Maths · 4e · Géométrie

Théorème de Pythagore en 4e : cours, exemples et exercices

Q: Comment savoir quel côté est l’hypoténuse ?

C’est le côté opposé à l’angle droit, celui qui ne passe pas par le sommet de l’angle droit. C’est aussi le plus long des trois côtés.

Q: Comment calculer un côté avec le théorème de Pythagore ?

Si l’on cherche l’hypoténuse, on additionne les carrés des deux autres côtés puis on prend la racine carrée. Si l’on cherche un côté de l’angle droit, on soustrait au carré de l’hypoténuse le carré de l’autre côté, puis on prend la racine carrée.

Q: Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?

Le théorème part d’un triangle rectangle et donne une égalité entre les carrés des côtés. La réciproque part de cette égalité, vérifiée par le calcul, et prouve que le triangle est rectangle.

Q: Comment démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle ?

On calcule le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres. S’ils sont différents, le triangle n’est pas rectangle, sinon l’égalité de Pythagore serait vérifiée.

Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d’un triangle rectangle. En 4e, il sert à calculer une longueur, et sa réciproque à prouver qu’un angle est droit. Voici le cours, deux exemples résolus et cinq exercices corrigés.

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Triangle rectangle de côtés

3

4

5

: l’aire du carré construit sur l’hypoténuse (

25

) est la somme des deux autres (

9+16

Programme de 4e

Ce que tu dois savoir faire en 4e

Le théorème de Pythagore est l’un des premiers théorèmes que tu démontres et utilises vraiment au collège. Les attendus de fin de 4e citent « le théorème de Pythagore et sa réciproque » parmi les connaissances qui servent à raisonner, et la racine carrée comme outil pour calculer des longueurs.

Le chapitre demande donc trois choses : repérer l’angle droit et l’hypoténuse, calculer une longueur en passant par les carrés puis la racine carrée, et prouver qu’un triangle est (ou n’est pas) rectangle. Il revient en 3e avec la trigonométrie et au brevet dans presque tous les problèmes de géométrie.

Dans Mathflow, le chapitre compte quatre compétences, chacune en trois niveaux.

Les 4 compétences du chapitre

Identifier les éléments d’un triangle rectangle
Appliquer le théorème de Pythagore pour démontrer une égalité
Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore
Estimer ou calculer la valeur d’une racine carrée

Cours

L’essentiel du cours

Le vocabulaire, le théorème, la racine carrée et la réciproque : l’ordre logique du chapitre.

Le triangle rectangle et son hypoténuse

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est toujours le plus long des trois côtés. Les deux autres côtés sont les côtés de l’angle droit.

Pour la trouver sans hésiter : repère le sommet de l’angle droit, puis prends le côté qui ne passe pas par ce sommet. Si $ABC$ est rectangle en $A$ , l’hypoténuse est $[BC]$ .

Le théorème de Pythagore

BC^2=AB^2+AC^2

En termes d’aires : le carré construit sur l’hypoténuse a la même aire que les deux carrés construits sur les côtés de l’angle droit réunis, comme sur la figure du triangle $3$ , $4$ , $5$ .

Calculer une longueur

Pour l’hypoténuse, on additionne les carrés : $BC^2=AB^2+AC^2$ , puis $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}$ .
Pour un côté de l’angle droit, on soustrait : $AB^2=BC^2-AC^2$ , puis $AB=\sqrt{BC^2-AC^2}$ .

On garde la valeur exacte (par exemple $\sqrt{52}$ cm) le plus longtemps possible et on n’arrondit qu’à la fin, à la précision demandée.

La racine carrée

Quand $a$ n’est pas un carré parfait, on encadre $\sqrt{a}$ grâce aux carrés voisins : $36<40<49$ , donc $6<\sqrt{40}<7$ . La calculatrice donne $\sqrt{40}\approx6{,}32$ .

La réciproque et la contraposée

On calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres. S’ils sont égaux, la réciproque prouve que le triangle est rectangle. S’ils sont différents, le triangle n’est pas rectangle : c’est la contraposée du théorème.

À toi de jouer

Trouve l’angle droit.

