Maths · 4e · Calcul littéral

Équations du premier degré en 4e : cours, exemples et exercices

Q: Comment résoudre une équation du premier degré en 4e ?

On regroupe les termes en x dans un membre et les nombres dans l’autre, en faisant chaque fois la même opération sur les deux membres. On arrive à ax=b, puis on divise par a : x=\dfrac{b}{a}. On termine par une vérification.

Q: Comment vérifier la solution d’une équation ?

On remplace x par la valeur trouvée dans l’équation de départ et on calcule séparément chaque membre. Si les deux résultats sont égaux, la solution est juste.

Q: Une équation du premier degré a-t-elle toujours une solution ?

Si l’on arrive à ax=b avec a\neq0, il y a une seule solution, \dfrac{b}{a}. Si les x disparaissent, on obtient soit une égalité fausse comme 0=3 (aucune solution), soit une égalité toujours vraie comme 0=0 (tous les nombres sont solutions).

Résoudre une équation en 4e, c’est garder l’équilibre : faire la même opération sur les deux membres jusqu’à isoler $x$ . Voici la méthode, deux exemples résolus et cinq exercices corrigés.

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La balance traduit

3x+2=x+10

. En retirant une boîte

x

de chaque plateau, l’équilibre reste :

2x+2=10

, puis

x=4

Programme de 4e

Ce que tu dois savoir faire en 4e

Le chapitre des équations marque un vrai tournant du collège : la lettre ne sert plus seulement à écrire une formule, elle désigne un nombre inconnu que l’on va chercher. Les attendus de fin de 4e demandent d’introduire une lettre pour désigner une valeur inconnue, de mettre un problème en équation, de tester si un nombre est solution et de résoudre algébriquement une équation du premier degré.

En 3e, tu réutiliseras tout cela pour les équations produits, les inéquations et la recherche d’antécédents par une fonction affine. Mieux vaut donc avoir des gestes sûrs dès maintenant.

Dans Mathflow, le chapitre compte quatre compétences, chacune en trois niveaux.

Les 4 compétences du chapitre

Savoir désigner des nombres avec des lettres
Tester des égalités et des inégalités
Résoudre une équation simple
Traduire un problème en écriture littérale

Cours

L’essentiel du cours

Du sens de la lettre à la rédaction d’un problème : les règles et la méthode, dans l’ordre où tu en as besoin.

Des lettres pour désigner des nombres

Une expression littérale contient des lettres qui désignent des nombres. On simplifie l’écriture : $3x$ signifie $3\times x$ et $x^2$ signifie $x\times x$ . Le périmètre d’un carré de côté $c$ vaut $4c$ , son aire $c^2$ .

Pour calculer une expression, on remplace la lettre par sa valeur, en ajoutant des parenthèses autour des nombres négatifs. Pour $x=-3$ :

2x^2-x=2\times(-3)^2-(-3)=18+3=21

Égalité, équation, solution

Tester $x=3$ dans $4x-5=x+4$ : à gauche, $4\times3-5=7$ ; à droite, $3+4=7$ . Les deux membres sont égaux, donc $3$ est solution.

On teste aussi une inégalité : $2x+5\le13$ est vraie pour $x=4$ (car $13\le13$ ) mais fausse pour $x=5$ (car $15>13$ ). Un seul contre-exemple suffit à montrer qu’une égalité n’est pas toujours vraie.

Résoudre une équation du premier degré

Développer si besoin : $3(x-2)$ devient $3x-6$ .
Regrouper les termes en $x$ dans un membre et les nombres dans l’autre.
Diviser par le coefficient de $x$ .
Vérifier en remplaçant $x$ par la valeur trouvée.

\begin{aligned}3(x-2)=x+8 &\iff 3x-6=x+8\\&\iff 2x=14\\&\iff x=7\end{aligned}

Si l’on arrive à $ax=b$ avec $a\neq0$ , la solution est $x=\dfrac{b}{a}$ . Elle peut être négative, décimale ou fractionnaire : $3x=7$ a pour solution $\dfrac{7}{3}$ .

Mettre un problème en équation

Choisir l’inconnue et l’écrire en toutes lettres : « soit $x$ le prix d’une place, en euros ».
Traduire l’énoncé par une égalité entre deux expressions de la même grandeur.
Résoudre l’équation, puis vérifier avec les données de l’énoncé.
Conclure par une phrase qui répond à la question, avec l’unité.

