\,+\infty[$ , l’ordre s’inverse : $\sqrt{x}\le x\le x^2$ .
La fonction cube $x\mapsto x^3$ est définie et croissante sur $\mathbb{R}$ . Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine, car $(-x)^3=-x^3$ . Pour tout réel $k$ , l’équation $x^3=k$ a exactement une solution : $x^3=-8$ donne $x=-2$ .

Fonction	Définie sur	Variations
$x^2$	$\mathbb{R}$	décroissante puis croissante
${\dfrac{1}{x}}$	$\mathbb{R}$ privé de $0$	décroissante sur chaque intervalle
$\sqrt{x}$	$[0\,;\,+\infty[$	croissante
$x^3$	$\mathbb{R}$	croissante

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Résoudre $x^2=12$ , puis $x^2\ge12$
Résous l’équation $x^2=12$ , puis l’inéquation $x^2\ge12$ .
Solution
$12>0$ , donc $x^2=12$ a deux solutions : $x=-\sqrt{12}$ ou $x=\sqrt{12}$ (environ $\pm3{,}46$ ).
Sur la parabole, les points d’ordonnée au moins $12$ sont à gauche de $-\sqrt{12}$ ou à droite de $\sqrt{12}$ :
$S=\left]{-\infty}\,;\,-\sqrt{12}\,\right]\cup\left[\,\sqrt{12}\,;\,+\infty\right[$
Exemple 2
Encadrer $x^2$ et $\frac{1}{x}$
On sait que $-4\le x\le-0{,}5$ . Encadre $x^2$ , puis $\dfrac{1}{x}$ .
Solution
Sur $]{-\infty}\,;\,0]$ , la fonction carré est décroissante : elle inverse l’ordre. De $-4\le x\le-0{,}5$ , on déduit $(-0{,}5)^2\le x^2\le(-4)^2$ , soit $0{,}25\le x^2\le16$ .
Sur $]{-\infty}\,;\,0[$ , la fonction inverse est aussi décroissante : $\dfrac{1}{-0{,}5}\le\dfrac{1}{x}\le\dfrac{1}{-4}$ , soit $-2\le\dfrac{1}{x}\le-0{,}25$ .

