Statistiques en 4e : cours et exercices corrigés

Q: Comment calculer une moyenne pondérée ?

On multiplie chaque valeur par son effectif (ou son coefficient), on additionne ces produits, puis on divise par l’effectif total (ou la somme des coefficients). Par exemple, 11 coefficient 1 et 14 coefficient 2 donnent \dfrac{11+28}{3}=13.

Q: Comment trouver la médiane d’une série ?

On range les données dans l’ordre croissant. Si l’effectif total N est impair, la médiane est la donnée de rang \dfrac{N+1}{2}. S’il est pair, c’est la moyenne des deux données centrales, de rangs \dfrac{N}{2} et \dfrac{N}{2}+1.

Q: Quelle est la différence entre la moyenne et la médiane ?

La moyenne répartit le total de façon égale entre toutes les données. La médiane coupe la série rangée en deux moitiés. Une valeur extrême modifie la moyenne, mais presque jamais la médiane.

Q: Comment calculer les angles d’un diagramme circulaire ?

On divise 360^\circ par l’effectif total pour obtenir l’angle d’une donnée, puis on multiplie par chaque effectif. La somme des angles doit faire 360^\circ.

Q: À quoi servent les effectifs cumulés ?

Ils donnent le nombre de données inférieures ou égales à chaque valeur. On s’en sert pour répondre aux questions « au plus » ou « plus de », et pour trouver vite la donnée qui occupe le rang de la médiane.

Programme de 4e

Ce que tu dois savoir faire en 4e

En statistiques, la 4e prolonge la 5e, où tu calculais déjà des effectifs, des fréquences et des moyennes. Les attendus de fin de 4e ajoutent deux outils : la médiane, à calculer et à interpréter pour des séries de petit effectif, et le diagramme circulaire, à lire et à construire.

Le chapitre te demande de résumer une série par une valeur centrale, de choisir entre moyenne et médiane quand une valeur extrême tire la moyenne, d’utiliser les effectifs cumulés pour repérer une donnée par son rang et de représenter une répartition par des angles proportionnels aux effectifs. En 3e, l’étendue viendra mesurer la dispersion des données.

Dans Mathflow, le chapitre compte quatre compétences, chacune en trois niveaux.

Les 4 compétences du chapitre

Calculer une moyenne simple et pondérée
Déterminer la médiane d’une série statistique
Calculer des effectifs cumulés et interpréter leur signification
Représenter des données avec un diagramme circulaire

Cours

L’essentiel du cours

Le vocabulaire, les deux valeurs centrales, les effectifs cumulés et le diagramme circulaire.

Vocabulaire et moyenne

La moyenne simple d’une série est la somme des données divisée par leur nombre. Par exemple, la moyenne de $13$ , $8$ et $15$ est $\dfrac{13+8+15}{3}=\dfrac{36}{3}=12$ .

Quand les données sont regroupées dans un tableau, ou affectées de coefficients, on calcule une moyenne pondérée : chaque valeur compte autant de fois que son effectif (ou son coefficient).

\text{moyenne}=\dfrac{n_1\times x_1+n_2\times x_2+\dots+n_p\times x_p}{n_1+n_2+\dots+n_p}

Ici, $x_1$ , …, $x_p$ sont les valeurs et $n_1$ , …, $n_p$ leurs effectifs. Avec $11$ (coefficient $1$ ) et $14$ (coefficient $2$ ) : $\dfrac{11\times1+14\times2}{1+2}=\dfrac{39}{3}=13$ .

La médiane

On range toujours les données dans l’ordre croissant d’abord.
Si l’effectif total $N$ est impair, la médiane est la donnée de rang $\dfrac{N+1}{2}$ . Pour $4$ , $7$ , $8$ , $9$ , $11$ , $12$ , $15$ ( $N=7$ ), c’est la $4^{\text{e}}$ donnée : $9$ .
Si $N$ est pair, on prend la moyenne des données de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$ . Pour $4$ , $7$ , $8$ , $9$ , $11$ , $12$ , $15$ , $20$ ( $N=8$ ), c’est $\dfrac{9+11}{2}=10$ , qui n’est pas une donnée de la série.

Moyenne et médiane ne disent pas la même chose. Pour les prix $3$ , $4$ , $4$ , $5$ et $34$ €, la moyenne vaut $10$ € mais la médiane $4$ € : une valeur extrême tire la moyenne, pas la médiane.

Les effectifs cumulés

L’effectif cumulé d’une valeur est le nombre de données inférieures ou égales à cette valeur. On l’obtient en ajoutant les effectifs de gauche à droite, une fois les valeurs rangées dans l’ordre croissant. Le dernier effectif cumulé est l’effectif total.

