Théorème de Thalès en 3e : cours et exercices

Q: Quand peut-on utiliser le théorème de Thalès ?

Quand deux droites sont sécantes en un point A et que deux autres droites, qui coupent les deux premières, sont parallèles. Il faut que ces informations soient données ou démontrées, pas seulement visibles sur le dessin.

Programme de 3e

Ce que tu dois savoir faire en 3e

Tu as rencontré le théorème de Thalès en 4e dans la configuration des triangles emboîtés. En 3e, les attendus de fin d’année ajoutent la configuration « papillon » et la réciproque, qui sert à démontrer que deux droites sont parallèles.

Le théorème relie la géométrie à la proportionnalité : dans les deux triangles de la figure, les longueurs sont proportionnelles. C’est l’outil des problèmes d’ombres, de rampes, de charpentes et d’agrandissements, très présents au brevet.

Dans Mathflow, le chapitre de 3e compte trois compétences, chacune en trois niveaux.

Les 3 compétences du chapitre

Appliquer le théorème de Thalès dans une configuration simple
Calculer une longueur à l’aide du théorème de Thalès
Justifier ou réfuter le parallélisme de deux droites

Cours

L’essentiel du cours

Les deux configurations, le théorème, le calcul d’une longueur, puis la réciproque et la contraposée.

Les deux configurations

On a deux droites $(BM)$ et $(CN)$ sécantes en $A$ , et deux droites $(MN)$ et $(BC)$ parallèles.

Triangles emboîtés : $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ , le petit triangle $AMN$ est à l’intérieur du grand triangle $ABC$ .
Papillon : $A$ est entre $M$ et $B$ , et entre $N$ et $C$ . Les deux triangles sont opposés par le sommet $A$ .

Dans les deux cas, chaque côté du triangle $AMN$ correspond à un côté du triangle $ABC$ : $[AM]$ avec $[AB]$ (même droite), $[AN]$ avec $[AC]$ (même droite), $[MN]$ avec $[BC]$ (côtés parallèles).

Le théorème de Thalès

\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}

Ce rapport commun $k$ est le coefficient qui transforme le triangle $ABC$ en triangle $AMN$ : si $k<1$ , c’est une réduction ; si $k>1$ , un agrandissement.

Calculer une longueur

Citer les hypothèses : les alignements et le parallélisme.
Écrire l’égalité des trois rapports, avec les longueurs du petit triangle en haut.
Garder les deux rapports qui contiennent la longueur cherchée et trois longueurs connues.
Conclure par un produit en croix.

Si $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$ avec $BC$ connu, alors :

MN=\dfrac{AM\times BC}{AB}

La réciproque et la contraposée

Si au contraire $\dfrac{AM}{AB}\neq\dfrac{AN}{AC}$ , les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles : c’est la contraposée du théorème.

Pour comparer deux rapports, on utilise des fractions ou les produits en croix, jamais des arrondis : $0{,}67$ n’est pas égal à $\dfrac{2}{3}$ .

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Triangles emboîtés
$M\in[AB]$ , $N\in[AC]$ et $(MN)\parallel(BC)$ , avec $AM=3$ cm, $AB=7{,}5$ cm, $AC=5$ cm et $BC=6$ cm. Calcule $MN$ et $AN$ .
Solution
Les droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en $A$ et $(MN)\parallel(BC)$ . D’après le théorème de Thalès :
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$
soit :
$\dfrac{3}{7{,}5}=\dfrac{AN}{5}=\dfrac{MN}{6}$
$MN=\dfrac{3\times6}{7{,}5}=2{,}4$ cm et $AN=\dfrac{3\times5}{7{,}5}=2$ cm.
Exemple 2
Configuration papillon
Les droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $A$ , avec $A$ entre $B$ et $M$ et entre $C$ et $N$ , et $(BC)\parallel(MN)$ . On sait que $AB=4$ cm, $AM=6$ cm et $BC=3{,}2$ cm. Calcule $MN$ .
Solution
D’après le théorème de Thalès : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ , soit $\dfrac{6}{4}=\dfrac{MN}{3{,}2}$ .
$MN=\dfrac{6\times3{,}2}{4}=4{,}8$ cm. Le rapport vaut $1{,}5$ : le triangle $AMN$ est un agrandissement du triangle $ABC$ .

