Calcul littéral en 3e : cours et exercices corrigés

Q: Quelles sont les identités remarquables à connaître en 3e ?

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 et (a+b)(a-b)=a^2-b^2. La troisième est celle que les attendus de fin de 3e citent explicitement ; les deux premières se retrouvent par double distributivité.

Q: Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer, c’est transformer un produit en somme : 3(x+2)=3x+6. Factoriser, c’est l’inverse : transformer une somme en produit, par exemple x^2-16=(x-4)(x+4).

Q: Comment savoir quelle identité utiliser pour factoriser ?

Avec deux termes, deux carrés séparés par un moins, c’est a^2-b^2=(a-b)(a+b). Avec trois termes dont deux carrés, c’est (a+b)^2 si le double produit est précédé de +, et (a-b)^2 s’il est précédé de -.

Q: Comment démontrer une propriété avec le calcul littéral ?

On désigne les nombres par des lettres (un entier n, son suivant n+1, un nombre impair 2n+1), on transforme l’expression, puis on conclut. Par exemple n+(n+1)=2n+1 : la somme de deux entiers consécutifs est toujours impaire.

Q: Comment vérifier un développement ?

On remplace x par une valeur simple, comme 1 ou 2, dans les deux formes. Si les résultats diffèrent, il y a une erreur. S’ils sont égaux, ce n’est pas une preuve, mais c’est un bon indice.

Programme de 3e

Ce que tu dois savoir faire en 3e

Le calcul littéral de 3e prolonge le travail de 5e et de 4e : tu sais déjà réduire une expression et utiliser la distributivité. En 3e, tu choisis la forme utile selon le but : une forme développée pour réduire ou comparer, une forme factorisée pour résoudre une équation produit ou simplifier.

Les attendus de fin de 3e demandent de développer par simple et double distributivité, de factoriser et réduire des expressions simples, de factoriser une expression du type $a^2-b^2$ et de développer $(a+b)(a-b)$ . Le calcul littéral sert aussi à démontrer : prouver qu’une somme d’entiers est toujours un multiple de $3$ , ou qu’un programme de calcul donne toujours le même résultat.

Dans Mathflow, le chapitre compte cinq compétences, chacune en trois niveaux. Les identités $(a+b)^2$ et $(a-b)^2$ y sont travaillées comme des raccourcis de la double distributivité.

Les 5 compétences du chapitre

Connaître les formules des identités remarquables
Savoir utiliser les formules pour développer
Savoir utiliser les formules pour factoriser
Mettre un problème en expression littérale et calculer
Utiliser le calcul littéral pour démontrer

Cours

L’essentiel du cours

Développer, factoriser, reconnaître une identité remarquable et démontrer : les quatre gestes du chapitre.

Développer et factoriser

Pour tous nombres $k$ , $a$ , $b$ , $c$ et $d$ :

\begin{aligned}k(a+b)&=ka+kb\\(a+b)(c+d)&=ac+ad+bc+bd\end{aligned}

Par exemple $(2x-3)(5x+7)=10x^2+14x-15x-21=10x^2-x-21$ . Dans l’autre sens, $12x^2-15x=3x(4x-5)$ : on a mis en facteur $3x$ , commun aux deux termes.

Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme : $-(3x-7)=-3x+7$ .

Les trois identités remarquables

\begin{aligned}(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\(a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\\(a+b)(a-b)&=a^2-b^2\end{aligned}

Les attendus de fin de 3e citent explicitement la troisième. Les deux premières se retrouvent toujours par double distributivité : $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2$ . Le terme $2ab$ s’appelle le double produit.

Expression	$a$	$b$	Forme développée
${(x+5)^2}$	$x$	$5$	${x^2+10x+25}$
${(3x-2)^2}$	$3x$	$2$	${9x^2-12x+4}$
${(2x+7)(2x-7)}$	$2x$	$7$	${4x^2-49}$

Factoriser avec une identité

Deux termes, deux carrés séparés par un moins : c’est $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . Par exemple $x^2-64=(x-8)(x+8)$ et $4x^2-49=(2x-7)(2x+7)$ .
Trois termes, dont deux carrés : on cherche $a$ et $b$ , puis on vérifie que le troisième terme est bien le double produit $2ab$ . $x^2+6x+9=(x+3)^2$ car $2\times x\times3=6x$ ; $9x^2-12x+4=(3x-2)^2$ car $2\times3x\times2=12x$ .
Avant tout, on regarde s’il y a un facteur commun : c’est souvent la factorisation la plus simple.

Calculer, tester, démontrer

Pour calculer une expression, on remplace la lettre par sa valeur en mettant les nombres négatifs entre parenthèses. Pour $x=-2$ : $2x^2-3x+1=2\times(-2)^2-3\times(-2)+1=8+6+1=15$ .

