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Maths · 4e · Nombres et calculs

Puissances en 4e : cours, exemples et exercices

En 4e, les puissances servent à écrire un produit de facteurs égaux, puis à manier les très grands et les très petits nombres avec les puissances de dix et l’écriture scientifique. Voici l’essentiel du cours, deux exemples résolus et cinq exercices corrigés.

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1091 000 000 000giga (G)1061 000 000méga (M)1031 000kilo (k)1001unité10−30,001milli (m)10−60,000 001micro (µ)10−90,000 000 001nano (n)
De 10−910^{-9} à 10910^{9} : chaque barreau de l’échelle est 1 0001\,000 fois plus grand que celui du dessous, et porte le nom d’un préfixe.

Programme de 4e

Ce que tu dois savoir faire en 4e

Le chapitre des puissances sert à écrire vite de très grands et de très petits nombres : la distance de la Terre au Soleil, la taille d’une cellule, le nombre de molécules dans une goutte d’eau. Il commence par les puissances d’un nombre quelconque, comme 343^4 ou (−2)3(-2)^3, puis se concentre sur les puissances de dix.

Les attendus de fin de 4e demandent d’utiliser les puissances d’exposant strictement positif d’un nombre pour simplifier l’écriture des produits, d’utiliser les puissances de 1010 d’exposant positif ou négatif, d’associer écriture décimale, écriture fractionnaire et notation scientifique, d’utiliser les préfixes de nano à giga et de comparer des nombres grâce aux puissances de 1010. Dans le programme de cycle 4 publié en 2026, qui s’appliquera en 4e à la rentrée 2027, les exposants négatifs et la notation scientifique passeront en 3e.

Dans Mathflow, le chapitre compte quatre compétences, chacune en trois niveaux.

Les 4 compétences du chapitre

  1. Savoir ce qu’est une puissance, calculer un carré, un cube
  2. Découvrir les puissances de dix pour les grands et les tout petits nombres
  3. Connaître les règles de calcul avec les puissances de dix
  4. Utiliser l’écriture scientifique

Cours

L’essentiel du cours

La puissance d’un nombre, les puissances de dix, leurs règles de calcul et l’écriture scientifique.

La puissance d’un nombre

34=3×3×3×3=813^4=3\times3\times3\times3=81
  • a2a^2 se lit « aa au carré » et a3a^3 « aa au cube » : un carré de côté 44 contient 42=164^2=16 carreaux, un cube d’arête 44 contient 43=644^3=64 petits cubes.
  • 434^3 n’est pas 4×34\times3 : 43=644^3=64, alors que 4×3=124\times3=12.
  • Le signe d’une puissance d’un nombre négatif dépend de l’exposant : (−3)4=81(-3)^4=81 est positif (exposant pair), (−3)3=−27(-3)^3=-27 est négatif (exposant impair).

Les puissances de dix

103=1 00010−3=11 000=0,00110^{3}=1\,000\qquad10^{-3}=\frac{1}{1\,000}=0{,}001

Multiplier par 10n10^n décale la virgule de nn rangs vers la droite : 2,35×103=2 3502{,}35\times10^3=2\,350. Multiplier par 10−n10^{-n}, ou diviser par 10n10^n, la décale de nn rangs vers la gauche : 47×10−3=0,04747\times10^{-3}=0{,}047.

Les préfixes des unités sont des puissances de dix :

PréfixeSymboleValeur
gigaG10910^{9}
mégaM10610^{6}
kilok10310^{3}
millim10−310^{-3}
microμ\mu10−610^{-6}
nanon10−910^{-9}

Ainsi 11 km =103=10^{3} m et 11 nm =10−9=10^{-9} m. Attention : 10−310^{-3} est un nombre positif, l’inverse de 10310^3, et non son opposé.

Calculer avec les puissances de dix

10m×10n=10m+n10^{m}\times10^{n}=10^{m+n}
10m10n=10m−n\frac{10^{m}}{10^{n}}=10^{m-n}
(10m)n=10m×n\left(10^{m}\right)^{n}=10^{m\times n}
  • 104×10−6=104+(−6)=10−210^{4}\times10^{-6}=10^{4+(-6)}=10^{-2}.
  • 10210−3=102−(−3)=105\frac{10^{2}}{10^{-3}}=10^{2-(-3)}=10^{5}.
  • (103)2=103×103=106\left(10^{3}\right)^{2}=10^{3}\times10^{3}=10^{6}.