À toi de jouer

Trouve le poids d’une boule.

L’activité de l’accueil, tirée de ce chapitre : la balance affiche le total, à toi de régler le poids d’une boule. C’est une équation du premier degré, résolue sans l’écrire.

f(x) = 2x - 1

cible

y = 0{,}5x + 1

a0,5b1

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Résoudre $5x-7=2x+8$
Résous l’équation $5x-7=2x+8$ , puis vérifie ta solution.
Solution
On retire $2x$ aux deux membres : $3x-7=8$ .
On ajoute $7$ aux deux membres : $3x=15$ .
On divise par $3$ : $x=5$ .
Vérification : $5\times5-7=18$ et $2\times5+8=18$ . La solution est $5$ .
Exemple 2
Un problème de cinéma
Une carte de cinéma coûte $15$ €, puis chaque séance coûte $4$ €. Lina a dépensé $51$ € en tout. Combien de séances a-t-elle vues ?
Solution
Soit $x$ le nombre de séances. La dépense s’écrit $4x+15$ , d’où l’équation $4x+15=51$ .
$4x=36$ , donc $x=9$ .
Vérification : $4\times9+15=51$ . Lina a vu $9$ séances.

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Tester des valeurs
Les nombres $-2$ et $1$ sont-ils solutions de l’équation $3x+7=x+3$ ?
Voir le corrigé
Pour $x=-2$ : $3\times(-2)+7=1$ et $-2+3=1$ . Les membres sont égaux : $-2$ est solution.
Pour $x=1$ : $3\times1+7=10$ et $1+3=4$ . Comme $10\neq4$ , $1$ n’est pas solution.
Exercice 2
Résoudre $4x+9=1$
Résous l’équation $4x+9=1$ .
Voir le corrigé
$4x=1-9=-8$ , donc $x=\dfrac{-8}{4}=-2$ .
Vérification : $4\times(-2)+9=1$ . La solution est $-2$ .
Exercice 3
Des $x$ dans les deux membres
Résous l’équation $7-2x=3x-8$ .
Voir le corrigé
On ajoute $2x$ aux deux membres : $7=5x-8$ .
On ajoute $8$ : $15=5x$ , donc $x=3$ .
Vérification : $7-6=1$ et $9-8=1$ . La solution est $3$ .
Exercice 4
Une solution non entière
Résous l’équation $6x-5=2x+4$ . Donne la solution sous forme de fraction, puis en écriture décimale.
Voir le corrigé
$6x-2x=4+5$ , donc $4x=9$ et $x=\dfrac{9}{4}=2{,}25$ .
Vérification : $6\times2{,}25-5=8{,}5$ et $2\times2{,}25+4=8{,}5$ .
Exercice 5
Les dimensions d’un rectangle
Un rectangle a un périmètre de $54$ cm. Sa longueur mesure $7$ cm de plus que sa largeur. Quelles sont ses dimensions ?
Voir le corrigé
Soit $x$ la largeur, en centimètres. La longueur vaut $x+7$ et le périmètre $2(x+x+7)=4x+14$ .
$4x+14=54$ donne $4x=40$ , donc $x=10$ .
La largeur mesure $10$ cm et la longueur $17$ cm. Vérification : $2\times(10+17)=54$ .

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Des erreurs de gestes plus que de compréhension : on les repère vite quand on vérifie sa solution.

Soustraire au lieu de diviser
De $3x=7$ , on ne passe pas à $x=7-3$ : $3x$ signifie $3\times x$ , on divise donc par $3$ et $x=\dfrac{7}{3}$ .
Se tromper de signe en divisant
$-2x=6$ donne $x=\dfrac{6}{-2}=-3$ , et non $3$ .
N’agir que sur un membre
Chaque opération se fait sur les deux membres, sinon l’égalité n’est plus vraie.
Oublier une partie du développement
$2(x+7)$ vaut $2x+14$ , pas $2x+7$ : le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse.
Conclure trop vite après des essais
Tester $1$ , $2$ , $3$ sans succès ne prouve pas qu’il n’y a pas de solution : seule la résolution le dit.
Répondre « $x=10$ » à un problème
La réponse est une phrase avec l’unité : « la largeur mesure $10$ cm ».

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Quatre séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

La balance est le fil rouge du chapitre : tu retires la même chose des deux plateaux, tu prends la moitié de chaque côté, et tu vois l’équilibre se maintenir. Au niveau 2, tu justifies chaque étape et tu cherches l’erreur dans la copie d’un autre élève. Au niveau 3, tu résous toi-même les équations et les problèmes, avec Alphi pour un indice si tu bloques.