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Une fonction affine décroissante
Soit $f(x)=4-1{,}5x$ .
1. Donne le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
2. Quand $x$ parcourt $[-2\,;\,6]$ , quel intervalle parcourt $f(x)$ ?
3. Sans calculer, compare $f(\sqrt{3})$ et $f(1{,}7)$ .
Voir le corrigé
1. Le coefficient directeur $m=-1{,}5$ est négatif : $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ .
2. $f(-2)=4+3=7$ et $f(6)=4-9=-5$ . Comme $f$ est décroissante, $f(x)$ parcourt $[-5\,;\,7]$ .
3. $\sqrt{3}\approx1{,}732$ , donc $\sqrt{3}>1{,}7$ . La fonction $f$ inverse l’ordre : $f(\sqrt{3})<f(1{,}7)$ .
Exercice 2
Comparer des carrés
Sans calculer les carrés, compare :
1. $1{,}3^2$ et $1{,}29^2$
2. $(-2{,}5)^2$ et $(-2{,}6)^2$
3. Puis encadre $x^2$ sachant que $-3\le x\le2$ .
Voir le corrigé
1. $0\le1{,}29<1{,}3$ et la fonction carré est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ : $1{,}29^2<1{,}3^2$ .
2. $-2{,}6<-2{,}5\le0$ et la fonction carré est décroissante sur $]{-\infty}\,;\,0]$ : $(-2{,}6)^2>(-2{,}5)^2$ .
3. L’intervalle contient $0$ , où la fonction carré atteint son minimum $0$ . Le maximum est atteint à une extrémité : $(-3)^2=9$ et $2^2=4$ . Donc $0\le x^2\le9$ , et non $9\le x^2\le4$ .
Exercice 3
Avec la fonction inverse
1. Résous $\dfrac{1}{x}=-4$ .
2. Résous $\dfrac{1}{x}\ge2$ .
3. Sans calculer, compare $\dfrac{1}{-3}$ et $\dfrac{1}{-2}$ .
Voir le corrigé
1. $x\neq0$ et $\dfrac{1}{x}=-4$ donne $x=-\dfrac{1}{4}=-0{,}25$ .
2. Si $x<0$ , $\dfrac{1}{x}<0$ : aucune solution. Sur $]0\,;\,+\infty[$ , la fonction inverse est décroissante et vaut $2$ en $0{,}5$ : $\dfrac{1}{x}\ge2$ pour $0<x\le0{,}5$ . Ensemble des solutions : $]0\,;\,0{,}5]$ .
3. $-3<-2<0$ et la fonction inverse est décroissante sur $]{-\infty}\,;\,0[$ : $\dfrac{1}{-3}>\dfrac{1}{-2}$ .
Exercice 4
Racine carrée et cube
Résous chaque équation ou inéquation.
1. $\sqrt{x}=5$
2. $\sqrt{x}<3$
3. $x^3=-8$
4. $x^3=10$ (donne une valeur approchée au centième)
Voir le corrigé
1. $x=5^2=25$ .
2. La racine carrée n’existe que pour $x\ge0$ et elle est croissante : $\sqrt{x}<3=\sqrt{9}$ équivaut à $0\le x<9$ . Solutions : $[0\,;\,9[$ .
3. $(-2)^3=-8$ et la fonction cube est croissante, donc $x=-2$ est la seule solution.
4. $2^3=8<10<27=3^3$ : l’unique solution est entre $2$ et $3$ . La calculatrice donne environ $2{,}15$ .
Exercice 5
Ranger $x$ , $x^2$ et $\sqrt{x}$
1. Range $x$ , $x^2$ et $\sqrt{x}$ dans l’ordre croissant pour $x=0{,}25$ , puis pour $x=4$ .
2. Démontre que, pour tout $x\ge1$ , $x^2\ge x$ .
3. Que se passe-t-il pour $0\le x\le1$ ?
Voir le corrigé
1. Pour $x=0{,}25$ : $x^2=0{,}0625$ et $\sqrt{x}=0{,}5$ , donc $x^2<x<\sqrt{x}$ . Pour $x=4$ : $\sqrt{x}=2$ et $x^2=16$ , donc $\sqrt{x}<x<x^2$ .
2. $x^2-x=x(x-1)$ . Si $x\ge1$ , alors $x\ge0$ et $x-1\ge0$ , donc le produit est positif : $x^2\ge x$ .
3. Si $0\le x\le1$ , alors $x\ge0$ et $x-1\le0$ , donc $x(x-1)\le0$ : $x^2\le x$ . Sur $[0\,;\,1]$ , la parabole est sous la droite d’équation $y=x$ .

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

La plupart des erreurs viennent d’une fonction décroissante, qui inverse l’ordre, ou d’un intervalle mal découpé.

Dire que la fonction inverse est décroissante sur son ensemble de définition
Elle est décroissante sur $]{-\infty}\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$ séparément : $-1<1$ mais $\frac{1}{-1}<\frac{1}{1}$ .
Oublier une solution de $x^2=k$
$x^2=9$ a deux solutions, $-3$ et $3$ . Et $x^2<9$ donne $]{-3}\,;\,3[$ , pas seulement $x<3$ .
Élever les bornes au carré sans réfléchir
Si $-3\le x\le2$ , on n’a pas $9\le x^2\le4$ : l’intervalle contient $0$ , donc $0\le x^2\le9$ .
Garder l’ordre avec une fonction décroissante
Si $2\le x\le5$ , alors $\frac{1}{5}\le\frac{1}{x}\le\frac{1}{2}$ : la fonction inverse renverse les inégalités sur $]0\,;\,+\infty[$ .
Prendre la racine carrée d’un négatif
$\sqrt{x}$ n’existe que pour $x\ge0$ . Le cube, lui, accepte tous les réels : $(-2)^3=-8$ .
Croire que $x^2$ est toujours plus grand que $x$
Entre $0$ et $1$ , c’est l’inverse : $0{,}5^2=0{,}25<0{,}5$ .

