Équations de droites en Seconde : cours, exemples et exercices

Vecteur directeur d’une droite

• Si $\vec u$ dirige $d$, tout vecteur $k\vec u$ avec $k\neq0$ dirige aussi $d$ : une droite a une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires.
• Le sens ne compte pas : $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ dirige aussi $(AB)$.
• Le vecteur nul ne dirige aucune droite : il n’a pas de direction.

Avec $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$. Par exemple, pour $A(1\,;\,2)$ et $B(5\,;\,-1)$, $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}$ dirige la droite $(AB)$.

Deux vecteurs $\vec u\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :

Équation cartésienne, équation réduite

Pourquoi ? Si $A$ est un point de $d$ et $\vec u$ un vecteur directeur, $M$ est sur $d$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$ sont colinéaires, c’est-à-dire $\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0$. En développant ce déterminant, on obtient une équation de la forme $ax+by+c=0$.

Pour écrire une équation de la droite qui passe par $A(0\,;\,1)$ et qui est dirigée par $\vec u\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ :

1. On lit $-b=3$ et $a=2$ dans les coordonnées de $\vec u$ : l’équation est de la forme $2x-3y+c=0$.
2. On remplace $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ : $0-3+c=0$, donc $c=3$.
3. Conclusion : $d\,:\,2x-3y+3=0$. L’équation $-4x+6y-6=0$, proportionnelle, décrit la même droite.

Pour $2x-3y+3=0$ : $3y=2x+3$, donc $y=\dfrac{2}{3}x+1$. Pour $5x-10=0$ : $x=2$. Une droite parallèle à l’axe des ordonnées n’a pas de pente : le programme ne définit la pente que pour les droites non parallèles à cet axe. Certains manuels, comme les séries Mathflow, réservent le nom d’équation réduite à la forme $y=mx+p$ et disent alors qu’une droite verticale n’en a pas : c’est la même idée.

La pente de la droite $(AB)$, quand $x_A\neq x_B$ :

Pour tracer une droite, deux points suffisent : les points où elle coupe les axes (on remplace $x$, puis $y$, par $0$), ou bien un point et un vecteur directeur.

Position relative de deux droites

Deux droites du plan sont soit sécantes (un seul point commun), soit parallèles. Deux droites parallèles sont strictement parallèles (aucun point commun) ou confondues (tous leurs points sont communs).

La condition $ab'-a'b=0$ dit que les vecteurs directeurs $\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-b'\\a'\end{pmatrix}$ sont colinéaires. Deux droites verticales $x=k$ et $x=k'$ sont toujours parallèles : elles sont dirigées par $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$.

Quand deux droites sécantes ont pour équations réduites $y=mx+p$ et $y=m'x+p'$, l’abscisse de leur point d’intersection vérifie $mx+p=m'x+p'$ ; on calcule ensuite $y$ avec l’une des deux équations.

Prolongement : projeté orthogonal d’un point sur une droite

Démonstration : si $N$ est un autre point de $d$, le triangle $MHN$ est rectangle en $H$. D’après le théorème de Pythagore, $MN^2=MH^2+HN^2$ avec $HN^2>0$, donc $MN^2>MH^2$, puis $MN>MH$.

Dans un repère orthonormé, $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$. Avec la réciproque du théorème de Pythagore, cette formule permet de vérifier qu’un angle est droit, donc qu’un point est bien le projeté orthogonal. Sur une droite horizontale $y=k$, le projeté de $M$ a la même abscisse que $M$ ; sur une droite verticale $x=k$, la même ordonnée.