1Savoir désigner des nombres avec des lettres
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu écris le nombre de billes de trois sacs de $n$ billes et de $4$ billes seules, tu places $n+3$ et $n-2$ sur une droite graduée.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu expliques le sens de $5x$ , tu trouves la ligne fausse d’un calcul de $x^2-3x$ pour $x=-2$ et l’erreur de qui écrit $5x$ au lieu de $x+5$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des expressions avec des nombres négatifs et tu écris la somme de trois entiers consécutifs.
2Tester des égalités et des inégalités
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu remplaces $x$ par une valeur et tu compares les deux membres, tu règles $x$ pour rendre une égalité vraie.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu expliques pourquoi des essais ratés ne prouvent rien et tu cherches un contre-exemple.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu testes des solutions, tu choisis le nombre de séances pour qu’un club soit moins cher et tu vérifies la charge d’un ascenseur.
3Résoudre une équation simple
- Niveau 1 · Manipuler
  Sur une balance, tu fais la même opération sur les deux plateaux, tu annules des tuiles et tu ranges les étapes d’une résolution.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu justifies chaque étape, tu repères qui a soustrait au lieu de diviser et tu admets qu’une solution peut être $\frac{7}{3}$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu résous des équations aux solutions négatives, décimales ou fractionnaires, et tu calcules la masse d’une boîte.
4Traduire un problème en écriture littérale
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu choisis l’inconnue, tu remplis un panier pour écrire l’équation et tu tries les données utiles.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu remets dans l’ordre une rédaction et tu départages deux mises en équation d’un problème d’âges.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu résous des problèmes de sortie scolaire, de périmètre, de partage et de programmes de calcul.

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Questions fréquentes

Comment résoudre une équation du premier degré en 4e ?

On regroupe les termes en $x$ dans un membre et les nombres dans l’autre, en faisant chaque fois la même opération sur les deux membres. On arrive à $ax=b$ , puis on divise par $a$ : $x=\dfrac{b}{a}$ . On termine par une vérification.

Comment vérifier la solution d’une équation ?

On remplace $x$ par la valeur trouvée dans l’équation de départ et on calcule séparément chaque membre. Si les deux résultats sont égaux, la solution est juste.

Comment mettre un problème en équation ?

On choisit l’inconnue en précisant ce qu’elle représente et son unité, on écrit de deux façons la même grandeur (un prix, un périmètre, un âge…), puis on résout et on répond par une phrase.

Une équation du premier degré a-t-elle toujours une solution ?

Si l’on arrive à $ax=b$ avec $a\neq0$ , il y a une seule solution, $\dfrac{b}{a}$ . Si les $x$ disparaissent, on obtient soit une égalité fausse comme $0=3$ (aucune solution), soit une égalité toujours vraie comme $0=0$ (tous les nombres sont solutions).

Pour aller plus loin

En 3e, chaque recherche d’antécédent par une fonction affine revient à résoudre une équation : la page fonctions affines en 3e prend le relais. Les équations sont aussi au cœur de la méthode Mathflow, où tu manipules avant d’écrire. Pour voir tous les chapitres du collège et du lycée, va sur la page maths de la 6e à la Terminale, et pour choisir un outil de travail, lis notre page sur l’application de maths pour le collège.

Équations du premier degré en 4e : cours, exemples et exercices

Des lettres pour désigner des nombres

Égalité, équation, solution

Résoudre une équation du premier degré

Mettre un problème en équation

Résoudre 5x−7=2x+85x-7=2x+85x−7=2x+8

Un problème de cinéma

Tester des valeurs

Résoudre 4x+9=14x+9=14x+9=1

Des xxx dans les deux membres

Une solution non entière

Les dimensions d’un rectangle

Soustraire au lieu de diviser

Se tromper de signe en divisant

N’agir que sur un membre

Oublier une partie du développement

Conclure trop vite après des essais

Répondre « x=10x=10x=10 » à un problème

1Savoir désigner des nombres avec des lettres

2Tester des égalités et des inégalités

3Résoudre une équation simple

4Traduire un problème en écriture littérale

Les maths, c’est une question de flow.

Résoudre $5x-7=2x+8$

Résoudre $4x+9=1$

Des $x$ dans les deux membres

Répondre « $x=10$ » à un problème