L’écriture scientifique

  • 72 000=7,2×10472\,000=7{,}2\times10^{4} : on place la virgule après le premier chiffre non nul, puis on compte de combien de rangs elle s’est déplacée.
  • 0,000 9=9×10−40{,}000\,9=9\times10^{-4} : un nombre plus petit que 11 a un exposant négatif.
  • Pour comparer deux nombres en écriture scientifique, on compare d’abord les exposants : 3,1×106>8,7×1053{,}1\times10^{6}>8{,}7\times10^{5}, car 3 100 000>870 0003\,100\,000>870\,000. À exposant égal, on compare les nombres aa.

La calculatrice affiche souvent 1,5E91{,}5\text{E}9 pour 1,5×1091{,}5\times10^{9}.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

  1. Exemple 1

    Passer à l’écriture scientifique

    Écris chaque nombre en écriture scientifique.

    1. 52 000 00052\,000\,000
    2. 0,000 460{,}000\,46
    3. 0,36×1050{,}36\times10^{5}

    Solution

    1. La virgule se place après le 55 : elle recule de 77 rangs, donc 52 000 000=5,2×10752\,000\,000=5{,}2\times10^{7}.
    2. La virgule se place après le 44 : elle avance de 44 rangs, donc 0,000 46=4,6×10−40{,}000\,46=4{,}6\times10^{-4}.
    3. 0,360{,}36 n’est pas entre 11 et 1010. 0,36×105=36 000=3,6×1040{,}36\times10^{5}=36\,000=3{,}6\times10^{4}.

  2. Exemple 2

    Calculer avec des puissances de dix

    Calcule A=105×10−210−4A=\frac{10^{5}\times10^{-2}}{10^{-4}}, puis donne l’écriture scientifique de B=3×104×5×10−7B=3\times10^{4}\times5\times10^{-7}.

    Solution

    Au numérateur : 105×10−2=10310^{5}\times10^{-2}=10^{3}. Puis le quotient :

    A=10310−4=103−(−4)=107A=\frac{10^{3}}{10^{-4}}=10^{3-(-4)}=10^{7}

    Pour BB, on regroupe les nombres d’un côté et les puissances de dix de l’autre :

    B=(3×5)×(104×10−7)=15×10−3B=(3\times5)\times(10^{4}\times10^{-7})=15\times10^{-3}

    1515 n’est pas entre 11 et 1010 : 15=1,5×10115=1{,}5\times10^{1}, donc B=1,5×10−2B=1{,}5\times10^{-2}, soit 0,0150{,}015.

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

  1. Exercice 1

    Calculer des puissances

    Calcule sans calculatrice.

    1. 252^5
    2. (−2)3(-2)^3
    3. −24-2^4
    4. (−2)4(-2)^4
    5. 50+515^0+5^1
    Voir le corrigé
    1. 25=2×2×2×2×2=322^5=2\times2\times2\times2\times2=32.
    2. (−2)3=(−2)×(−2)×(−2)=−8(-2)^3=(-2)\times(-2)\times(-2)=-8 : exposant impair, résultat négatif.
    3. −24=−(2×2×2×2)=−16-2^4=-(2\times2\times2\times2)=-16 : l’exposant ne porte que sur 22.
    4. (−2)4=16(-2)^4=16 : exposant pair, résultat positif.
    5. 50+51=1+5=65^0+5^1=1+5=6.

  2. Exercice 2

    Puissances de dix et écriture décimale

    1. Écris 10−410^{-4} en écriture décimale.
    2. Trouve l’entier nn tel que 10n=11 000 00010^{n}=\frac{1}{1\,000\,000}.
    3. Calcule 4,7×1034{,}7\times10^{3}.
    4. Calcule 25×10−325\times10^{-3}.
    Voir le corrigé
    1. 10−4=110 000=0,000 110^{-4}=\frac{1}{10\,000}=0{,}000\,1 : le 11 est au quatrième rang après la virgule.
    2. 1 000 000=1061\,000\,000=10^{6}, donc 11 000 000=10−6\frac{1}{1\,000\,000}=10^{-6} : n=−6n=-6.
    3. La virgule avance de 33 rangs vers la droite : 4,7×103=4 7004{,}7\times10^{3}=4\,700.
    4. La virgule recule de 33 rangs vers la gauche : 25×10−3=0,02525\times10^{-3}=0{,}025.

  3. Exercice 3

    Les règles de calcul

    Écris chaque nombre sous la forme 10n10^{n}.

