Arithmétique en 3e : cours et exercices corrigés

Q: Comment savoir si un nombre est premier ?

On essaie de le diviser par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11… tant que leur carré ne dépasse pas le nombre. Si aucune division ne tombe juste, il est premier. Par exemple, 89 est premier : il suffit de tester 2, 3, 5 et 7, car 11\times11=121>89.

Programme de 3e

Ce que tu dois savoir faire en 3e

L’arithmétique est le chapitre des nombres entiers. Les attendus de fin de 3e demandent de décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers, de simplifier une fraction pour la rendre irréductible et de résoudre des problèmes de divisibilité, comme des engrenages ou des phénomènes qui se reproduisent en même temps.

Tu y réutilises les multiples, les diviseurs et les critères de divisibilité vus depuis la 6e. Le chapitre te donne deux outils pour les problèmes : le PGCD, plus grand diviseur commun à deux nombres, pour les partages sans reste, et le PPCM, plus petit multiple commun, pour les rendez-vous. Ils resservent dès qu’il faut simplifier une fraction ou la mettre au même dénominateur.

Dans Mathflow, le chapitre compte six compétences, chacune en trois niveaux.

Les 6 compétences du chapitre

Connaître la définition et reconnaître qu’un nombre est premier
Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers
Calculer un plus petit commun multiple (PPCM)
Calculer un plus grand commun diviseur (PGCD)
Rendre une fraction irréductible avec le PGCD
Utiliser le PGCD et le PPCM dans un problème

Cours

L’essentiel du cours

Des nombres premiers à la décomposition, puis les deux outils du chapitre et les fractions irréductibles.

Diviseurs, multiples et nombres premiers

Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers, avec $b\neq0$ . On dit que $b$ est un diviseur de $a$ , ou que $a$ est un multiple de $b$ , s’il existe un entier $k$ tel que $a=b\times k$ . Par exemple, $7$ est un diviseur de $91$ car $91=7\times13$ .

Pour savoir si un nombre $n$ est premier, on essaie de le diviser par les nombres premiers $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ … tant que leur carré ne dépasse pas $n$ . Si aucune division ne tombe juste, $n$ est premier.

$89$ n’est divisible ni par $2$ , ni par $3$ , ni par $5$ , ni par $7$ , et $11\times11=121>89$ : $89$ est premier.
Pour $143$ , on teste jusqu’à $11$ car $11\times11=121\leq143<13\times13$ : $143=11\times13$ n’est pas premier.

Décomposer en produit de facteurs premiers

Méthode : on divise le nombre par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le quotient, jusqu’à obtenir $1$ . Pour $360$ : $360\div2=180$ , $180\div2=90$ , $90\div2=45$ , $45\div3=15$ , $15\div3=5$ , $5\div5=1$ .

360=2\times2\times2\times3\times3\times5=2^3\times3^2\times5

On peut aussi utiliser un arbre, comme sur la figure : quel que soit le premier découpage, on retrouve les mêmes facteurs premiers.

PGCD et PPCM

Le PGCD de deux entiers est leur plus grand diviseur commun. Le PPCM de deux entiers non nuls est leur plus petit multiple commun non nul. Avec les décompositions :

PGCD : on prend les facteurs premiers communs, chacun avec son plus petit exposant.
PPCM : on prend tous les facteurs premiers, chacun avec son plus grand exposant.

Avec $60=2^2\times3\times5$ et $126=2\times3^2\times7$ : le PGCD vaut $2\times3=6$ et le PPCM vaut $2^2\times3^2\times5\times7=1\,260$ . Contrôle : $6\times1\,260=60\times126=7\,560$ .

Autre méthode pour le PGCD, l’algorithme d’Euclide : on divise le plus grand nombre par le plus petit, puis le diviseur par le reste, jusqu’à un reste nul. Ici $126=2\times60+6$ , puis $60=10\times6+0$ : le PGCD est le dernier reste non nul, $6$ .

Si le PGCD de deux nombres vaut $1$ , on dit qu’ils sont premiers entre eux.

Rendre une fraction irréductible

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux : on ne peut plus la simplifier.