L’activité de l’accueil : déplace le point $C$ jusqu’à obtenir un angle droit, et regarde l’égalité de Pythagore apparaître.

f(x) = 2x - 1

cible

y = 0{,}5x + 1

a0,5b1

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Calculer l’hypoténuse
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB=7$ cm et $AC=24$ cm. Calcule $BC$ .
Solution
Le triangle est rectangle en $A$ , donc d’après le théorème de Pythagore :
$BC^2=AB^2+AC^2=49+576=625$
$BC=\sqrt{625}=25$ , donc $BC=25$ cm.
Exemple 2
Prouver qu’un triangle est rectangle
Le triangle $DEF$ a pour côtés $DE=4{,}5$ cm, $EF=6$ cm et $DF=7{,}5$ cm. Est-il rectangle ?
Solution
Le plus grand côté est $[DF]$ : $DF^2=7{,}5^2=56{,}25$ .
$DE^2+EF^2=20{,}25+36=56{,}25$ .
On a $DF^2=DE^2+EF^2$ : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $DEF$ est rectangle en $E$ .

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Repérer l’hypoténuse
Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ . Nomme son hypoténuse et écris l’égalité de Pythagore.
Voir le corrigé
Le sommet de l’angle droit est $S$ : le côté opposé est $[RT]$ , c’est l’hypoténuse.
Égalité de Pythagore : $RT^2=RS^2+ST^2$ .
Exercice 2
Une hypoténuse avec des décimaux
Le triangle $MNP$ est rectangle en $N$ , avec $MN=2{,}4$ cm et $NP=3{,}2$ cm. Calcule $MP$ .
Voir le corrigé
$MP^2=MN^2+NP^2=5{,}76+10{,}24=16$ .
$MP=\sqrt{16}=4$ , donc $MP=4$ cm.
Exercice 3
La hauteur d’une échelle
Une échelle de $5$ m est posée contre un mur vertical. Son pied est à $1{,}4$ m du mur, sur un sol horizontal. À quelle hauteur arrive-t-elle ?
Voir le corrigé
Le mur et le sol forment un angle droit ; l’échelle est l’hypoténuse. On note $h$ la hauteur atteinte, en mètres.
$h^2=5^2-1{,}4^2=25-1{,}96=23{,}04$ , donc $h=\sqrt{23{,}04}=4{,}8$ .
L’échelle arrive à $4{,}8$ m de hauteur.
Exercice 4
Valeur exacte, encadrement, arrondi
Un triangle est rectangle ; ses côtés de l’angle droit mesurent $4$ cm et $6$ cm.
1. Donne la valeur exacte de l’hypoténuse.
2. Encadre-la entre deux entiers consécutifs.
3. Donne son arrondi au dixième.
Voir le corrigé
1. L’hypoténuse $c$ vérifie $c^2=16+36=52$ , donc $c=\sqrt{52}$ cm.
2. $49<52<64$ , donc $7<\sqrt{52}<8$ .
3. $\sqrt{52}\approx7{,}211$ , soit $7{,}2$ cm au dixième.
Exercice 5
Un triangle qui n’est pas rectangle
Un triangle a pour côtés $6$ cm, $9$ cm et $11$ cm. Est-il rectangle ?
Voir le corrigé
Le plus grand côté mesure $11$ cm : $11^2=121$ .
$6^2+9^2=36+81=117$ .
$121\neq117$ : si le triangle était rectangle, ces deux nombres seraient égaux. Il n’est donc pas rectangle.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Presque toutes les erreurs viennent d’un mauvais repérage de l’hypoténuse ou d’un calcul de carré.

Élever la somme au carré
$AB^2+AC^2$ n’est pas $(AB+AC)^2$ : avec $3$ et $4$ , on trouve $9+16=25$ , et non $7^2=49$ .
Additionner au lieu de soustraire
Pour un côté de l’angle droit, on part du carré de l’hypoténuse et on retire l’autre carré.
Oublier la racine carrée
$BC^2=169$ ne donne pas $BC=169$ : il reste à écrire $BC=\sqrt{169}=13$ .
Utiliser le théorème sans angle droit
Un triangle qui « a l’air » rectangle ne suffit pas : il faut un angle droit codé ou démontré.
Confondre théorème et réciproque
Pour prouver qu’un triangle est rectangle, c’est la réciproque qu’on cite, après avoir comparé les deux calculs.
Arrondir trop tôt
Arrondir $\sqrt{52}$ dès la première ligne fausse la suite des calculs : garde la valeur exacte jusqu’au bout.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Quatre séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, la géométrie se manipule : tu déplaces un sommet jusqu’à obtenir l’angle droit, tu verses les carreaux de deux petits carrés dans le grand, tu poses le pied d’une échelle contre un mur. Au niveau 2, tu départages deux élèves et tu traques la ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu calcules et tu rédiges, avec Alphi qui te donne un indice plutôt que la réponse.

