Systèmes d’équations en Seconde : cours et exercices

Q: Comment savoir si un système a une solution ?

Pour ax+by=c et a'x+b'y=c', on calcule ab'-a'b. S’il est différent de 0, les droites sont sécantes et le système a une seule solution. S’il est nul, les droites sont parallèles : aucune solution si elles sont strictement parallèles, une infinité si elles sont confondues.

Programme de Seconde

Ce que tu dois savoir faire en Seconde

Les systèmes de deux équations à deux inconnues sont liés aux droites du plan. Chaque équation de la forme $ax+by=c$ représente une droite : résoudre le système, c’est trouver le ou les points communs aux deux droites.

Dans le programme de Seconde entré en vigueur à la rentrée 2026, la résolution d’un système de deux équations linéaires dans le cas général n’est plus un attendu. Il reste à déterminer le point d’intersection de deux droites sécantes données par leur équation réduite, ce qui revient à résoudre un système par substitution. Les autres méthodes de cette page restent utiles pour aller plus loin et pour modéliser : deux prix inconnus, des pièces dans une tirelire, deux tarifs à comparer.

Dans Mathflow, le chapitre compte trois compétences, chacune en trois niveaux.

Les 3 compétences du chapitre

Résoudre un système d’équations par substitution
Résoudre un système d’équations par combinaison linéaire
Résoudre un système graphiquement

Cours

L’essentiel du cours

Ce qu’est une solution, les deux méthodes de calcul et la lecture graphique qui dit combien de solutions on doit trouver.

Ce qui est au programme de Seconde

Par exemple, $y=2x-1$ et $y=-x+5$ se coupent là où $2x-1=-x+5$ , soit $3x=6$ et $x=2$ ; alors $y=2\times2-1=3$ . Le point d’intersection est $(2\,;\,3)$ .

Système et solution

\begin{cases}ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{cases}

Le couple $(2\,;\,3)$ est solution du système formé par $x+y=5$ et $2x-y=1$ , car $2+3=5$ et $2\times2-3=1$ . Le couple $(1\,;\,4)$ vérifie la première équation, mais pas la seconde ( $2\times1-4=-2$ ) : ce n’est pas une solution.

On écrit toujours la solution dans l’ordre $(x\,;\,y)$ , quel que soit l’ordre dans lequel on a trouvé les valeurs.

La méthode par substitution

Dans l’une des équations, on isole une inconnue. On choisit de préférence une inconnue de coefficient $1$ ou $-1$ : on évite ainsi les fractions.
On remplace cette inconnue par son expression dans l’autre équation, entre parenthèses.
On résout l’équation à une inconnue obtenue.
On revient à l’expression isolée pour calculer la seconde inconnue, puis on vérifie le couple dans les deux équations.

Exemple : avec $y=2x+1$ et $x+y=7$ , on remplace $y$ dans la seconde équation : $x+(2x+1)=7$ , donc $3x=6$ et $x=2$ . Puis $y=2\times2+1=5$ . La solution est $(2\,;\,5)$ .

La méthode par combinaison linéaire

On multiplie donc les équations $L_1$ et $L_2$ pour que les coefficients d’une inconnue deviennent opposés (on additionne) ou égaux (on soustrait) : cette inconnue disparaît.

\begin{cases}3x+2y=12&(L_1)\\5x-y=7&(L_2)\end{cases}

Les coefficients de $y$ sont $2$ et $-1$ : avec $L_1+2L_2$ , on obtient $3x+10x+2y-2y=12+14$ , soit $13x=26$ . On trouve $x=2$ , puis $L_2$ donne $10-y=7$ , soit $y=3$ . La solution est $(2\,;\,3)$ . Il faut toujours garder une équation de départ pour revenir à la seconde inconnue.

Lecture graphique et nombre de solutions

Si $a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls, l’équation $ax+by=c$ est celle d’une droite. Les solutions du système sont les coordonnées des points communs aux deux droites.