Par exemple, le PGCD de $60$ et $126$ est $6$ , donc $\dfrac{60}{126}=\dfrac{60\div6}{126\div6}=\dfrac{10}{21}$ , et $10$ et $21$ sont premiers entre eux.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Rendre $\dfrac{252}{360}$ irréductible
Décompose $252$ et $360$ en produits de facteurs premiers, puis écris $\dfrac{252}{360}$ sous forme irréductible.
Solution
$252=2^2\times3^2\times7$ et $360=2^3\times3^2\times5$ .
Facteurs communs avec le plus petit exposant : le PGCD vaut $2^2\times3^2=36$ .
$\dfrac{252}{360}=\dfrac{252\div36}{360\div36}=\dfrac{7}{10}$
$7$ et $10$ n’ont pas de facteur premier commun : la fraction $\dfrac{7}{10}$ est irréductible.
Exemple 2
Le plus grand nombre de bouquets
Un fleuriste a $154$ roses et $105$ tulipes. Il veut composer le plus grand nombre possible de bouquets identiques, en utilisant toutes les fleurs. Combien de bouquets peut-il faire, et que contient chacun ?
Solution
Le nombre de bouquets doit diviser $154$ et $105$ (aucune fleur ne reste), et être le plus grand possible : c’est le PGCD de $154$ et $105$ .
$154=2\times7\times11$ et $105=3\times5\times7$ : le seul facteur commun est $7$ , donc le PGCD vaut $7$ .
Il peut faire $7$ bouquets, chacun avec $154\div7=22$ roses et $105\div7=15$ tulipes.

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Premier ou pas ?
Parmi les nombres $51$ , $53$ , $87$ , $101$ et $133$ , lesquels sont premiers ? Justifie.
Voir le corrigé
- $51=3\times17$ (somme des chiffres $5+1=6$ , multiple de $3$ ) : pas premier.
- $53$ n’est divisible ni par $2$ , ni par $3$ , ni par $5$ , ni par $7$ , et $8\times8=64>53$ : premier.
- $87=3\times29$ (somme des chiffres $15$ ) : pas premier.
- $101$ n’est divisible ni par $2$ , ni par $3$ , ni par $5$ , ni par $7$ , et $11\times11=121>101$ : premier.
- $133=7\times19$ : pas premier.
Les nombres premiers de la liste sont $53$ et $101$ .
Exercice 2
Décomposer pour tester la divisibilité
1. Décompose $1\,050$ et $756$ en produits de facteurs premiers.
2. Sans poser de division, dis si $756$ est divisible par $12$ , puis par $10$ .
Voir le corrigé
1. $1\,050\div2=525$ , $525\div3=175$ , $175\div5=35$ , $35\div5=7$ , $7\div7=1$ , donc $1\,050=2\times3\times5^2\times7$ . De même, $756=2^2\times3^3\times7$ .
2. $12=2^2\times3$ et ces facteurs figurent dans $756$ : $756$ est divisible par $12$ ( $756=12\times63$ ). En revanche $10=2\times5$ et $5$ n’apparaît pas dans la décomposition de $756$ : il n’est pas divisible par $10$ .
Exercice 3
PGCD, PPCM et fraction
On reprend $1\,050=2\times3\times5^2\times7$ et $756=2^2\times3^3\times7$ .
1. Calcule le PGCD et le PPCM de $1\,050$ et $756$ .
2. Écris $\dfrac{756}{1\,050}$ sous forme irréductible.
Voir le corrigé
1. PGCD : facteurs communs $2$ , $3$ et $7$ , avec le plus petit exposant, soit $2\times3\times7=42$ . PPCM : tous les facteurs avec le plus grand exposant, soit $2^2\times3^3\times5^2\times7=18\,900$ . Contrôle : $42\times18\,900=756\times1\,050$ .
2. $\dfrac{756}{1\,050}=\dfrac{756\div42}{1\,050\div42}=\dfrac{18}{25}$ , irréductible car $18=2\times3^2$ et $25=5^2$ n’ont aucun facteur commun.
Exercice 4
Carreler une pièce sans découpe
Une pièce rectangulaire mesure $3{,}60$ m sur $4{,}20$ m. On veut la couvrir de carreaux carrés identiques, les plus grands possible, sans aucune découpe. Quel est le côté d’un carreau, et combien en faut-il ?
Voir le corrigé
En centimètres, la pièce mesure $360$ sur $420$ . Le côté d’un carreau, en centimètres entiers, doit diviser $360$ et $420$ , et être le plus grand possible : c’est leur PGCD.
$360=2^3\times3^2\times5$ et $420=2^2\times3\times5\times7$ , donc le PGCD vaut $2^2\times3\times5=60$ .
Les carreaux ont $60$ cm de côté. On en place $360\div60=6$ dans un sens et $420\div60=7$ dans l’autre, soit $6\times7=42$ carreaux.
Exercice 5
Deux bus au même départ
À 7 h, deux bus quittent ensemble la gare. Le bus A repart toutes les $14$ minutes, le bus B toutes les $21$ minutes.
1. À quelle heure repartent-ils de nouveau ensemble ?
2. Combien de fois partent-ils ensemble entre 7 h et 10 h, départ de 7 h compris ?
Voir le corrigé
1. Les départs communs ont lieu après un nombre de minutes multiple de $14$ et de $21$ . Le premier est leur PPCM : $14=2\times7$ et $21=3\times7$ , donc le PPCM vaut $2\times3\times7=42$ . Ils repartent ensemble à 7 h 42 (le bus A a fait $3$ rotations, le bus B $2$ ).
2. Les départs communs ont lieu toutes les $42$ minutes : 7 h 00, 7 h 42, 8 h 24, 9 h 06 et 9 h 48. Le suivant, à 10 h 30, est trop tard. Ils partent donc ensemble $5$ fois.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

La plupart des erreurs viennent d’une définition mal connue ou d’un outil choisi au hasard.