Buts marqués	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Effectif (matchs)	$2$	$4$	$5$	$3$	$1$
Effectif cumulé	$2$	$6$	$11$	$14$	$15$

Lecture : $11$ matchs sur $15$ ont eu au plus $2$ buts. Pour la médiane, on cherche le rang $\dfrac{15+1}{2}=8$ : les matchs de rang $7$ à $11$ ont eu $2$ buts, donc la médiane vaut $2$ buts.

Le diagramme circulaire

Dans un diagramme circulaire, l’angle de chaque secteur est proportionnel à l’effectif. Le disque entier, $360^\circ$ , représente l’effectif total $N$ .

\text{angle}=\text{effectif}\times\dfrac{360}{N}

Calcule l’effectif total $N$ .
Calcule l’angle pour une donnée : $\dfrac{360}{N}$ degrés.
Multiplie par chaque effectif, puis vérifie que la somme des angles fait $360^\circ$ .
Trace les secteurs au rapporteur, l’un après l’autre.

Pour un diagramme semi-circulaire, on remplace $360^\circ$ par $180^\circ$ .

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Moyenne et médiane d’un tableau
On a demandé à $25$ élèves leur nombre de frères et sœurs.
Frères et sœurs $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
Effectif $5$ $9$ $6$ $3$ $2$
Calcule la moyenne, puis la médiane de cette série.
Solution
Moyenne pondérée : chaque valeur compte autant de fois que son effectif. La somme des produits vaut $0\times5+1\times9+2\times6+3\times3+4\times2=38$ , donc :
$\text{moyenne}=\dfrac{38}{25}=1{,}52$
Effectifs cumulés : $5$ , $14$ , $20$ , $23$ , $25$ . L’effectif total est impair : la médiane est la donnée de rang $\dfrac{25+1}{2}=13$ .
Les rangs $6$ à $14$ correspondent à $1$ frère ou sœur, donc la médiane vaut $1$ : au moins la moitié des élèves ont au plus $1$ frère ou sœur.

Frères et sœurs	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Effectif	$5$	$9$	$6$	$3$	$2$

Exemple 2

Construire un diagramme circulaire

Sport préféré de $30$ élèves : football $12$ , basket $8$ , natation $6$ , autre $4$ . Calcule les angles du diagramme circulaire.

Solution

Un élève correspond à $\dfrac{360}{30}=12^\circ$ .

Sport	Effectif	Angle
Football	$12$	$12\times12=144^\circ$
Basket	$8$	$8\times12=96^\circ$
Natation	$6$	$6\times12=72^\circ$
Autre	$4$	$4\times12=48^\circ$

Vérification : $144+96+72+48=360$ . On trace ensuite les secteurs au rapporteur.