    1. 107×10−310^{7}\times10^{-3}
    2. 10−2105\frac{10^{-2}}{10^{5}}
    3. (10−3)2\left(10^{-3}\right)^{2}
    4. 106102×10−3\frac{10^{6}}{10^{2}\times10^{-3}}
    Voir le corrigé
    1. 107×10−3=107+(−3)=10410^{7}\times10^{-3}=10^{7+(-3)}=10^{4}.
    2. 10−2105=10−2−5=10−7\frac{10^{-2}}{10^{5}}=10^{-2-5}=10^{-7}.
    3. (10−3)2=10−3×2=10−6\left(10^{-3}\right)^{2}=10^{-3\times2}=10^{-6}.
    4. Le dénominateur vaut 102+(−3)=10−110^{2+(-3)}=10^{-1}, donc le quotient vaut 106−(−1)=10710^{6-(-1)}=10^{7}.

  4. Exercice 4

    Ranger des nombres

    Range ces nombres dans l’ordre croissant : 3,2×1053{,}2\times10^{5} ; 9,8×1049{,}8\times10^{4} ; 1,05×1061{,}05\times10^{6} ; 4×1054\times10^{5}.

    Voir le corrigé

    On compare d’abord les exposants. Le plus petit est 10410^{4}, le plus grand 10610^{6}. Les deux nombres d’exposant 55 se départagent par aa : 3,2<43{,}2<4.

    Dans l’ordre croissant : 9,8×1049{,}8\times10^{4} ; 3,2×1053{,}2\times10^{5} ; 4×1054\times10^{5} ; 1,05×1061{,}05\times10^{6}.

    Vérification en écriture décimale : 98 000<320 000<400 000<1 050 00098\,000<320\,000<400\,000<1\,050\,000.

  5. Exercice 5

    La lumière du Soleil

    La lumière parcourt environ 3×1053\times10^{5} km en une seconde. Le Soleil est à environ 1,5×1081{,}5\times10^{8} km de la Terre.

    1. Combien de secondes met la lumière du Soleil pour arriver sur Terre ?
    2. Convertis cette durée en minutes et secondes.
    Voir le corrigé
    1. On divise la distance par la distance parcourue en une seconde : 1,5×1083×105=1,53×108−5=0,5×103=500\frac{1{,}5\times10^{8}}{3\times10^{5}}=\frac{1{,}5}{3}\times10^{8-5}=0{,}5\times10^{3}=500. La lumière met environ 500500 s, soit 5×1025\times10^{2} s.
    2. 500=8×60+20500=8\times60+20 : environ 88 min 2020 s.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Les puissances se trompent surtout de signe, de parenthèses ou de nombre de zéros.

  • Confondre 434^3 et 4×34\times3

    43=4×4×4=644^3=4\times4\times4=64 est un produit de 33 facteurs égaux à 44 ; 4×3=124\times3=12 est une somme de 33 termes égaux à 44.

  • Oublier les parenthèses

    (−3)2=9(-3)^2=9, mais −32=−9-3^2=-9 : sans parenthèses, la puissance ne porte que sur 33, et le signe moins reste devant.

  • Croire que 10−310^{-3} est négatif

    10−3=0,00110^{-3}=0{,}001 est positif : c’est l’inverse de 10310^3, pas son opposé −1 000-1\,000.

  • Multiplier les exposants dans un produit

    102×104=10610^{2}\times10^{4}=10^{6} : on additionne les exposants. On ne les multiplie que pour une puissance de puissance, comme (102)4=108\left(10^{2}\right)^{4}=10^{8}.

  • Compter un zéro de trop

    10−4=0,000 110^{-4}=0{,}000\,1 : le chiffre 11 est au quatrième rang après la virgule. 0,000 010{,}000\,01, c’est 10−510^{-5}.

  • Laisser aa hors de l’intervalle

    52×10652\times10^{6} et 0,52×1080{,}52\times10^{8} ne sont pas des écritures scientifiques : le nombre devant doit être entre 11 et 1010, soit 5,2×1075{,}2\times10^{7}.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Quatre séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, les puissances se manipulent : tu construis un cube de 434^3 petits cubes, tu glisses la virgule pour multiplier par 10310^3, tu zoomes sur l’orbite de la Lune pour choisir le bon exposant. Au niveau 2, tu départages deux élèves et tu trouves la ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu calcules et tu résous des problèmes de distances, de masses et d’astronomie, avec Alphi si tu as besoin d’un indice.

