Fractions en 4e : cours et exercices corrigés

Q: Qu’est-ce que l’inverse d’un nombre ?

C’est le nombre qui, multiplié par lui, donne 1. L’inverse de \frac{a}{b} est \frac{b}{a}, l’inverse de 5 est \frac{1}{5}. Le nombre 0 n’a pas d’inverse.

Q: Comment calculer une fraction d’une fraction ?

On multiplie les deux fractions. Les \frac{2}{3} des \frac{3}{4} d’un gâteau représentent \frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} du gâteau.

Programme de 4e

Ce que tu dois savoir faire en 4e

En 4e, les fractions deviennent des nombres comme les autres : on les additionne, on les multiplie et on les divise, qu’elles soient positives ou négatives. Les bases de 6e (partager, comparer, additionner des fractions simples) sont sur la page fractions en 6e ; ici, on va plus loin.

Les attendus de fin de 4e demandent de calculer avec les nombres rationnels (addition, soustraction, multiplication, division), d’utiliser l’inverse pour calculer, de reconnaître et de simplifier des fractions égales, et de résoudre des problèmes avec des fractions. Le programme de cycle 4 publié en 2026, qui s’appliquera en 4e à la rentrée 2027, garde ces objectifs : fraction d’une fraction, inverse, division et calculs à plusieurs opérations.

Dans Mathflow, le chapitre compte quatre compétences, chacune en trois niveaux.

Les 4 compétences du chapitre

Additionner et soustraire des fractions, utiliser les produits en croix
Multiplier deux fractions entre elles
Diviser deux fractions entre elles, notion d’inverse
Calculer des expressions et résoudre des problèmes avec des fractions

Cours

L’essentiel du cours

Fractions égales, somme, produit, inverse et quotient : les quatre règles du chapitre, et les priorités pour les enchaîner.

Fractions égales et simplification

Simplifier une fraction, c’est diviser son numérateur et son dénominateur par un diviseur commun. Quand on ne peut plus simplifier, la fraction est irréductible : $\frac{24}{36}=\frac{24\div12}{36\div12}=\frac{2}{3}$ .

Pour savoir si deux fractions sont égales, on peut comparer les produits en croix : pour $b\neq0$ et $d\neq0$ , $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ revient à $a\times d=b\times c$ . Par exemple $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$ , car $2\times12=3\times8=24$ .

Le signe peut s’écrire en haut, en bas ou devant : $\frac{-2}{3}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$ .

Additionner et soustraire

Avec le même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur. Sinon, on écrit d’abord les fractions avec un dénominateur commun, un multiple des deux dénominateurs :

\frac{1}{6}+\frac{3}{4}=\frac{2}{12}+\frac{9}{12}=\frac{11}{12}

Les règles des nombres relatifs s’appliquent : $\frac{1}{2}-\frac{5}{6}=\frac{3}{6}-\frac{5}{6}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$ .

Multiplier, et prendre une fraction d’une fraction

\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}\qquad\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{15}

Prendre une fraction d’une quantité, c’est multiplier : les $\frac{3}{4}$ de $\frac{2}{3}$ m font $\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ m.
Un entier multiplie seulement le numérateur : $3\times\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$ .
On simplifie avant de calculer pour garder des petits nombres : $\frac{7}{12}\times\frac{4}{7}=\frac{7\times4}{4\times3\times7}=\frac{1}{3}$ .
Le signe suit la règle des nombres relatifs : $-\frac{3}{4}\times\frac{8}{9}=-\frac{2}{3}$ .