Tester des valeurs permet de faire une conjecture. Un seul contre-exemple suffit pour prouver qu’une affirmation est fausse, mais aucun nombre d’essais ne prouve qu’elle est toujours vraie : pour cela, on calcule avec des lettres.

Un entier quelconque : $n$ ; l’entier suivant : $n+1$ ; le précédent : $n-1$ .
Un entier pair : $2n$ ; un entier impair : $2n+1$ .
Un multiple de $3$ : $3k$ , avec $k$ entier.

Par exemple, la somme de trois entiers consécutifs vaut $n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)$ : c’est toujours un multiple de $3$ .

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Développer et réduire ${E=(2x+3)^2-(x+4)(x-4)}$
Développe et réduis l’expression $E=(2x+3)^2-(x+4)(x-4)$ .
Solution
Première identité avec $a=2x$ et $b=3$ : $(2x+3)^2=4x^2+12x+9$ .
Troisième identité avec $a=x$ et $b=4$ : $(x+4)(x-4)=x^2-16$ .
On garde des parenthèses, car le signe moins porte sur tout le produit :
$\begin{aligned}E&=4x^2+12x+9-(x^2-16)\\&=4x^2+12x+9-x^2+16\\&=3x^2+12x+25\end{aligned}$
Exemple 2
Factoriser ${F=(2x-1)^2-25}$
Factorise l’expression $F=(2x-1)^2-25$ , puis vérifie en développant.
Solution
$F$ est une différence de deux carrés : $a^2-b^2$ avec $a=2x-1$ et $b=5$ .
$\begin{aligned}F&=(2x-1-5)(2x-1+5)\\&=(2x-6)(2x+4)\end{aligned}$
On peut encore sortir le facteur $2$ de chaque parenthèse : $F=4(x-3)(x+2)$ .
Vérification : $(2x-1)^2-25=4x^2-4x+1-25=4x^2-4x-24$ , et $(2x-6)(2x+4)=4x^2+8x-12x-24=4x^2-4x-24$ . Les deux formes sont égales.

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Développer avec la distributivité
Développe et réduis.
1. $A=(x+5)(x-2)$
2. $B=(3x-1)(2x+4)$
3. $C=-2x(5-3x)$
Voir le corrigé
1. $A=x^2-2x+5x-10=x^2+3x-10$ .
2. $B=6x^2+12x-2x-4=6x^2+10x-4$ .
3. $C=-2x\times5-2x\times(-3x)=-10x+6x^2$ , soit $C=6x^2-10x$ .
Exercice 2
Développer avec les identités remarquables
Développe et réduis.
1. $D=(x+6)^2$
2. $E=(4x-3)^2$
3. $F=(5x+2)(5x-2)$
Voir le corrigé
1. $D=x^2+2\times x\times6+6^2$ , soit $D=x^2+12x+36$ .
2. $E=(4x)^2-2\times4x\times3+3^2$ , soit $E=16x^2-24x+9$ .
3. $F=(5x)^2-2^2=25x^2-4$ .
Exercice 3
Factoriser
Factorise.
1. $G=25x^2-9$
2. $H=x^2-10x+25$
3. $K=7x^2+21x$
4. $L=(x+3)(2x-1)-(x+3)(x+4)$
Voir le corrigé
1. $25x^2=(5x)^2$ et $9=3^2$ : $G=(5x-3)(5x+3)$ .
2. $x^2$ et $25=5^2$ sont des carrés, et $2\times x\times5=10x$ : $H=(x-5)^2$ .
3. Le facteur commun est $7x$ : $K=7x(x+3)$ .
4. Le facteur commun est $(x+3)$ : $L=(x+3)\big[(2x-1)-(x+4)\big]$ , soit $L=(x+3)(x-5)$ .
Pour $L$ , attention au signe moins : $(2x-1)-(x+4)=2x-1-x-4=x-5$ .
Exercice 4
Calcul mental avec une identité
Calcule sans calculatrice, en utilisant une identité remarquable.
1. $101^2$
2. $49^2$
3. $52\times48$
4. $76^2-24^2$
Voir le corrigé
1. $101^2=(100+1)^2$ , soit $10\,000+200+1=10\,201$ .
2. $49^2=(50-1)^2$ , soit $2\,500-100+1=2\,401$ .
3. $52\times48=(50+2)(50-2)$ , soit $2\,500-4=2\,496$ .
4. $76^2-24^2=(76-24)(76+24)$ , soit $52\times100=5\,200$ .
Exercice 5
Un programme de calcul à démontrer
On considère le programme : choisir un nombre ; lui ajouter $4$ ; multiplier le résultat par le nombre de départ ; ajouter $4$ .
1. Applique le programme à $3$ , puis à $-5$ .
2. Quelle conjecture peux-tu faire ?
3. Démontre-la en notant $x$ le nombre de départ.
4. Quels nombres de départ donnent $49$ ?
Voir le corrigé
1. Avec $3$ : $(3+4)\times3+4=25$ . Avec $-5$ : $(-5+4)\times(-5)+4=5+4=9$ .
2. On obtient $25=5^2$ et $9=3^2$ : le résultat semble être le carré du nombre de départ augmenté de $2$ .
3. Le programme donne $(x+4)\times x+4=x^2+4x+4$ . On reconnaît $(x+2)^2$ , car $2\times x\times2=4x$ . La conjecture est démontrée pour tout nombre $x$ .
4. On cherche $x$ tel que $(x+2)^2=49$ , donc $x+2=7$ ou $x+2=-7$ : les nombres de départ sont $5$ et $-9$ .