1Identifier les éléments d’un triangle rectangle
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu déplaces un sommet pour rendre le triangle rectangle, tu touches l’hypoténuse et tu repères un angle seulement « presque » droit.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition et tu expliques qu’un triangle sans angle droit n’a pas d’hypoténuse.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu retrouves le sommet de l’angle droit à partir des longueurs et tu débusques les triangles rectangles cachés dans un losange ou un rectangle.
2Appliquer le théorème de Pythagore pour démontrer une égalité
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu fais tourner un point jusqu’à ce que $BC^2=AB^2+AC^2$ , tu verses des carreaux d’un carré dans l’autre et tu tends une corde à nœuds $3$ , $4$ , $5$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes l’énoncé de la réciproque et tu expliques pourquoi un triangle de côtés $7$ , $7$ et $10$ n’est pas rectangle malgré son allure.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu décides si des triangles sont rectangles et tu vérifies qu’un cadre ou un mur est d’équerre.
3Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places un sommet pour que le carré sur l’hypoténuse ait une aire de $25$ cm², tu ranges les trois étapes du calcul.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la méthode pour un côté de l’angle droit et tu repères la première ligne fausse d’un calcul.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des longueurs exactes ou arrondies : diagonale d’un écran, hauteur d’un triangle isocèle, deux triangles enchaînés.
4Estimer ou calculer la valeur d’une racine carrée
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu agrandis un carré sans dépasser une aire de $40$ cm² et tu places $\sqrt{12}$ , $\sqrt{30}$ et $\sqrt{50}$ entre deux entiers.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu justifies un encadrement par les carrés et tu départages deux élèves sur l’entier le plus proche de $\sqrt{52}$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu encadres au dixième, tu ranges racines et décimaux et tu estimes la longueur d’un câble.

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Questions fréquentes

Comment savoir quel côté est l’hypoténuse ?

C’est le côté opposé à l’angle droit, celui qui ne passe pas par le sommet de l’angle droit. C’est aussi le plus long des trois côtés.

Comment calculer un côté avec le théorème de Pythagore ?

Si l’on cherche l’hypoténuse, on additionne les carrés des deux autres côtés puis on prend la racine carrée. Si l’on cherche un côté de l’angle droit, on soustrait au carré de l’hypoténuse le carré de l’autre côté, puis on prend la racine carrée.

Quelle est la différence entre le théorème de Pythagore et sa réciproque ?

Le théorème part d’un triangle rectangle et donne une égalité entre les carrés des côtés. La réciproque part de cette égalité, vérifiée par le calcul, et prouve que le triangle est rectangle.

Comment démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle ?

On calcule le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres. S’ils sont différents, le triangle n’est pas rectangle, sinon l’égalité de Pythagore serait vérifiée.

Pour aller plus loin

L’autre grand théorème de géométrie du collège est celui de Thalès : la page théorème de Thalès en 3e en reprend les configurations et la réciproque. Pythagore revient dans la plupart des sujets de brevet : notre guide pour réviser le brevet de maths t’aide à t’y préparer. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Théorème de Pythagore en 4e : cours, exemples et exercices

Le triangle rectangle et son hypoténuse

Le théorème de Pythagore

Calculer une longueur

La racine carrée

La réciproque et la contraposée

Calculer l’hypoténuse

Prouver qu’un triangle est rectangle

Repérer l’hypoténuse

Une hypoténuse avec des décimaux

La hauteur d’une échelle

Valeur exacte, encadrement, arrondi

Un triangle qui n’est pas rectangle

Élever la somme au carré

Additionner au lieu de soustraire

Oublier la racine carrée

Utiliser le théorème sans angle droit

Confondre théorème et réciproque

Arrondir trop tôt

1Identifier les éléments d’un triangle rectangle

2Appliquer le théorème de Pythagore pour démontrer une égalité

3Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore

4Estimer ou calculer la valeur d’une racine carrée

Les maths, c’est une question de flow.