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Une moyenne avec des nombres négatifs
Températures relevées à midi pendant une semaine, en degrés Celsius : $3$ ; $-2$ ; $0$ ; $5$ ; $7$ ; $4$ ; $-3$ . Calcule la température moyenne.
Voir le corrigé
Somme : $3-2+0+5+7+4-3=14$ . Il y a $7$ relevés.
Moyenne : $\dfrac{14}{7}=2$ . La température moyenne à midi est de $2$ degrés Celsius.
Exercice 2
Des notes avec coefficients
Inès a obtenu $14$ (coefficient $2$ ), $9$ (coefficient $1$ ) et $12$ (coefficient $3$ ).
1. Calcule sa moyenne, arrondie au centième.
2. Un dernier contrôle de coefficient $2$ arrive. Quelle note doit-elle obtenir pour avoir exactement $13$ de moyenne ?
Voir le corrigé
1. $\dfrac{14\times2+9\times1+12\times3}{2+1+3}=\dfrac{73}{6}\approx12{,}17$ .
2. Avec le nouveau contrôle, la somme des coefficients vaut $8$ . Pour $13$ de moyenne, il faut $13\times8=104$ points. Elle en a $73$ , il manque $31$ points, qui comptent double : la note doit être $\dfrac{31}{2}=15{,}5$ . Vérification : $\dfrac{73+2\times15{,}5}{8}=\dfrac{104}{8}=13$ .
Exercice 3
Médiane d’un effectif pair
Temps de trajet de $10$ élèves, en minutes : $12$ ; $25$ ; $8$ ; $15$ ; $30$ ; $10$ ; $18$ ; $22$ ; $14$ ; $9$ .
1. Détermine la médiane et interprète-la.
2. Calcule la moyenne. Pourquoi est-elle plus grande que la médiane ?
Voir le corrigé
1. Rangée : $8$ ; $9$ ; $10$ ; $12$ ; $14$ ; $15$ ; $18$ ; $22$ ; $25$ ; $30$ . L’effectif est pair : la médiane est la moyenne des $5^{\text{e}}$ et $6^{\text{e}}$ données, $\dfrac{14+15}{2}=14{,}5$ min. La moitié des élèves mettent moins de $14{,}5$ minutes, l’autre moitié plus.
2. Somme : $163$ , donc moyenne $\dfrac{163}{10}=16{,}3$ min. Les grandes valeurs, $25$ et $30$ minutes, tirent la moyenne vers le haut, mais pas la médiane.
Exercice 4
Lire des effectifs cumulés
Nombre de livres lus pendant les vacances par $21$ élèves :
Livres $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
Effectif $3$ $5$ $6$ $4$ $2$ $1$
1. Calcule les effectifs cumulés.
2. Combien d’élèves ont lu au plus $2$ livres ? Plus de $3$ livres ?
3. Détermine la médiane.
Voir le corrigé
1. Effectifs cumulés : $3$ ; $8$ ; $14$ ; $18$ ; $20$ ; $21$ .
2. Au plus $2$ livres : l’effectif cumulé de $2$ , soit $14$ élèves. Plus de $3$ livres : $21-18=3$ élèves.
3. Rang de la médiane : $\dfrac{21+1}{2}=11$ . Comme $8<11\leq14$ , le $11^{\text{e}}$ élève a lu $2$ livres : la médiane vaut $2$ livres.
Exercice 5
Retrouver des effectifs à partir des angles
Un diagramme circulaire représente le moyen de transport de $40$ élèves : bus, à pied ou vélo. Le secteur du bus mesure $117^\circ$ et $25\,\%$ des élèves viennent à pied.
1. Combien d’élèves prennent le bus ?
2. Combien d’élèves viennent à pied, et quel est l’angle de leur secteur ?
3. Déduis-en l’effectif et l’angle du vélo.
Voir le corrigé
1. Un élève correspond à $\dfrac{360}{40}=9^\circ$ . Bus : $117\div9=13$ élèves.
2. À pied : $25\,\%$ de $40$ , soit $10$ élèves, et $10\times9=90^\circ$ (un quart du disque).
3. Vélo : $40-13-10=17$ élèves, soit $17\times9=153^\circ$ . Vérification : $117+90+153=360$ .

Livres	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Effectif	$3$	$5$	$6$	$4$	$2$	$1$

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Les erreurs viennent souvent d’un tableau lu trop vite ou d’une série qu’on a oublié de ranger.

Oublier les effectifs
Dans un tableau, chaque valeur compte autant de fois que son effectif : on additionne les produits valeur × effectif, pas seulement les valeurs.
Diviser par le mauvais nombre
On divise par l’effectif total (ou la somme des coefficients), pas par le nombre de valeurs différentes du tableau.
Chercher la médiane sans ranger
La médiane se lit sur une série rangée dans l’ordre croissant. Sur la série brute, la donnée du milieu ne veut rien dire.
Prendre la colonne du milieu
Dans un tableau, la médiane n’est pas la valeur de la colonne centrale : on cherche la donnée de rang du milieu, avec les effectifs cumulés.
Confondre rang et valeur
$\dfrac{N+1}{2}$ donne le rang de la médiane, pas sa valeur. Avec $21$ données, la médiane est la $11^{\text{e}}$ donnée, pas le nombre $11$ .
Diviser 360 par le nombre de secteurs
L’angle d’une donnée vaut $\dfrac{360}{N}$ , où $N$ est l’effectif total. Avec $4$ catégories, chaque secteur ne fait pas $90^\circ$ .

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Quatre séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, les statistiques se manipulent : tu règles la hauteur d’une barre pour atteindre une moyenne, tu places un trait qui laisse autant de données de chaque côté, tu cumules les colonnes d’un tableau et tu poses un rapporteur sur un disque. Au niveau 2, tu départages deux élèves et tu expliques l’erreur d’une copie. Au niveau 3, tu calcules et tu interprètes, avec Alphi, le coach IA, si tu bloques.