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Cinq séries, une par fonction, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Une courbe se comprend en la parcourant : dans les séries, tu places des points sur une parabole qui n’est pas tracée, tu déplaces un point sur l’hyperbole, tu règles une droite $y=k$ pour changer le nombre de solutions et tu complètes des tableaux de variations case par case. Au niveau 2, tu départages deux élèves et tu repères l’erreur d’un tableau. Au niveau 3, tu compares, tu encadres et tu résous sans calculatrice, avec Alphi, le coach IA, si tu bloques.

1Connaître les propriétés des fonctions linéaires et affines
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places deux points sur la droite de $f(x)=1{,}5x-1$ pour obtenir un écart donné, tu rends une fonction décroissante avec des boutons et tu complètes le tableau de variations de $f(x)=3-2x$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la règle du sens de variation, tu choisis le raisonnement qui prouve que $f(x)=5-2x$ est décroissante et tu dis ce que signifie le coefficient $-8$ d’une batterie qui se décharge.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu compares $f(\sqrt{2})$ et $f(1{,}41)$ sans calculer, tu trouves l’intervalle parcouru par $f(x)$ et l’expression d’une fonction dont la droite est parallèle à une autre.
2Connaître les propriétés de la fonction carré
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places des points sur la courbe de la fonction carré, tu complètes son tableau de variations et tu règles $k$ pour que les solutions de $x^2\le k$ forment $[-3\,;\,3]$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la carte d’identité de la fonction carré, tu départages deux élèves qui résolvent $x^2<9$ et tu repères l’erreur d’un tableau de variations.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu résous $x^2=49$ ou $(x-1)^2=9$ , tu encadres $x^2$ quand $-3\le x\le1$ et tu calcules le côté d’un carré de $50$ m².
3Connaître les propriétés de la fonction inverse
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu déplaces un point sur la courbe de $\frac{1}{x}$ pour former un carré, tu écris l’ensemble de définition avec des crochets et tu complètes le tableau de variations.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la démonstration du sens de variation sur $]0\,;\,+\infty[$ , tu repères l’erreur de Yanis et tu encadres $\frac{1}{x}$ quand $2\le x\le5$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu compares $\frac{1}{\pi}$ et $\frac{1}{3{,}14}$ sans calculatrice, tu résous $\frac{1}{x}\ge0{,}5$ ou $\frac{1}{x}\le-2$ et tu étudies un rectangle de largeur $\ell$ et de longueur $\frac{1}{\ell}$ .
4Connaître les propriétés de la fonction racine carrée
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu touches les nombres qui ont une image, tu complètes le tableau de variations sur $[1\,;\,16]$ et tu relies la courbe de $\sqrt{x}$ à celle de $y=x^2$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition, tu départages deux élèves qui cherchent un antécédent de $-4$ et tu compares $x$ , $x^2$ et $\sqrt{x}$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu compares $\sqrt{\frac{2}{3}}$ et $\sqrt{0{,}6}$ , tu résous $\sqrt{x}\le3$ et tu cherches pour quels $x$ le nombre $\sqrt{6-2x}$ existe.
5Connaître les propriétés de la fonction cube
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu traces la courbe de $x\mapsto x^3$ en déplaçant un point, tu ranges des nombres selon le signe de leur cube et tu règles l’arête d’un cube pour multiplier son volume par $8$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes les phrases sur la symétrie de la courbe, tu compares $(-3{,}1)^3$ et $(-3{,}2)^3$ et tu expliques pourquoi $x^3=5$ a une seule solution.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu résous $x^3=-125$ ou $(2x-1)^3=27$ , tu encadres $x^3$ et tu trouves l’arête entière d’un cube dont le volume est compris entre $300$ et $500$ cm³.

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Questions fréquentes

Quelles sont les fonctions de référence en Seconde ?

Les fonctions affines, la fonction carré, la fonction inverse, la fonction racine carrée et la fonction cube. Le programme entré en vigueur à la rentrée 2026 y ajoute la fonction valeur absolue.

