Fonctions affines en 3e : cours et exercices corrigés

Q: Quelle est la différence entre une fonction affine et une fonction linéaire ?

Une fonction affine s’écrit f(x)=ax+b. Une fonction linéaire est le cas particulier où b=0 : f(x)=ax. Sa droite passe par l’origine du repère et elle traduit une situation de proportionnalité.

Q: Comment trouver l’expression d’une fonction affine à partir de deux points ?

On calcule a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}, puis on trouve b en remplaçant x par x_1 dans f(x_1)=ax_1+b. On vérifie enfin avec le second point.

Q: Comment savoir si un point appartient à la droite d’une fonction affine ?

On calcule l’image de l’abscisse du point. Si elle est égale à son ordonnée, le point est sur la droite ; sinon, il n’y est pas, même s’il en paraît très proche.

Q: Comment lire le coefficient directeur sur un graphique ?

On part d’un point de la droite, on avance de 1 vers la droite et on regarde de combien il faut monter (ou descendre) pour retrouver la droite : c’est a. Si on avance de 3 et qu’on monte de 1, alors a=\dfrac{1}{3}.

Programme de 3e

Ce que tu dois savoir faire en 3e

Le chapitre des fonctions affines prolonge celui sur la notion de fonction : tu y retrouves l’image et l’antécédent, mais pour une famille précise de fonctions, celles qui s’écrivent $f(x)=ax+b$ . Leur point commun se voit tout de suite sur un graphique : elles sont représentées par des droites.

Les attendus de fin de 3e demandent de représenter une fonction linéaire ou affine, d’interpréter $a$ et $b$ à partir de l’allure de la droite et de trouver un antécédent en résolvant une équation du premier degré. C’est aussi un outil de modélisation : un tarif avec un abonnement, une bougie qui raccourcit, une conversion de températures.

Dans Mathflow, le chapitre est découpé en cinq compétences, chacune travaillée en trois niveaux.

Les 5 compétences du chapitre

Reconnaître et distinguer les fonctions affines, linéaires et constantes
Déterminer une image ou un antécédent par une fonction affine
Représenter graphiquement une fonction affine
Lire graphiquement les caractéristiques d’une fonction affine
Déterminer l’expression d’une fonction affine à partir de deux points

Cours

L’essentiel du cours

Les définitions, la droite et la méthode des deux points : tout ce qu’il faut avoir compris avant le contrôle.

Fonction affine, linéaire, constante

Si $b=0$ , $f(x)=ax$ : la fonction est linéaire. Elle traduit une situation de proportionnalité.
Si $a=0$ , $f(x)=b$ : la fonction est constante. Toutes les images sont égales.
Une fonction linéaire et une fonction constante sont donc des cas particuliers de fonctions affines.

Pour reconnaître une fonction affine, on réduit son expression. Par exemple $f(x)=\dfrac{6-3x}{2}$ s’écrit $f(x)=-1{,}5x+3$ : elle est affine avec $a=-1{,}5$ et $b=3$ . En revanche, $x^2+1$ et $\dfrac{2}{x}$ ne peuvent pas s’écrire $ax+b$ : ces fonctions ne sont pas affines.

Image et antécédent

L’image de $x_0$ par $f$ est le nombre $f(x_0)$ : on remplace $x$ par $x_0$ dans l’expression. Un antécédent de $y_0$ est un nombre $x$ tel que $f(x)=y_0$ : on le trouve en résolvant une équation.

f(x)=ax+b=y_0 \iff x=\dfrac{y_0-b}{a} \quad (a\neq0)

Quand $a\neq0$ , chaque nombre a exactement un antécédent. Pour une fonction constante $f(x)=b$ , le nombre $b$ a une infinité d’antécédents et les autres nombres n’en ont aucun.

La droite qui représente une fonction affine

Si $a>0$ , la droite monte ; si $a<0$ , elle descend ; si $a=0$ , elle est horizontale.
La droite d’une fonction linéaire passe par l’origine $O$ du repère.
Deux fonctions affines qui ont le même coefficient directeur sont représentées par des droites parallèles.

Pour tracer la droite, deux points suffisent : le point $(0\,;\,b)$ , puis un point obtenu en calculant une image. Un troisième point calculé permet de vérifier le tracé.