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Écrire l’égalité de Thalès
Les points $R$ , $U$ , $S$ sont alignés, ainsi que $R$ , $V$ , $T$ , et $(UV)\parallel(ST)$ . Écris l’égalité des rapports.
Voir le corrigé
Le sommet commun est $R$ ; le petit triangle est $RUV$ et le grand $RST$ .
$\dfrac{RU}{RS}=\dfrac{RV}{RT}=\dfrac{UV}{ST}$
Exercice 2
Calculer deux longueurs
$M\in[AB]$ , $N\in[AC]$ et $(MN)\parallel(BC)$ , avec $AM=2{,}5$ cm, $AB=10$ cm et $AN=3$ cm. Calcule $AC$ , puis $NC$ .
Voir le corrigé
D’après le théorème de Thalès, $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ , soit $\dfrac{2{,}5}{10}=\dfrac{3}{AC}$ .
$AC=\dfrac{3\times10}{2{,}5}=12$ cm, puis $NC=AC-AN=12-3=9$ cm.
Exercice 3
Un papillon dans un trapèze
Dans le trapèze $ABDC$ , les diagonales $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $O$ , et $(AB)\parallel(CD)$ . On donne $OA=5$ cm, $OD=8$ cm et $AB=4$ cm. Calcule $CD$ .
Voir le corrigé
Les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont sécantes en $O$ et $(AB)\parallel(CD)$ : les triangles $OAB$ et $ODC$ forment un papillon.
$\dfrac{OD}{OA}=\dfrac{OC}{OB}=\dfrac{CD}{AB}$ , soit $\dfrac{8}{5}=\dfrac{CD}{4}$ .
$CD=\dfrac{8\times4}{5}=6{,}4$ cm.
Exercice 4
Parallèles ou pas ?
Dans chaque cas, $M\in[AB]$ et $N\in[AC]$ . Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
1. $AM=4{,}2$ cm, $AB=7$ cm, $AN=5{,}4$ cm, $AC=9$ cm.
2. $AM=3$ cm, $AB=8$ cm, $AN=4$ cm, $AC=10$ cm.
Voir le corrigé
1. $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{4{,}2}{7}=0{,}6$ et $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{5{,}4}{9}=0{,}6$ . Les points sont dans le même ordre et les rapports sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\parallel(BC)$ .
2. Produits en croix : $3\times10=30$ et $8\times4=32$ . Donc $\dfrac{3}{8}\neq\dfrac{4}{10}$ : d’après la contraposée du théorème de Thalès, $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
Exercice 5
La hauteur d’un arbre
Un bâton vertical de $1{,}2$ m est planté de sorte que son ombre se termine au même point $S$ que l’ombre d’un arbre. L’ombre du bâton mesure $1{,}5$ m et celle de l’arbre $10$ m. Le sol est horizontal et les rayons du soleil sont parallèles. Quelle est la hauteur de l’arbre ?
Voir le corrigé
On note $B$ le pied du bâton, $H$ son sommet, $P$ le pied de l’arbre et $T$ son sommet. $S$ , $B$ , $P$ sont alignés, $S$ , $H$ , $T$ aussi, et $(BH)\parallel(PT)$ car le bâton et l’arbre sont verticaux.
D’après le théorème de Thalès : $\dfrac{SB}{SP}=\dfrac{BH}{PT}$ , soit $\dfrac{1{,}5}{10}=\dfrac{1{,}2}{PT}$ .
$PT=\dfrac{1{,}2\times10}{1{,}5}=8$ . L’arbre mesure $8$ m.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Thalès demande de la rigueur sur les correspondances : la plupart des erreurs viennent d’un rapport mal formé.

Écrire $\frac{AM}{MB}$
Les rapports comparent des longueurs mesurées depuis le sommet commun $A$ : $\frac{AM}{AB}$ , et non $\frac{AM}{MB}$ .
Inverser un des rapports
Si tu écris le petit triangle en haut, fais-le dans les trois rapports : $\frac{MN}{BC}$ , pas $\frac{BC}{MN}$ .
Oublier le parallélisme
Sans droites parallèles, pas d’égalité de Thalès, même si la figure semble proportionnée.
Négliger l’ordre des points
Pour la réciproque, les points doivent être dans le même ordre sur les deux droites, sinon la conclusion ne tient pas.
Comparer des arrondis
Deux rapports « presque égaux » ne prouvent rien : compare des fractions ou des produits en croix.
Citer le mauvais énoncé
Théorème pour calculer une longueur, réciproque pour prouver un parallélisme, contraposée pour le réfuter.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Trois séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, la figure bouge sous tes doigts : tu fais glisser $M$ en gardant $(MN)$ parallèle à $(BC)$ et tu vois les trois rapports rester égaux, tu agrandis un triangle jusqu’à recouvrir l’autre. Au niveau 2, tu tranches des débats sur la bonne égalité. Au niveau 3, tu calcules et tu démontres dans des situations concrètes, avec Alphi en renfort.