Croire que 1 est premier
Un nombre premier a exactement deux diviseurs. Le nombre $1$ n’en a qu’un : il n’est pas premier. Et $2$ est le seul nombre premier pair.
Confondre impair et premier
$9$ , $15$ , $21$ ou $91=7\times13$ sont impairs, mais pas premiers. Il faut chercher un diviseur avant de conclure.
S’arrêter trop tôt dans la décomposition
$60=4\times15$ n’est pas une décomposition en facteurs premiers : $4$ et $15$ se décomposent encore, $60=2^2\times3\times5$ .
Confondre PGCD et PPCM
Partager sans reste, faire les plus grands paquets : PGCD. Se retrouver en même temps, égaliser des longueurs : PPCM. Le PGCD ne dépasse jamais le plus petit nombre, le PPCM est au moins égal au plus grand.
Prendre le produit pour le PPCM
Le PPCM de $6$ et $8$ est $24$ , pas $6\times8=48$ . Le produit ne donne le PPCM que si les deux nombres sont premiers entre eux.
Soustraire pour simplifier
On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre, jamais en soustrayant : $\dfrac{12}{18}\neq\dfrac{6}{12}$ .

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Six séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, l’arithmétique se manipule : tu ranges des jetons en rectangles, tu fais pousser des arbres de facteurs, tu fais tourner deux roues jusqu’au retour des repères, tu paves un rectangle avec les plus grands carrés possibles. Au niveau 2, tu départages deux élèves et tu repères l’erreur d’une copie. Au niveau 3, tu calcules et tu résous des problèmes de bouquets, de phares ou d’horaires, avec Alphi, le coach IA, si tu bloques.

1Connaître la définition et reconnaître qu’un nombre est premier
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu ranges des jetons en rectangle pour voir si un nombre est premier, tu barres les nombres qui ne le sont pas et tu règles jusqu’où tester les diviseurs de $83$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition d’un nombre premier, tu départages deux élèves à propos de $1$ , de $2$ ou de $91$ , et tu repères l’erreur d’Inès, qui s’arrête trop tôt pour $221$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu trouves le plus petit diviseur premier de $203$ , tu comptes les nombres premiers entre deux bornes et tu mets en défaut l’idée que $n^2+n+41$ serait toujours premier.
2Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu décomposes $84$ et $180$ par divisions successives, tu termines deux arbres de $60$ pour comparer leurs feuilles et tu règles les exposants d’une écriture en puissances.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu dis quand une décomposition est terminée, tu départages deux élèves sur l’ordre des facteurs et tu trouves la ligne fausse de la décomposition de $264$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu retrouves un nombre à partir de sa décomposition, tu repères les diviseurs de $2^5\times3\times5^2$ et tu cherches par quel entier multiplier $540$ pour obtenir un carré.
3Calculer un plus petit commun multiple (PPCM)
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places le premier point où des sauts de $6$ et de $8$ tombent ensemble, tu empiles des briques en deux tours de même hauteur et tu fais tourner deux roues jusqu’au retour des repères.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition du PPCM, tu départages deux élèves pour qui le PPCM de $6$ et $8$ serait $48$ , et tu tries les situations qui se résolvent avec un PPCM.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des PPCM avec les décompositions ou à partir du PGCD, et tu résous des problèmes de phares, d’engrenages et de carreaux.
4Calculer un plus grand commun diviseur (PGCD)
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu touches les diviseurs communs de $24$ et $36$ , tu règles le côté des plus grands carrés qui pavent un rectangle et tu retires des carrés jusqu’à ce qu’il n’en reste qu’un.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes les étapes de l’algorithme d’Euclide, tu expliques l’erreur de Tom, qui a pris un quotient au lieu du dernier reste non nul, et tu départages deux élèves sur des nombres premiers entre eux.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des PGCD avec les décompositions ou l’algorithme d’Euclide, tu cherches un nombre dont le PGCD avec $48$ vaut $6$ et tu comptes les diviseurs communs de $120$ et $168$ .
5Rendre une fraction irréductible avec le PGCD
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu regroupes les parts d’une figure en paquets égaux, tu simplifies une fraction jusqu’à ce qu’elle soit irréductible et tu simplifies $\dfrac{72}{96}$ en une seule division.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu expliques pourquoi diviser par le PGCD donne directement une fraction irréductible, tu trouves la ligne fausse d’une copie et l’erreur de Lucas, qui a soustrait au lieu de diviser.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu rends irréductibles des fractions écrites avec des puissances ou de grands nombres, comme $\dfrac{1\,080}{1\,260}$ , et tu exprimes une part d’élèves sous forme irréductible.
6Utiliser le PGCD et le PPCM dans un problème
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu composes le plus grand nombre de bouquets identiques, tu places le prochain allumage commun de deux phares et tu règles le côté des plus grands carreaux qui couvrent un mur.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu choisis l’outil, PGCD ou PPCM, pour chaque situation, tu départages deux élèves sur des plateaux ou des phares et tu trouves l’erreur de Lou pour former le plus petit carré.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu résous des problèmes complets : bouquets, rendez-vous à la piscine, cordes coupées en morceaux égaux, dalles d’une pièce, horaires de bus et de navettes.