Inverse et division

Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse. Pour $b$ , $c$ et $d$ non nuls :

\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\qquad\frac{2}{7}\div\frac{5}{3}=\frac{2}{7}\times\frac{3}{5}=\frac{6}{35}

Une division répond souvent à la question « combien de fois ? » : on pose $6\div\frac{3}{4}=6\times\frac{4}{3}=8$ boîtes de $\frac{3}{4}$ m sur une étagère de $6$ m.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Un calcul avec priorités
Calcule $A=\frac{3}{4}-\frac{1}{6}\times\left(2+\frac{1}{4}\right)$ et donne le résultat sous forme irréductible.
Solution
D’abord la parenthèse : $2+\frac{1}{4}=\frac{8}{4}+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$ .
Puis le produit : $\frac{1}{6}\times\frac{9}{4}=\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$ .
Enfin la différence :
$A=\frac{3}{4}-\frac{3}{8}=\frac{6}{8}-\frac{3}{8}=\frac{3}{8}$
Exemple 2
Une fraction du reste
Dans un champ de $2\,000$ m², le blé occupe les $\frac{2}{5}$ de la surface et le maïs les $\frac{3}{4}$ du reste. Le reste du champ est en jachère.
1. Quelle fraction du champ est occupée par le maïs ?
2. Quelle fraction du champ est en jachère ?
3. Quelle surface occupe le maïs ?
Solution
1. Après le blé, il reste $1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$ du champ. Le maïs en occupe les $\frac{3}{4}$ : $\frac{3}{4}\times\frac{3}{5}=\frac{9}{20}$ du champ.
2. $1-\frac{2}{5}-\frac{9}{20}=\frac{20}{20}-\frac{8}{20}-\frac{9}{20}=\frac{3}{20}$ du champ est en jachère.
3. $\frac{9}{20}\times2\,000=900$ : le maïs occupe $900$ m². Vérification : blé $800$ m², maïs $900$ m², jachère $300$ m², soit $2\,000$ m² en tout.

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Fractions égales
1. Complète : $\frac{5}{6}=\frac{\ldots}{42}$ .
2. Écris $\frac{36}{48}$ sous forme irréductible.
3. Les fractions $\frac{14}{49}$ et $\frac{22}{77}$ sont-elles égales ?
Voir le corrigé
1. $42=6\times7$ , donc on multiplie aussi le numérateur par $7$ : $\frac{5}{6}=\frac{35}{42}$ .
2. $12$ divise $36$ et $48$ : $\frac{36}{48}=\frac{36\div12}{48\div12}=\frac{3}{4}$ .
3. Produits en croix : $14\times77=1\,078$ et $49\times22=1\,078$ . Ils sont égaux, donc les fractions aussi. On le voit en simplifiant : les deux valent $\frac{2}{7}$ .
Exercice 2
Sommes et différences
Calcule et donne le résultat sous forme irréductible.
1. $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$
2. $\frac{1}{6}-\frac{3}{4}$
3. $-\frac{3}{5}+\frac{7}{10}$
Voir le corrigé
1. $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$ .
2. $\frac{1}{6}-\frac{3}{4}=\frac{2}{12}-\frac{9}{12}=-\frac{7}{12}$ .
3. $-\frac{3}{5}+\frac{7}{10}=-\frac{6}{10}+\frac{7}{10}=\frac{1}{10}$ .
Exercice 3
Produits
Calcule et donne le résultat sous forme irréductible.
1. $\frac{4}{9}\times\frac{3}{8}$
2. $-\frac{5}{6}\times\frac{9}{10}$
3. $\left(-\frac{2}{3}\right)^2$
Voir le corrigé
1. $\frac{4}{9}\times\frac{3}{8}=\frac{12}{72}=\frac{1}{6}$ . En simplifiant avant : $\frac{4\times3}{3\times3\times4\times2}=\frac{1}{6}$ .
2. Un seul facteur négatif, le produit est négatif : $-\frac{5\times9}{6\times10}=-\frac{45}{60}=-\frac{3}{4}$ .
3. $\left(-\frac{2}{3}\right)^2=\left(-\frac{2}{3}\right)\times\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}$ : deux facteurs négatifs donnent un produit positif.
Exercice 4
Inverses et quotients
1. Donne l’inverse de $-\frac{3}{7}$ , puis l’inverse de $5$ .
2. Calcule $\frac{3}{5}\div\frac{9}{10}$ .
3. Calcule $-\frac{4}{3}\div6$ .
Voir le corrigé
1. L’inverse de $-\frac{3}{7}$ est $-\frac{7}{3}$ , car $-\frac{3}{7}\times\left(-\frac{7}{3}\right)=1$ . L’inverse de $5$ est $\frac{1}{5}$ .
2. $\frac{3}{5}\div\frac{9}{10}=\frac{3}{5}\times\frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$ .
3. $-\frac{4}{3}\div6=-\frac{4}{3}\times\frac{1}{6}=-\frac{4}{18}=-\frac{2}{9}$ .
Exercice 5
Des rubans
Un ruban mesure $\frac{21}{4}$ m.
1. Combien de morceaux de $\frac{3}{4}$ m peut-on y couper ?
2. On coupe plutôt ce ruban en $6$ morceaux de même longueur. Quelle est la longueur d’un morceau ?
3. Les $\frac{3}{5}$ d’un autre ruban mesurent $\frac{9}{4}$ m. Quelle est la longueur de ce ruban ?
Voir le corrigé
1. On cherche combien de fois $\frac{3}{4}$ tient dans $\frac{21}{4}$ : $\frac{21}{4}\div\frac{3}{4}=\frac{21}{4}\times\frac{4}{3}=7$ . On coupe $7$ morceaux.
2. $\frac{21}{4}\div6=\frac{21}{4}\times\frac{1}{6}=\frac{21}{24}=\frac{7}{8}$ : chaque morceau mesure $\frac{7}{8}$ m.
3. Si $L$ désigne la longueur du ruban en mètres, $\frac{3}{5}\times L=\frac{9}{4}$ , donc $L=\frac{9}{4}\div\frac{3}{5}=\frac{9}{4}\times\frac{5}{3}=\frac{45}{12}=\frac{15}{4}$ . Le ruban mesure $\frac{15}{4}$ m, soit $3{,}75$ m.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Chaque opération a sa règle : les erreurs viennent presque toujours d’une règle appliquée à la mauvaise opération.