Les deux droites sont	Le système a
sécantes	une seule solution : le point d’intersection
strictement parallèles	aucune solution
confondues	une infinité de solutions

Une lecture graphique n’est qu’approchée : on vérifie toujours le couple lu en le remplaçant dans les deux équations. En calcul, trouver une égalité fausse comme $0=1$ signifie qu’il n’y a aucune solution ; trouver $0=0$ signifie que les deux équations décrivent la même droite.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Par substitution
Résous le système suivant.
$\begin{cases}4x+y=14\\3x-2y=5\end{cases}$
Solution
Dans la première équation, $y$ a pour coefficient $1$ : on l’isole, $y=14-4x$ .
On remplace dans la seconde : $3x-2(14-4x)=5$ , soit $3x-28+8x=5$ , donc $11x=33$ et $x=3$ .
Puis $y=14-4\times3=2$ . Vérification : $4\times3+2=14$ et $3\times3-2\times2=5$ .
La solution du système est le couple $(3\,;\,2)$ .
Exemple 2
Par combinaison linéaire
Résous le système suivant.
$\begin{cases}2x+3y=8&(L_1)\\5x-4y=-3&(L_2)\end{cases}$
Solution
Pour éliminer $x$ , on rend ses coefficients égaux : $5L_1$ donne $10x+15y=40$ et $2L_2$ donne $10x-8y=-6$ .
On soustrait : $15y-(-8y)=40-(-6)$ , soit $23y=46$ , donc $y=2$ .
Dans $L_1$ : $2x+6=8$ , donc $x=1$ . Vérification dans $L_2$ : $5\times1-4\times2=-3$ .
La solution du système est le couple $(1\,;\,2)$ .

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Vérifier une solution
Les couples $(4\,;\,-1)$ et $(0\,;\,1)$ sont-ils solutions du système suivant ?
$\begin{cases}x+2y=2\\3x-y=13\end{cases}$
Voir le corrigé
Pour $(4\,;\,-1)$ : $4+2\times(-1)=2$ et $3\times4-(-1)=13$ . Les deux équations sont vérifiées : c’est une solution.
Pour $(0\,;\,1)$ : $0+2\times1=2$ , mais $3\times0-1=-1\neq13$ . La seconde équation n’est pas vérifiée : ce n’est pas une solution.
Exercice 2
Résoudre par substitution
Résous le système suivant par substitution.
$\begin{cases}x-3y=1\\2x+5y=13\end{cases}$
Voir le corrigé
Dans la première équation, $x$ a pour coefficient $1$ : $x=1+3y$ .
On remplace dans la seconde : $2(1+3y)+5y=13$ , soit $2+11y=13$ , donc $y=1$ .
Puis $x=1+3\times1=4$ . Vérification : $2\times4+5\times1=13$ . La solution est $(4\,;\,1)$ .
Exercice 3
Résoudre par combinaison
Résous le système suivant par combinaison linéaire.
$\begin{cases}4x+3y=0&(L_1)\\2x-5y=13&(L_2)\end{cases}$
Voir le corrigé
$2L_2$ donne $4x-10y=26$ . On calcule $L_1-2L_2$ : $3y-(-10y)=0-26$ , soit $13y=-26$ , donc $y=-2$ .
Dans $L_1$ : $4x-6=0$ , donc $x=1{,}5$ .
Vérification dans $L_2$ : $2\times1{,}5-5\times(-2)=3+10=13$ . La solution est $(1{,}5\,;\,-2)$ .
Exercice 4
Combien de solutions ?
Sans chercher les solutions, dis combien chaque système en a. Justifie avec les droites.
1. $2x-y=3$ et $-4x+2y=1$
2. $x+3y=6$ et $2x+6y=12$
3. $x+y=4$ et $x-y=0$
Voir le corrigé
1. Les équations réduites sont $y=2x-3$ et $y=2x+0{,}5$ : même pente, ordonnées à l’origine différentes. Les droites sont strictement parallèles, le système n’a aucune solution.
2. La seconde équation est la première multipliée par $2$ : les deux droites sont confondues, le système a une infinité de solutions.
3. $ab'-a'b=1\times(-1)-1\times1=-2\neq0$ : les droites $y=-x+4$ et $y=x$ sont sécantes, il y a une seule solution. C’est $(2\,;\,2)$ .
Exercice 5
Places assises et places debout
Pour un concert, $3$ places assises et $2$ places debout coûtent $124$ €. Pour le même concert, $2$ places assises et $5$ places debout coûtent $156$ €. On note $a$ le prix d’une place assise et $d$ le prix d’une place debout, en euros.
1. Écris un système qui traduit l’énoncé.
2. Résous-le et conclus.
Voir le corrigé
1. Le système est formé de $3a+2d=124$ (équation $L_1$ ) et $2a+5d=156$ (équation $L_2$ ).
2. On élimine $a$ avec $2L_1-3L_2$ : $4d-15d=248-468$ , soit $-11d=-220$ , donc $d=20$ . Puis $L_1$ donne $3a+40=124$ , donc $a=28$ . Vérification : $2\times28+5\times20=56+100=156$ . Une place assise coûte $28$ € et une place debout $20$ €.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Les erreurs se cachent dans les signes et les parenthèses. Une vérification dans les deux équations de départ les attrape presque toutes.