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Presque toutes ces erreurs viennent d’un carré mal développé ou d’un signe oublié.

Écrire $(a+b)^2=a^2+b^2$
Le double produit ne disparaît pas : $(x+3)^2=x^2+6x+9$ . Pour $x=1$ , $(1+3)^2=16$ alors que $1^2+3^2=10$ .
Oublier d’élever le coefficient au carré
$(2x+3)^2$ commence par $(2x)^2=4x^2$ , et non par $2x^2$ .
Perdre un signe après un moins
Devant une parenthèse, le moins change le signe de chaque terme : $-(x^2-16)=-x^2+16$ .
Factoriser ${4x^2-25}$ en ${(4x-25)(4x+25)}$
On écrit d’abord chaque terme comme un carré : $4x^2=(2x)^2$ et $25=5^2$ , donc $4x^2-25=(2x-5)(2x+5)$ .
Factoriser une somme de carrés
$x^2+9$ n’est pas $(x+3)(x-3)$ : ce produit vaut $x^2-9$ .
Conclure à partir de quelques essais
Trois exemples qui marchent ne démontrent rien. Pour prouver une propriété, on calcule avec une lettre ; pour la réfuter, un seul contre-exemple suffit.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Cinq séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Les identités remarquables se voient avec des aires : dans les séries, tu découpes et tu recolles des carrés et des rectangles, tu comptes des tuiles $x^2$ , $x$ et $1$ , tu règles des curseurs jusqu’à ce que deux expressions coïncident. Au niveau 2, tu tranches des débats et tu cherches la première ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu développes, tu factorises, tu calcules de tête et tu démontres, avec Alphi, le coach IA, si tu bloques.

1Connaître les formules des identités remarquables
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu complètes le carré de côté $x+2$ avec des tuiles, tu touches les trois termes de l’aire d’un carré de côté $x-3$ et tu recolles une pièce pour voir que $x^2-9$ est l’aire d’un rectangle.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes chaque identité et sa justification par les aires, tu départages deux élèves et tu trouves la première ligne fausse quand Jade développe $(3x-2)^2$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules $49\times51$ ou $99^2$ de tête, tu trouves $k$ pour que $9x^2+kx+4=(3x+2)^2$ et tu calcules l’aire gagnée par un jardin agrandi.
2Savoir utiliser les formules pour développer
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu relies les termes pour obtenir tous les produits de $(x+6)^2$ , tu comptes les tuiles d’un carré de côté $2x+3$ et tu règles $b$ et $c$ pour que $x^2+bx+c$ soit égal à $(x-4)^2$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu expliques l’erreur de Sami, qui écrit $(2x+3)^2=4x^2+9$ , et tu choisis la bonne première étape pour développer $3(x-2)^2$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu développes et réduis $(2x+1)^2-(x+3)(x-3)$ , tu calcules $98\times102$ sans calculatrice et l’aire d’une allée autour d’une piscine.
3Savoir utiliser les formules pour factoriser
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu ranges les pièces de $x^2+6x+9$ en un seul carré, tu lis les côtés d’un rectangle d’aire $9x^2-25$ et tu touches les factorisations correctes.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu repères l’erreur de Yanis, qui écrit $4x^2-25=(4x-25)(4x+25)$ , et la première ligne fausse d’une factorisation.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu factorises pour calculer $51^2-49^2$ de tête et pour résoudre $9x^2-4=0$ ou $(x-2)^2-25=0$ .
4Mettre un problème en expression littérale et calculer
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu calcules une expression en respectant les priorités, tu compares $-x^2$ et $(-x)^2$ avec un curseur et tu cherches la valeur de $x$ qui rend deux expressions égales.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu expliques pourquoi on met des parenthèses autour d’un nombre négatif et tu repères l’erreur de qui écrit $3x+1=34+1$ pour $x=4$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules $2x^2-3x+1$ pour $x=-2$ , l’aire d’un trapèze ou une énergie cinétique, et tu trouves des contre-exemples à une affirmation.
5Utiliser le calcul littéral pour démontrer
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu testes un programme de calcul sur plusieurs nombres, tu montres que $n^2+n+17$ n’est pas toujours premier et tu règles trois entiers consécutifs dont la somme vaut $87$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu remets dans l’ordre la démonstration que la somme de deux entiers consécutifs est impaire et tu départages deux élèves sur la somme de trois entiers consécutifs.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu démontres qu’une expression ne dépend pas de $x$ , tu étudies $(n+1)^2-(n-1)^2$ et la somme des carrés de deux entiers consécutifs.