Additionner les dénominateurs
$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ ne vaut pas $\frac{2}{7}$ . On passe aux douzièmes : $\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$ .
Chercher un dénominateur commun pour multiplier
Pour un produit, on multiplie directement : $\frac{2}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{6}{25}$ , et non $\frac{6}{5}$ .
Multiplier aussi le dénominateur par un entier
$3\times\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$ : l’entier ne multiplie que le numérateur, sinon on obtiendrait $\frac{6}{15}$ , qui vaut $\frac{2}{5}$ .
Oublier de retourner le diviseur
$\frac{3}{5}\div\frac{2}{7}=\frac{3}{5}\times\frac{7}{2}=\frac{21}{10}$ . On ne retourne que la fraction par laquelle on divise.
Confondre inverse et opposé
L’opposé de $-\frac{5}{2}$ est $\frac{5}{2}$ , son inverse est $-\frac{2}{5}$ : un nombre et son inverse ont le même signe.
Calculer de gauche à droite
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times\frac{2}{3}$ : la multiplication passe d’abord, ce qui donne $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$ , et non $\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$ .

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Quatre séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, les fractions se voient : tu quadrilles un carré pour voir un produit, tu poses des boîtes sur une étagère pour comprendre une division, tu équilibres une balance avec des sachets. Au niveau 2, tu départages deux élèves et tu trouves la ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu calcules et tu résous des problèmes de recettes, de champs et de rubans, avec Alphi si tu as besoin d’un indice.