Oublier les parenthèses en substituant
Avec $y=3x-2$ dans $5x-2y=4$ , on écrit $5x-2(3x-2)=4$ , soit $-x+4=4$ , donc $x=0$ et $y=-2$ . Sans parenthèses, le $-2$ ne serait pas multiplié.
Remplacer dans la même équation
Si l’on remplace $y$ dans l’équation qui a servi à l’isoler, on obtient une égalité toujours vraie, comme $2x+5=2x+5$ , qui ne donne rien. On remplace dans l’autre équation.
Ne multiplier qu’une partie de l’équation
Multiplier $x-2y=3$ par $-2$ donne $-2x+4y=-6$ : chaque terme, y compris le second membre, est multiplié.
Se tromper de signe en soustrayant
Dans $L_1-L_2$ avec $3y$ et $-2y$ , on obtient $3y-(-2y)=5y$ , et non $y$ . Écris la soustraction avec des parenthèses.
Croire à une erreur quand on trouve $0=1$
Pour $x+2y=3$ et $2x+4y=7$ , $L_2-2L_1$ donne $0=1$ : le calcul est juste, le système n’a simplement aucune solution (droites strictement parallèles).
Se contenter d’une lecture graphique
Deux droites semblent se couper en $(1\,;\,2)$ pour $x+3y=7$ et $5x-y=4$ ; pourtant $5\times1-2=3\neq4$ . Le calcul donne la solution exacte : $\left(\frac{19}{16}\,;\,\frac{31}{16}\right)$ .

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Trois séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, les systèmes se manipulent : tu remplaces un bloc sur une balance, tu répètes un achat pour comparer deux tickets de caisse, tu places le point commun à deux droites. Au niveau 2, tu tranches des débats « Qui a raison ? » et tu traques la ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu résous et tu mets en équations des problèmes concrets, avec Alphi, le coach IA, si tu bloques.

1Résoudre un système d’équations par substitution
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu remplaces le bloc $y$ d’une balance par $x+2$ , tu choisis l’inconnue qui s’isole sans fraction et tu règles le nombre de romans achetés pour payer $83$ € en tout.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu départages deux élèves qui isolent $x$ dans $x-3y=2$ , tu trouves la ligne fausse d’une copie et tu expliques pourquoi on ne remplace pas $y$ dans sa propre équation.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu résous des systèmes par substitution, y compris avec une solution décimale, et des problèmes de tirelire, de rectangle ou de billets.
2Résoudre un système d’équations par combinaison linéaire
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu choisis l’opération qui élimine $y$ , tu multiplies chaque terme d’une équation, tu répètes un achat pour comparer deux tickets et tu règles $k$ pour que $L_1+kL_2$ élimine $y$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la règle (coefficients opposés : on additionne ; égaux : on soustrait), tu raisonnes sur des pesées de cubes et de boules et tu départages deux élèves face à un calcul qui aboutit à $0=1$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu résous des systèmes par combinaison et des problèmes de prix au kilo, de pesées, de places de cinéma ou de poules et de lapins.
3Résoudre un système graphiquement
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places le point dont les coordonnées vérifient les deux équations, tu associes chaque équation à sa droite et tu règles un coefficient pour qu’il n’y ait aucune solution, ou une infinité.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes le lien entre la position des droites et le nombre de solutions, tu repères des coordonnées inversées et tu expliques qu’une lecture graphique n’est qu’approchée.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu lis la solution sur un graphique, tu comptes les solutions sans résoudre et tu calcules au bout de combien d’heures deux bougies ont la même hauteur.