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Questions fréquentes

Comment savoir si un nombre est premier ?

On essaie de le diviser par les nombres premiers $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ … tant que leur carré ne dépasse pas le nombre. Si aucune division ne tombe juste, il est premier. Par exemple, $89$ est premier : il suffit de tester $2$ , $3$ , $5$ et $7$ , car $11\times11=121>89$ .

Comment décomposer un nombre en produit de facteurs premiers ?

On divise le nombre par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le quotient jusqu’à obtenir $1$ . Les diviseurs utilisés forment la décomposition : $360=2^3\times3^2\times5$ .

Comment calculer le PGCD de deux nombres ?

On décompose les deux nombres en facteurs premiers et on multiplie les facteurs communs, chacun avec son plus petit exposant. On peut aussi utiliser l’algorithme d’Euclide : le PGCD est le dernier reste non nul.

Quelle est la différence entre le PGCD et le PPCM ?

Le PGCD est le plus grand diviseur commun : il sert pour les partages sans reste. Le PPCM est le plus petit multiple commun : il sert quand deux phénomènes réguliers doivent se reproduire en même temps.

Comment rendre une fraction irréductible ?

On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Par exemple, le PGCD de $252$ et $360$ est $36$ , donc $\dfrac{252}{360}=\dfrac{7}{10}$ .

Pour aller plus loin

Les décompositions s’écrivent avec des puissances : la page puissances en 4e en rappelle les règles. Pour les calculs avec des fractions, revois les fractions en 4e. L’arithmétique revient régulièrement au brevet, souvent dans un problème de partage ou d’horaires : notre guide pour réviser le brevet de maths t’aide à t’y préparer. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Arithmétique en 3e : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en 3e

L’essentiel du cours

Diviseurs, multiples et nombres premiers

Décomposer en produit de facteurs premiers

PGCD et PPCM

Rendre une fraction irréductible

Deux exemples résolus

Rendre $\dfrac{252}{360}$ irréductible

Le plus grand nombre de bouquets

Cinq exercices corrigés

Premier ou pas ?

Décomposer pour tester la divisibilité

PGCD, PPCM et fraction

Carreler une pièce sans découpe

Deux bus au même départ

Les pièges à éviter

Croire que 1 est premier

Confondre impair et premier

S’arrêter trop tôt dans la décomposition

Confondre PGCD et PPCM

Prendre le produit pour le PPCM

Soustraire pour simplifier

Ce chapitre dans Mathflow

1Connaître la définition et reconnaître qu’un nombre est premier

2Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

3Calculer un plus petit commun multiple (PPCM)

4Calculer un plus grand commun diviseur (PGCD)

5Rendre une fraction irréductible avec le PGCD

6Utiliser le PGCD et le PPCM dans un problème

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Arithmétique en 3e : cours, exemples et exercices

Diviseurs, multiples et nombres premiers

Décomposer en produit de facteurs premiers

PGCD et PPCM

Rendre une fraction irréductible

Rendre 252360\dfrac{252}{360}360252​ irréductible

Le plus grand nombre de bouquets

Premier ou pas ?

Décomposer pour tester la divisibilité

PGCD, PPCM et fraction

Carreler une pièce sans découpe

Deux bus au même départ

Croire que 1 est premier

Confondre impair et premier

S’arrêter trop tôt dans la décomposition

Confondre PGCD et PPCM

Prendre le produit pour le PPCM

Soustraire pour simplifier

1Connaître la définition et reconnaître qu’un nombre est premier

2Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers

3Calculer un plus petit commun multiple (PPCM)

4Calculer un plus grand commun diviseur (PGCD)

5Rendre une fraction irréductible avec le PGCD

6Utiliser le PGCD et le PPCM dans un problème

Les maths, c’est une question de flow.

Rendre $\dfrac{252}{360}$ irréductible