  1. 1Savoir ce qu’est une puissance, calculer un carré, un cube

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu regroupes les facteurs de 343^4, tu construis un cube de 434^3 petits cubes et tu plies une feuille pour découvrir que 20=12^0=1.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu départages deux élèves sur −32-3^2 et (−3)2(-3)^2, tu distingues 434^3 de 4×34\times3 et tu complètes la règle du signe d’une puissance d’un nombre négatif.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu calcules 343^4, (−3)3(-3)^3 ou −52-5^2, le volume d’un cube de 55 cm d’arête et l’exposant nn tel que (−2)n=−32(-2)^n=-32.

  2. 2Découvrir les puissances de dix pour les grands et les tout petits nombres

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu transformes 11 en 10−310^{-3} par divisions successives, tu colories 10−110^{-1} d’un grand carré et tu écris un micromètre en mètres.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu complètes la définition de 10−n10^{-n}, tu départages deux élèves qui comparent 10−310^{-3} et 10−210^{-2} et tu expliques pourquoi 10−310^{-3} est l’inverse de 10310^3, et non son opposé.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu écris 10−410^{-4} en écriture décimale, tu trouves l’exposant d’un milligramme ou d’un nanomètre et tu ranges des longueurs du micromètre au décimètre.

  3. 3Connaître les règles de calcul avec les puissances de dix

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu décales les chiffres pour obtenir 0,35×1030{,}35\times10^3, tu glisses la virgule pour calculer 47÷10347\div10^3 et tu remplaces deux machines par une seule.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu complètes les règles du produit et du quotient, tu trouves la ligne fausse d’un calcul avec 10−210^{-2} au dénominateur et l’erreur de qui multiplie les exposants.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu calcules des produits, des quotients et des puissances de puissances de dix, et tu comptes les photos d’un serveur de 10410^4 disques.

  4. 4Utiliser l’écriture scientifique

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu choisis le chiffre à placer juste avant la virgule, tu zoomes sur l’orbite de la Lune et tu lis l’affichage 1,5E91{,}5\text{E}9 d’une calculatrice.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu complètes la définition, tu compares 3,1×1063{,}1\times10^6 et 8,7×1058{,}7\times10^5 et tu corriges qui écrit 52 000 000=5,2×10652\,000\,000=5{,}2\times10^6.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu écris des nombres en écriture scientifique, tu les ranges et tu calcules le temps que met la lumière pour atteindre l’étoile Proxima.

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Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’une puissance en maths ?

C’est un produit de facteurs égaux écrit en abrégé : 24=2×2×2×2=162^4=2\times2\times2\times2=16. Le petit nombre en haut, l’exposant, indique le nombre de facteurs.

Combien vaut 10 puissance moins 3 ?

10−3=1103=11 000=0,00110^{-3}=\frac{1}{10^{3}}=\frac{1}{1\,000}=0{,}001. C’est un nombre positif : le chiffre 11 est au troisième rang après la virgule.

Comment écrire un nombre en écriture scientifique ?

On l’écrit a×10na\times10^{n} avec 1⩽a<101\leqslant a<10 : on place la virgule après le premier chiffre non nul et on compte les rangs. 72 000=7,2×10472\,000=7{,}2\times10^{4} et 0,000 9=9×10−40{,}000\,9=9\times10^{-4}.

Quelles sont les règles de calcul avec les puissances de 10 ?

Pour un produit, on additionne les exposants : 10m×10n=10m+n10^{m}\times10^{n}=10^{m+n}. Pour un quotient, on les soustrait : 10m10n=10m−n\frac{10^{m}}{10^{n}}=10^{m-n}. Pour une puissance de puissance, on les multiplie : (10m)n=10m×n\left(10^{m}\right)^{n}=10^{m\times n}.

Pourquoi un nombre à la puissance 0 vaut-il 1 ?

C’est une convention qui rend les règles cohérentes : 103103=1\frac{10^{3}}{10^{3}}=1, et la règle du quotient donne aussi 103−3=10010^{3-3}=10^{0}. On pose donc 100=110^{0}=1, et de même a0=1a^{0}=1 pour tout nombre aa non nul.

Pour aller plus loin

Les puissances prolongent le carré et le cube vus avec le calcul littéral en 5e. Comme 10−n=110n10^{-n}=\frac{1}{10^n}, revois aussi les fractions en 4e ; les carrés reviennent avec le théorème de Pythagore. Au lycée, les puissances mènent aux suites géométriques et à la fonction exponentielle. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

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