Commencer gratuitement

Questions fréquentes

Quelles sont les identités remarquables à connaître en 3e ?

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ . La troisième est celle que les attendus de fin de 3e citent explicitement ; les deux premières se retrouvent par double distributivité.

Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer, c’est transformer un produit en somme : $3(x+2)=3x+6$ . Factoriser, c’est l’inverse : transformer une somme en produit, par exemple $x^2-16=(x-4)(x+4)$ .

Comment savoir quelle identité utiliser pour factoriser ?

Avec deux termes, deux carrés séparés par un moins, c’est $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . Avec trois termes dont deux carrés, c’est $(a+b)^2$ si le double produit est précédé de $+$ , et $(a-b)^2$ s’il est précédé de $-$ .

Comment démontrer une propriété avec le calcul littéral ?

On désigne les nombres par des lettres (un entier $n$ , son suivant $n+1$ , un nombre impair $2n+1$ ), on transforme l’expression, puis on conclut. Par exemple $n+(n+1)=2n+1$ : la somme de deux entiers consécutifs est toujours impaire.

Comment vérifier un développement ?

On remplace $x$ par une valeur simple, comme $1$ ou $2$ , dans les deux formes. Si les résultats diffèrent, il y a une erreur. S’ils sont égaux, ce n’est pas une preuve, mais c’est un bon indice.

Pour aller plus loin

Les bases (réduire, distributivité simple) sont sur la page calcul littéral en 5e. La factorisation sert surtout à résoudre des équations produits : la page équations en 3e en donne la méthode, après les équations en 4e. Développer et factoriser reviennent dans presque tous les sujets : notre guide pour réviser le brevet de maths t’aide à t’organiser. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Calcul littéral en 3e : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en 3e

L’essentiel du cours

Développer et factoriser

Les trois identités remarquables

Factoriser avec une identité

Calculer, tester, démontrer

Deux exemples résolus

Développer et réduire ${E=(2x+3)^2-(x+4)(x-4)}$

Factoriser ${F=(2x-1)^2-25}$

Cinq exercices corrigés

Développer avec la distributivité

Développer avec les identités remarquables

Factoriser

Calcul mental avec une identité

Un programme de calcul à démontrer

Les pièges à éviter

Écrire $(a+b)^2=a^2+b^2$

Oublier d’élever le coefficient au carré

Perdre un signe après un moins

Factoriser ${4x^2-25}$ en ${(4x-25)(4x+25)}$

Factoriser une somme de carrés

Conclure à partir de quelques essais

Ce chapitre dans Mathflow

1Connaître les formules des identités remarquables

2Savoir utiliser les formules pour développer

3Savoir utiliser les formules pour factoriser

4Mettre un problème en expression littérale et calculer

5Utiliser le calcul littéral pour démontrer

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Calcul littéral en 3e : cours, exemples et exercices

Développer et factoriser

Les trois identités remarquables

Factoriser avec une identité

Calculer, tester, démontrer

Développer et réduire E=(2x+3)2−(x+4)(x−4){E=(2x+3)^2-(x+4)(x-4)}E=(2x+3)2−(x+4)(x−4)

Factoriser F=(2x−1)2−25{F=(2x-1)^2-25}F=(2x−1)2−25

Développer avec la distributivité

Développer avec les identités remarquables

Factoriser

Calcul mental avec une identité

Un programme de calcul à démontrer

Écrire (a+b)2=a2+b2(a+b)^2=a^2+b^2(a+b)2=a2+b2

Oublier d’élever le coefficient au carré

Perdre un signe après un moins

Factoriser 4x2−25{4x^2-25}4x2−25 en (4x−25)(4x+25){(4x-25)(4x+25)}(4x−25)(4x+25)

Factoriser une somme de carrés

Conclure à partir de quelques essais

1Connaître les formules des identités remarquables

2Savoir utiliser les formules pour développer

3Savoir utiliser les formules pour factoriser

4Mettre un problème en expression littérale et calculer

5Utiliser le calcul littéral pour démontrer

Les maths, c’est une question de flow.

Développer et réduire ${E=(2x+3)^2-(x+4)(x-4)}$

Factoriser ${F=(2x-1)^2-25}$

Écrire $(a+b)^2=a^2+b^2$

Factoriser ${4x^2-25}$ en ${(4x-25)(4x+25)}$