1Appliquer le théorème de Thalès dans une configuration simple
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu déplaces $M$ et tu observes les trois rapports, tu places $A$ pour former un papillon et tu colories les côtés qui se correspondent.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes une rédaction, tu départages deux élèves sur le rapport $\frac{AM}{MB}$ et tu repères un rapport inversé.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu écris la bonne égalité dans des figures variées et tu trouves la configuration cachée dans un parallélogramme.
2Calculer une longueur à l’aide du théorème de Thalès
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu agrandis le triangle $AMN$ jusqu’à recouvrir $ABC$ , tu places $M$ pour obtenir une longueur donnée et tu retrouves la hauteur d’un arbre avec les ombres.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la méthode, tu juges deux calculs et tu choisis les écritures exactes d’un résultat.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des longueurs, exactes ou arrondies : largeur d’une rivière, poutre d’une charpente, périmètre d’un triangle agrandi.
3Justifier ou réfuter le parallélisme de deux droites
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu amènes deux barres au même niveau pour rendre $(MN)$ parallèle à $(BC)$ et tu compares des rapports par produits en croix.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes l’énoncé de la réciproque, tu rejettes des rapports « presque égaux » et tu vérifies l’ordre des points.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu décides si une étagère ou une poutre est parallèle au sol et tu remets une démonstration dans l’ordre.

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Questions fréquentes

Quand peut-on utiliser le théorème de Thalès ?

Quand deux droites sont sécantes en un point $A$ et que deux autres droites, qui coupent les deux premières, sont parallèles. Il faut que ces informations soient données ou démontrées, pas seulement visibles sur le dessin.

Comment calculer une longueur avec le théorème de Thalès ?

On écrit l’égalité des trois rapports, on garde les deux rapports qui contiennent la longueur cherchée et trois longueurs connues, puis on fait un produit en croix.

Comment démontrer que deux droites sont parallèles avec Thalès ?

On vérifie que les points sont alignés dans le même ordre, puis on calcule les deux rapports $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$ séparément. S’ils sont égaux, la réciproque du théorème de Thalès permet de conclure.

Quelle est la différence entre Thalès en 4e et en 3e ?

En 4e, on étudie surtout la configuration des triangles emboîtés. En 3e, on ajoute la configuration papillon et la réciproque, qui sert à démontrer un parallélisme.

Pour aller plus loin

Le théorème de Pythagore est l’autre outil de calcul de longueurs du collège : revois-le sur la page théorème de Pythagore en 4e. Thalès tombe souvent au brevet, dans des problèmes concrets : notre guide pour réviser le brevet de maths t’aide à planifier tes révisions. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Théorème de Thalès en 3e : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en 3e

L’essentiel du cours

Les deux configurations

Le théorème de Thalès

Calculer une longueur

La réciproque et la contraposée

Deux exemples résolus

Triangles emboîtés

Configuration papillon

Cinq exercices corrigés

Écrire l’égalité de Thalès

Calculer deux longueurs

Un papillon dans un trapèze

Parallèles ou pas ?

La hauteur d’un arbre

Les pièges à éviter

Écrire $\frac{AM}{MB}$

Inverser un des rapports

Oublier le parallélisme

Négliger l’ordre des points

Comparer des arrondis

Citer le mauvais énoncé

Ce chapitre dans Mathflow

1Appliquer le théorème de Thalès dans une configuration simple

2Calculer une longueur à l’aide du théorème de Thalès

3Justifier ou réfuter le parallélisme de deux droites

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Théorème de Thalès en 3e : cours, exemples et exercices

Les deux configurations

Le théorème de Thalès

Calculer une longueur

La réciproque et la contraposée

Triangles emboîtés

Configuration papillon

Écrire l’égalité de Thalès

Calculer deux longueurs

Un papillon dans un trapèze

Parallèles ou pas ?

La hauteur d’un arbre

Écrire AMMB\frac{AM}{MB}MBAM​

Inverser un des rapports

Oublier le parallélisme

Négliger l’ordre des points

Comparer des arrondis

Citer le mauvais énoncé

1Appliquer le théorème de Thalès dans une configuration simple

2Calculer une longueur à l’aide du théorème de Thalès

3Justifier ou réfuter le parallélisme de deux droites

Les maths, c’est une question de flow.

Écrire $\frac{AM}{MB}$