Quel est le tableau de variations de la fonction carré ?

La fonction carré est décroissante sur $]{-\infty}\,;\,0]$ , puis croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ . Son minimum vaut $0$ et il est atteint en $x=0$ .

Pourquoi la fonction inverse n’est-elle pas définie en 0 ?

Parce que $\frac{1}{x}$ demande de diviser par $x$ , et qu’on ne divise jamais par $0$ . Sa courbe a donc deux branches séparées, de part et d’autre de l’axe des ordonnées.

Comment résoudre une inéquation comme x² < 9 ?

On cherche les points de la parabole situés sous la droite d’équation $y=9$ : ils ont une abscisse entre $-3$ et $3$ . L’ensemble des solutions est $]{-3}\,;\,3[$ .

Quelle est la différence entre la courbe de la fonction carré et celle de la fonction cube ?

La parabole de $x^2$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et ne descend jamais sous l’axe des abscisses. La courbe de $x^3$ est symétrique par rapport à l’origine : elle est croissante sur tout $\mathbb{R}$ et prend des valeurs négatives quand $x<0$ .

Pour aller plus loin

Les fonctions affines ont été introduites en 3e : la page fonctions affines en 3e en reprend les bases, après la notion de fonction. Leur droite a une équation que tu étudies sur la page équations de droites en Seconde. En Première, la parabole revient avec le second degré et les variations avec le nombre dérivé. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Fonctions de référence en Seconde : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en Seconde

L’essentiel du cours

Les fonctions affines

La fonction carré

La fonction inverse

Racine carrée, cube, et un tableau pour tout retenir

Deux exemples résolus

Résoudre $x^2=12$ , puis $x^2\ge12$

Encadrer $x^2$ et $\frac{1}{x}$

Cinq exercices corrigés

Une fonction affine décroissante

Comparer des carrés

Avec la fonction inverse

Racine carrée et cube

Ranger $x$ , $x^2$ et $\sqrt{x}$

Les pièges à éviter

Dire que la fonction inverse est décroissante sur son ensemble de définition

Oublier une solution de $x^2=k$

Élever les bornes au carré sans réfléchir

Garder l’ordre avec une fonction décroissante

Prendre la racine carrée d’un négatif

Croire que $x^2$ est toujours plus grand que $x$

Ce chapitre dans Mathflow

1Connaître les propriétés des fonctions linéaires et affines

2Connaître les propriétés de la fonction carré

3Connaître les propriétés de la fonction inverse

4Connaître les propriétés de la fonction racine carrée

5Connaître les propriétés de la fonction cube

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Fonctions de référence en Seconde : cours, exemples et exercices

Les fonctions affines

La fonction carré

La fonction inverse

Racine carrée, cube, et un tableau pour tout retenir

Résoudre x2=12x^2=12x2=12, puis x2≥12x^2\ge12x2≥12

Encadrer x2x^2x2 et 1x\frac{1}{x}x1​

Une fonction affine décroissante

Comparer des carrés

Avec la fonction inverse

Racine carrée et cube

Ranger xxx, x2x^2x2 et x\sqrt{x}x​

Dire que la fonction inverse est décroissante sur son ensemble de définition

Oublier une solution de x2=kx^2=kx2=k

Élever les bornes au carré sans réfléchir

Garder l’ordre avec une fonction décroissante

Prendre la racine carrée d’un négatif

Croire que x2x^2x2 est toujours plus grand que xxx

1Connaître les propriétés des fonctions linéaires et affines

2Connaître les propriétés de la fonction carré

3Connaître les propriétés de la fonction inverse

4Connaître les propriétés de la fonction racine carrée

5Connaître les propriétés de la fonction cube

Les maths, c’est une question de flow.

Résoudre $x^2=12$ , puis $x^2\ge12$

Encadrer $x^2$ et $\frac{1}{x}$

Ranger $x$ , $x^2$ et $\sqrt{x}$

Oublier une solution de $x^2=k$

Croire que $x^2$ est toujours plus grand que $x$