Trouver $f(x)=ax+b$ à partir de deux points

Les accroissements de $f$ sont proportionnels à ceux de $x$ . Si l’on connaît $f(x_1)$ et $f(x_2)$ , avec $x_1\neq x_2$ :

a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}

On obtient ensuite $b$ en remplaçant $x$ par $x_1$ dans $f(x_1)=ax_1+b$ . Pense à vérifier avec l’autre point.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Image et antécédent par $f(x)=-3x+4$
Calcule l’image de $2$ , puis l’antécédent de $10$ par la fonction $f$ définie par $f(x)=-3x+4$ .
Solution
Image de $2$ : $f(2)=-3\times2+4=-6+4=-2$ .
Antécédent de $10$ : on résout $-3x+4=10$ , donc $-3x=6$ , puis $x=\dfrac{6}{-3}=-2$ .
Vérification : $f(-2)=6+4=10$ . L’antécédent de $10$ est $-2$ .
Exemple 2
Retrouver $f$ avec $f(-2)=9$ et $f(4)=-3$
La fonction $f$ est affine, avec $f(-2)=9$ et $f(4)=-3$ . Détermine son expression.
Solution
$a=\dfrac{f(4)-f(-2)}{4-(-2)}=\dfrac{-3-9}{6}=\dfrac{-12}{6}=-2$
Puis $f(-2)=-2\times(-2)+b=4+b=9$ , donc $b=5$ .
Conclusion : $f(x)=-2x+5$ . Vérification : $f(4)=-8+5=-3$ .

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Classer des fonctions
Pour chaque fonction, dis si elle est affine. Si oui, donne $a$ et $b$ et précise si elle est linéaire ou constante.
- $f(x)=5x$
- $g(x)=4-x$
- $h(x)=x^2+1$
- $k(x)=-3$
- $m(x)=\dfrac{x+1}{2}$
Voir le corrigé
- $f$ : affine avec $a=5$ et $b=0$ , donc linéaire.
- $g(x)=-x+4$ : affine avec $a=-1$ et $b=4$ .
- $h$ contient $x^2$ : elle n’est pas affine.
- $k(x)=0\times x-3$ : affine avec $a=0$ et $b=-3$ , donc constante.
- $m(x)=0{,}5x+0{,}5$ : affine avec $a=0{,}5$ et $b=0{,}5$ .
Exercice 2
Image et antécédent par $f(x)=2{,}5x-4$
Soit $f(x)=2{,}5x-4$ .
1. Calcule l’image de $-2$ .
2. Détermine l’antécédent de $6$ .
Voir le corrigé
1. $f(-2)=2{,}5\times(-2)-4=-5-4=-9$ .
2. $2{,}5x-4=6$ donne $2{,}5x=10$ , donc $x=4$ . Vérification : $f(4)=10-4=6$ .
Exercice 3
Un point est-il sur la droite ?
La droite $d$ coupe l’axe des ordonnées en $3$ et descend de $2$ quand on avance de $1$ .
1. Donne l’expression de la fonction affine $f$ représentée par $d$ .
2. Le point $A(25\,;\,-46)$ est-il sur $d$ ?
Voir le corrigé
1. $b=3$ et $a=-2$ : $f(x)=-2x+3$ .
2. $f(25)=-50+3=-47$ . Comme $-47\neq-46$ , le point $A$ n’est pas sur $d$ , même s’il en semble très proche sur un dessin.
Exercice 4
Fonction affine à partir de deux images
La fonction affine $f$ vérifie $f(2)=1$ et $f(6)=7$ . Détermine $f(x)$ .
Voir le corrigé
$a=\dfrac{7-1}{6-2}=\dfrac{6}{4}=1{,}5$ .
$f(2)=1{,}5\times2+b=3+b=1$ , donc $b=-2$ .
Conclusion : $f(x)=1{,}5x-2$ . Vérification : $f(6)=9-2=7$ .
Exercice 5
Choisir le bon abonnement
Formule A : un abonnement de $30$ € par mois, puis $2$ € par trajet. Formule B : $5$ € par trajet, sans abonnement. On note $n$ le nombre de trajets dans le mois.
1. Exprime les prix $A(n)$ et $B(n)$ . Laquelle de ces fonctions est linéaire ?
2. Pour combien de trajets les deux formules coûtent-elles le même prix ?
3. À partir de combien de trajets la formule A est-elle moins chère ?
Voir le corrigé
1. $A(n)=2n+30$ et $B(n)=5n$ : $B$ est linéaire, $A$ est affine mais pas linéaire.
2. $2n+30=5n$ donne $30=3n$ , donc $n=10$ : $A(10)=B(10)=50$ €.
3. Pour $11$ trajets, $A(11)=52$ € et $B(11)=55$ € : à partir de $11$ trajets, la formule A est moins chère.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Ce sont les erreurs qui reviennent le plus dans les copies, et que les débats « Qui a raison ? » de l’app font repérer.