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Questions fréquentes

Comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues ?

On utilise la substitution (on isole une inconnue dans une équation et on la remplace dans l’autre) ou la combinaison linéaire (on multiplie les équations pour éliminer une inconnue en les additionnant ou en les soustrayant). On termine toujours par une vérification dans les deux équations.

Quelle méthode choisir : substitution ou combinaison ?

La substitution est rapide quand une inconnue a pour coefficient $1$ ou $-1$ , car on l’isole sans fraction. Sinon, la combinaison linéaire évite les fractions. Les deux méthodes donnent la même solution.

Comment savoir si un système a une solution ?

Pour $ax+by=c$ et $a'x+b'y=c'$ , on calcule $ab'-a'b$ . S’il est différent de $0$ , les droites sont sécantes et le système a une seule solution. S’il est nul, les droites sont parallèles : aucune solution si elles sont strictement parallèles, une infinité si elles sont confondues.

Que veut dire trouver 0 = 1 en résolvant un système ?

Cela veut dire que le système n’a aucune solution : les deux équations représentent des droites strictement parallèles. Si l’on trouve $0=0$ , les équations décrivent la même droite et le système a une infinité de solutions.

Comment résoudre un système graphiquement ?

On trace la droite de chaque équation dans un même repère et on lit les coordonnées de leur point d’intersection. La lecture est approchée : on vérifie le couple trouvé dans les deux équations, ou on le calcule par substitution ou par combinaison.

Pour aller plus loin

Ce chapitre prolonge celui des équations de droites en Seconde : chaque équation du système y est une droite, et le critère $ab'-a'b$ vient de la colinéarité des vecteurs directeurs, donc du déterminant, qui reste au programme. Pour revoir la résolution d’une équation à une inconnue, relis la page équations en 3e. Les problèmes de tarifs rappellent les fonctions affines de 3e. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Systèmes d’équations en Seconde : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en Seconde

L’essentiel du cours

Ce qui est au programme de Seconde

Système et solution

La méthode par substitution

La méthode par combinaison linéaire

Lecture graphique et nombre de solutions

Deux exemples résolus

Par substitution

Par combinaison linéaire

Cinq exercices corrigés

Vérifier une solution

Résoudre par substitution

Résoudre par combinaison

Combien de solutions ?

Places assises et places debout

Les pièges à éviter

Oublier les parenthèses en substituant

Remplacer dans la même équation

Ne multiplier qu’une partie de l’équation

Se tromper de signe en soustrayant

Croire à une erreur quand on trouve $0=1$

Se contenter d’une lecture graphique

Ce chapitre dans Mathflow

1Résoudre un système d’équations par substitution

2Résoudre un système d’équations par combinaison linéaire

3Résoudre un système graphiquement

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Systèmes d’équations en Seconde : cours, exemples et exercices

Ce qui est au programme de Seconde

Système et solution

La méthode par substitution

La méthode par combinaison linéaire

Lecture graphique et nombre de solutions

Par substitution

Par combinaison linéaire

Vérifier une solution

Résoudre par substitution

Résoudre par combinaison

Combien de solutions ?

Places assises et places debout

Oublier les parenthèses en substituant

Remplacer dans la même équation

Ne multiplier qu’une partie de l’équation

Se tromper de signe en soustrayant

Croire à une erreur quand on trouve 0=10=10=1

Se contenter d’une lecture graphique

1Résoudre un système d’équations par substitution

2Résoudre un système d’équations par combinaison linéaire

3Résoudre un système graphiquement

Les maths, c’est une question de flow.

Croire à une erreur quand on trouve $0=1$