1Calculer une moyenne simple et pondérée
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu règles la distance d’une séance pour qu’Inès coure en moyenne $5$ km, tu fais monter des passagers pour obtenir $2{,}5$ personnes par voiture et tu places des coefficients pour obtenir la meilleure moyenne possible.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu ranges des situations selon la moyenne qu’elles demandent, simple ou pondérée, tu expliques l’erreur d’un élève qui a oublié les effectifs et tu dis ce que signifie une moyenne de $2{,}4$ enfants par famille.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des moyennes à partir de listes, de tableaux et de diagrammes, avec des températures négatives ou des coefficients, et tu trouves la note qui manque pour atteindre une moyenne.
2Déterminer la médiane d’une série statistique
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places un trait qui laisse autant de temps de chaque côté, tu retournes seulement les cartes utiles pour trouver la médiane et tu observes qu’une valeur extrême déplace la moyenne, pas la médiane.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu départages deux élèves sur la médiane lue dans un diagramme en bâtons, tu expliques l’erreur de Malo, qui a pris la colonne du milieu, et tu interprètes les médianes de deux groupes.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu détermines des médianes de séries d’effectif pair ou impair, en liste, en tableau ou en diagramme, et tu retrouves une note cachée à partir de la médiane.
3Calculer des effectifs cumulés et interpréter leur signification
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu touches les effectifs à additionner pour compter les élèves qui ont au plus $2$ animaux, tu places une élève dans une série rangée et tu cumules les colonnes jusqu’à dépasser la moitié de l’effectif.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition de l’effectif cumulé, tu départages deux élèves qui lisent un tableau d’âges et tu repères l’erreur de Zoé, qui a cumulé sans ranger les valeurs.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des effectifs cumulés, le rang de la médiane et des effectifs manquants, puis tu localises la médiane de $15$ ou $20$ données.
4Représenter des données avec un diagramme circulaire
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu règles l’angle d’un élève pour que $20$ parts remplissent le disque, tu poses un rapporteur pour mesurer un secteur et tu construis un diagramme semi-circulaire.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la règle qui donne l’angle d’un secteur, tu expliques pourquoi Max lit $130^\circ$ au lieu de $50^\circ$ et tu remets dans l’ordre les étapes de la construction.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules les angles d’un diagramme circulaire ou semi-circulaire, tu le construis au rapporteur et tu retrouves un effectif à partir d’un angle.

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Questions fréquentes

Comment calculer une moyenne pondérée ?

On multiplie chaque valeur par son effectif (ou son coefficient), on additionne ces produits, puis on divise par l’effectif total (ou la somme des coefficients). Par exemple, $11$ coefficient $1$ et $14$ coefficient $2$ donnent $\dfrac{11+28}{3}=13$ .

Comment trouver la médiane d’une série ?

On range les données dans l’ordre croissant. Si l’effectif total $N$ est impair, la médiane est la donnée de rang $\dfrac{N+1}{2}$ . S’il est pair, c’est la moyenne des deux données centrales, de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$ .

Quelle est la différence entre la moyenne et la médiane ?

La moyenne répartit le total de façon égale entre toutes les données. La médiane coupe la série rangée en deux moitiés. Une valeur extrême modifie la moyenne, mais presque jamais la médiane.

Comment calculer les angles d’un diagramme circulaire ?

On divise $360^\circ$ par l’effectif total pour obtenir l’angle d’une donnée, puis on multiplie par chaque effectif. La somme des angles doit faire $360^\circ$ .

À quoi servent les effectifs cumulés ?

Ils donnent le nombre de données inférieures ou égales à chaque valeur. On s’en sert pour répondre aux questions « au plus » ou « plus de », et pour trouver vite la donnée qui occupe le rang de la médiane.

Pour aller plus loin

L’angle d’un secteur est proportionnel à l’effectif : la page proportionnalité en 5e revient sur ce raisonnement. En 3e, les fréquences mènent aux probabilités. Les statistiques reviennent souvent au brevet, dans un tableau ou un graphique à lire : notre guide pour réviser le brevet de maths t’aide à t’y préparer. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Statistiques en 4e : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en 4e

L’essentiel du cours

Vocabulaire et moyenne

La médiane

Les effectifs cumulés

Le diagramme circulaire

Deux exemples résolus

Moyenne et médiane d’un tableau

Construire un diagramme circulaire

Cinq exercices corrigés

Une moyenne avec des nombres négatifs

Des notes avec coefficients

Médiane d’un effectif pair

Lire des effectifs cumulés

Retrouver des effectifs à partir des angles

Les pièges à éviter

Oublier les effectifs

Diviser par le mauvais nombre

Chercher la médiane sans ranger

Prendre la colonne du milieu

Confondre rang et valeur

Diviser 360 par le nombre de secteurs

Ce chapitre dans Mathflow

1Calculer une moyenne simple et pondérée

2Déterminer la médiane d’une série statistique

3Calculer des effectifs cumulés et interpréter leur signification

4Représenter des données avec un diagramme circulaire

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.