Confondre $a$ et $b$
Dans $f(x)=4-3x$ , le coefficient directeur est $a=-3$ : c’est le nombre qui multiplie $x$ , pas le premier nombre écrit.
Croire qu’une fonction linéaire n’est pas affine
$f(x)=ax$ est affine avec $b=0$ . De même, une fonction constante est affine avec $a=0$ .
Inverser le calcul de $a$
On divise la différence des images par la différence des nombres de départ, dans le même ordre : $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ .
Lire $b$ au mauvais endroit
$b=f(0)$ se lit sur l’axe des ordonnées, là où $x=0$ , et non au point d’abscisse $1$ .
Diviser trop tôt pour un antécédent
Pour $6x-9=15$ , on ajoute d’abord $9$ aux deux membres, puis on divise par $6$ : $x=4$ .
Se fier à l’œil
Un point qui « semble » sur la droite peut en être à un dixième près. Seul le calcul de l’image tranche.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Cinq séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Les fonctions affines se prêtent bien à la manipulation : dans les séries, tu règles $a$ et $b$ avec des curseurs, tu fais tourner une « machine » qui calcule une image, tu poses des points sur le quadrillage. Au niveau 2, tu tranches des débats entre deux élèves et tu cherches la ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu calcules et tu résous des problèmes de tarifs, de températures ou de réservoirs, avec Alphi, le coach IA, si tu bloques.

1Reconnaître et distinguer les fonctions affines, linéaires et constantes
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu ranges des expressions dans un diagramme, tu règles $a$ et $b$ pour retrouver $f(x)=3(x-2)$ et tu annules des tuiles $x$ et $-x$ pour faire apparaître une fonction constante.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu départages deux élèves : une fonction linéaire est-elle affine ? Tu expliques pourquoi $3x^2$ n’a rien à faire parmi les affines.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu réduis $\dfrac{6-3x}{2}$ ou $x^2-x(x+4)$ pour lire $a$ et $b$ , et tu classes des tarifs selon la famille de la fonction prix.
2Déterminer une image ou un antécédent par une fonction affine
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu construis la machine de $f$ pour obtenir une image, tu la remontes pour trouver un antécédent, tu équilibres une balance.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu trouves la première ligne fausse d’une copie et tu dis ce que représente l’antécédent de $0$ pour une bougie qui se consume.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules images et antécédents, y compris en fractions, et tu cherches la température où degrés Celsius et Fahrenheit coïncident.
3Représenter graphiquement une fonction affine
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places des points à partir d’un tableau de valeurs, puis tu traces la droite avec la marche « avancer de $1$ , monter de $a$ ».
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu repères qui est parti du mauvais point pour tracer la droite de $f(x)=2x+1$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu traces des droites dont les points tombent sur le quadrillage et tu prouves par le calcul qu’un point n’est pas sur la droite.
4Lire graphiquement les caractéristiques d’une fonction affine
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu poses le point qui donne l’ordonnée à l’origine, tu règles $a$ pour obtenir une droite parallèle, tu lis un tarif sur un graphique.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu expliques le sens de variation à partir du signe de $a$ et tu corriges une pente lue à l’envers.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu écris l’expression de $f$ à partir de sa droite et tu décides si un point hors du graphique est sur la droite prolongée.
5Déterminer l’expression d’une fonction affine à partir de deux points
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu fais glisser un point pour obtenir un coefficient directeur donné et tu retrouves la vitesse d’une bougie entre deux photos.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu juges un calcul de $a$ , puis l’erreur d’une élève qui a pris $f(1)$ pour l’ordonnée à l’origine.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu trouves $a$ et $b$ à partir de deux valeurs, y compris en fractions, et tu vérifies si trois points sont alignés.