1Additionner et soustraire des fractions, utiliser les produits en croix
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu règles un curseur pour écrire $\frac{3}{4}$ en douzièmes, tu découpes l’unité pour que deux points tombent sur une graduation et tu retires $\frac{1}{3}$ d’un disque pour calculer $\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la règle des fractions égales, tu départages deux élèves qui calculent $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ et tu montres que $\frac{-2}{3}$ et $\frac{2}{-3}$ sont égales.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu simplifies, tu calcules des sommes avec des nombres négatifs et tu trouves la part de son temps libre qui reste à Lina.
2Multiplier deux fractions entre elles
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu quadrilles un carré pour voir que $\frac{3}{4}\times\frac{2}{5}=\frac{6}{20}$ , tu colories les $\frac{2}{3}$ d’une partie et tu plies une feuille en douzièmes.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la règle du produit, tu trouves la ligne fausse d’une simplification et tu expliques l’erreur de qui multiplie aussi le dénominateur par $3$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des produits, y compris négatifs, l’aire d’un rectangle de $\frac{7}{9}$ m sur $\frac{3}{14}$ m et le nombre de demi-pensionnaires qui prennent le bus.
3Diviser deux fractions entre elles, notion d’inverse
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu poses des boîtes de $\frac{3}{4}$ m sur une étagère de $6$ m, tu règles la hauteur d’un rectangle pour que son aire vaille $1$ et tu touches l’inverse de $-\frac{5}{2}$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition de l’inverse, tu expliques pourquoi $0$ n’en a pas et tu repères qui a oublié de retourner la fraction.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des inverses et des quotients, y compris négatifs, le contenu d’une cagnotte dont les $\frac{3}{5}$ font $24$ € et le nombre de coussins taillés dans un rouleau de tissu.
4Calculer des expressions et résoudre des problèmes avec des fractions
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu adaptes une recette de crêpes pour $6$ personnes, tu équilibres une balance avec des sachets de $\frac{1}{4}$ et tu touches les opérations dans l’ordre des priorités.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu expliques pourquoi la multiplication passe avant l’addition, tu trouves la ligne fausse d’un calcul et tu départages deux élèves sur la moitié du reste d’une tarte.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des expressions avec parenthèses et priorités, la surface des jeux d’un parc et la longueur qui reste d’une corde après plusieurs coupes.

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Questions fréquentes

Comment diviser deux fractions ?

On multiplie la première par l’inverse de la seconde, c’est-à-dire par la seconde retournée : $\frac{2}{3}\div\frac{5}{7}=\frac{2}{3}\times\frac{7}{5}=\frac{14}{15}$ . La fraction par laquelle on divise ne doit pas être nulle.

Comment multiplier deux fractions ?

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, sans chercher de dénominateur commun : $\frac{3}{7}\times\frac{2}{5}=\frac{6}{35}$ . On simplifie si possible.

Qu’est-ce que l’inverse d’un nombre ?

C’est le nombre qui, multiplié par lui, donne $1$ . L’inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ , l’inverse de $5$ est $\frac{1}{5}$ . Le nombre $0$ n’a pas d’inverse.

Comment calculer une fraction d’une fraction ?

On multiplie les deux fractions. Les $\frac{2}{3}$ des $\frac{3}{4}$ d’un gâteau représentent $\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ du gâteau.

Comment additionner des fractions qui n’ont pas le même dénominateur ?

On les écrit avec un dénominateur commun, un multiple des deux dénominateurs, puis on additionne les numérateurs : $\frac{1}{6}+\frac{3}{4}=\frac{2}{12}+\frac{9}{12}=\frac{11}{12}$ .

Pour aller plus loin

Si les bases te manquent, commence par les fractions en 6e et les nombres relatifs en 5e. En 4e, les fractions servent à résoudre des équations et à calculer avec les puissances ; en 3e, l’arithmétique aide à les rendre irréductibles et les probabilités s’écrivent souvent sous forme de fraction. Notre guide pour réviser le brevet de maths t’aide à t’organiser. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Fractions en 4e : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en 4e

L’essentiel du cours

Fractions égales et simplification

Additionner et soustraire

Multiplier, et prendre une fraction d’une fraction

Inverse et division

Deux exemples résolus

Un calcul avec priorités

Une fraction du reste

Cinq exercices corrigés

Fractions égales

Sommes et différences

Produits

Inverses et quotients

Des rubans

Les pièges à éviter

Additionner les dénominateurs

Chercher un dénominateur commun pour multiplier

Multiplier aussi le dénominateur par un entier

Oublier de retourner le diviseur

Confondre inverse et opposé

Calculer de gauche à droite

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1Additionner et soustraire des fractions, utiliser les produits en croix

2Multiplier deux fractions entre elles

3Diviser deux fractions entre elles, notion d’inverse

4Calculer des expressions et résoudre des problèmes avec des fractions

Questions fréquentes

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Les maths, c’est une question de flow.