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Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une fonction affine et une fonction linéaire ?

Une fonction affine s’écrit $f(x)=ax+b$ . Une fonction linéaire est le cas particulier où $b=0$ : $f(x)=ax$ . Sa droite passe par l’origine du repère et elle traduit une situation de proportionnalité.

Comment trouver l’expression d’une fonction affine à partir de deux points ?

On calcule $a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ , puis on trouve $b$ en remplaçant $x$ par $x_1$ dans $f(x_1)=ax_1+b$ . On vérifie enfin avec le second point.

Comment savoir si un point appartient à la droite d’une fonction affine ?

On calcule l’image de l’abscisse du point. Si elle est égale à son ordonnée, le point est sur la droite ; sinon, il n’y est pas, même s’il en paraît très proche.

Comment lire le coefficient directeur sur un graphique ?

On part d’un point de la droite, on avance de $1$ vers la droite et on regarde de combien il faut monter (ou descendre) pour retrouver la droite : c’est $a$ . Si on avance de $3$ et qu’on monte de $1$ , alors $a=\dfrac{1}{3}$ .

Pour aller plus loin

La résolution des équations du premier degré sert à chaque recherche d’antécédent : revois-la sur la page équations en 4e. Les fonctions affines reviennent au brevet, souvent dans un problème de tarifs : notre guide pour réviser le brevet de maths t’aide à t’organiser. En Première, elles préparent la tangente et le nombre dérivé. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Fonctions affines en 3e : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en 3e

L’essentiel du cours

Fonction affine, linéaire, constante

Image et antécédent

La droite qui représente une fonction affine

Trouver $f(x)=ax+b$ à partir de deux points

Pose ta droite sur la cible.

Deux exemples résolus

Image et antécédent par $f(x)=-3x+4$

Retrouver $f$ avec $f(-2)=9$ et $f(4)=-3$

Cinq exercices corrigés

Classer des fonctions

Image et antécédent par $f(x)=2{,}5x-4$

Un point est-il sur la droite ?

Fonction affine à partir de deux images

Choisir le bon abonnement

Les pièges à éviter

Confondre $a$ et $b$

Croire qu’une fonction linéaire n’est pas affine

Inverser le calcul de $a$

Lire $b$ au mauvais endroit

Diviser trop tôt pour un antécédent

Se fier à l’œil

Ce chapitre dans Mathflow

1Reconnaître et distinguer les fonctions affines, linéaires et constantes

2Déterminer une image ou un antécédent par une fonction affine

3Représenter graphiquement une fonction affine

4Lire graphiquement les caractéristiques d’une fonction affine

5Déterminer l’expression d’une fonction affine à partir de deux points

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Fonctions affines en 3e : cours, exemples et exercices

Fonction affine, linéaire, constante

Image et antécédent

La droite qui représente une fonction affine

Trouver f(x)=ax+bf(x)=ax+bf(x)=ax+b à partir de deux points

Image et antécédent par f(x)=−3x+4f(x)=-3x+4f(x)=−3x+4

Retrouver fff avec f(−2)=9f(-2)=9f(−2)=9 et f(4)=−3f(4)=-3f(4)=−3

Classer des fonctions

Image et antécédent par f(x)=2,5x−4f(x)=2{,}5x-4f(x)=2,5x−4

Un point est-il sur la droite ?

Fonction affine à partir de deux images

Choisir le bon abonnement

Confondre aaa et bbb

Croire qu’une fonction linéaire n’est pas affine

Inverser le calcul de aaa

Lire bbb au mauvais endroit

Diviser trop tôt pour un antécédent

Se fier à l’œil

1Reconnaître et distinguer les fonctions affines, linéaires et constantes

2Déterminer une image ou un antécédent par une fonction affine

3Représenter graphiquement une fonction affine

4Lire graphiquement les caractéristiques d’une fonction affine

5Déterminer l’expression d’une fonction affine à partir de deux points

Les maths, c’est une question de flow.

Trouver $f(x)=ax+b$ à partir de deux points

Image et antécédent par $f(x)=-3x+4$

Retrouver $f$ avec $f(-2)=9$ et $f(4)=-3$

Image et antécédent par $f(x)=2{,}5x-4$

Confondre $a$ et $b$

Inverser le calcul de $a$

Lire $b$ au mauvais endroit