Cosinus en 4e : cours et exercices corrigés

Q: Comment calculer le cosinus d’un angle ?

Dans un triangle rectangle, on divise la longueur du côté adjacent à l’angle par la longueur de l’hypoténuse, toutes les deux dans la même unité. Le résultat est un nombre sans unité, compris entre 0 et 1.

Q: Comment trouver un angle avec le cosinus ?

On calcule d’abord le cosinus de l’angle, puis on utilise la touche \cos^{-1} de la calculatrice, réglée en mode degré. Par exemple, si \cos\widehat{A}=0{,}5, alors \widehat{A}=\cos^{-1}(0{,}5)=60^\circ.

Q: Comment calculer l’hypoténuse avec le cosinus ?

On écrit \cos\widehat{A}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}, puis on isole l’hypoténuse : elle est égale au côté adjacent divisé par \cos\widehat{A}.

Q: Pourquoi le cosinus est-il toujours plus petit que 1 ?

Parce que l’hypoténuse est le plus long côté du triangle rectangle : le côté adjacent est plus court, donc leur quotient est plus petit que 1.

Q: Quelle est la différence entre le cosinus en 4e et la trigonométrie en 3e ?

En 4e, on n’utilise que le cosinus. En 3e, on ajoute le sinus (côté opposé sur hypoténuse) et la tangente (côté opposé sur côté adjacent), ce qui permet de traiter tous les cas d’un triangle rectangle.

Programme de 4e

Ce que tu dois savoir faire en 4e

Le cosinus est ta première rencontre avec la trigonométrie. Les attendus de fin de 4e le citent parmi les connaissances de géométrie qui servent à calculer et à démontrer : dans un triangle rectangle, l’élève utilise le cosinus pour déterminer la mesure d’un angle.

Le chapitre s’appuie sur celui du théorème de Pythagore : même triangle rectangle, même hypoténuse. Il te demande de repérer les côtés par rapport à un angle, de calculer un cosinus, d’en déduire un angle avec la calculatrice, puis une longueur. En 3e, le sinus et la tangente complètent le cosinus : c’est la trigonométrie.

Dans Mathflow, le chapitre compte quatre compétences, chacune en trois niveaux.

Les 4 compétences du chapitre

Identifier les côtés d’un triangle rectangle en lien avec un angle
Calculer une valeur de cosinus à l’aide d’un rapport de longueurs
Calculer un angle à partir d’un cosinus donné
Déterminer une longueur à l’aide du cosinus

Cours

L’essentiel du cours

Le vocabulaire, la définition, puis les deux calculs du chapitre : un angle et une longueur.

Hypoténuse, côté adjacent, côté opposé

Si $ABC$ est rectangle en $B$ , pour l’angle $\widehat{A}$ : l’hypoténuse est $[AC]$ , le côté adjacent est $[AB]$ et le côté opposé est $[BC]$ .

Pour l’autre angle aigu, $\widehat{C}$ , l’hypoténuse ne change pas, mais les deux autres côtés échangent leurs rôles : $[BC]$ devient le côté adjacent et $[AB]$ le côté opposé.

La définition du cosinus

\cos\widehat{A}=\dfrac{\text{côté adjacent à }\widehat{A}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{AB}{AC}

Les deux longueurs doivent être dans la même unité : le cosinus est un nombre sans unité.
Le côté adjacent est plus court que l’hypoténuse, donc le cosinus d’un angle aigu est toujours compris entre $0$ et $1$ .
Le cosinus ne dépend que de l’angle, pas de la taille du triangle. Plus l’angle est grand, plus son cosinus est petit.

Pour t’en souvenir : « CAH », Cosinus égale Adjacent sur Hypoténuse.

Calculer un angle avec la calculatrice

La touche $\cos$ part d’un angle et donne son cosinus. La touche $\cos^{-1}$ (parfois notée Arccos ou Acs) fait le chemin inverse : elle part du cosinus et redonne l’angle aigu. La calculatrice doit être réglée en mode degré.

\cos\widehat{A}=0{,}8 \quad\text{donc}\quad \widehat{A}=\cos^{-1}(0{,}8)\approx36{,}9^\circ

On écrit le signe $\approx$ et on arrondit à la précision demandée : $36{,}9^\circ$ au dixième, $37^\circ$ au degré. Pour vérifier, $\cos 36{,}9^\circ\approx0{,}80$ : on retrouve le cosinus de départ.

Calculer une longueur

On part de l’égalité $\cos\widehat{A}=\dfrac{AB}{AC}$ , puis on isole la longueur cherchée, comme dans un produit en croix :

Pour le côté adjacent, on multiplie : $AB=AC\times\cos\widehat{A}$ . Avec $AC=10$ cm et $\widehat{A}=30^\circ$ , $AB=10\times\cos 30^\circ\approx8{,}7$ cm.
Pour l’hypoténuse, on divise : $AC=\dfrac{AB}{\cos\widehat{A}}$ . Avec $AB=6$ cm et $\widehat{A}=25^\circ$ , $AC=\dfrac{6}{\cos 25^\circ}\approx6{,}6$ cm.

Contrôle de cohérence : le côté adjacent trouvé doit être plus court que l’hypoténuse. Si ce n’est pas le cas, tu as multiplié au lieu de diviser, ou l’inverse.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
L’angle d’une échelle
Une échelle de $5$ m est posée contre un mur vertical. Son pied est sur un sol horizontal, à $1{,}5$ m du mur. Quel angle fait-elle avec le sol, au degré près ? Le fabricant recommande un angle compris entre $65^\circ$ et $75^\circ$ : est-il respecté ?
Solution
Le mur et le sol sont perpendiculaires : l’échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle dont l’échelle est l’hypoténuse.
Pour l’angle au pied de l’échelle, le côté adjacent est la distance au mur, $1{,}5$ m. Donc $\cos\alpha=\dfrac{1{,}5}{5}=0{,}3$ , où $\alpha$ est l’angle entre l’échelle et le sol.
$\alpha=\cos^{-1}(0{,}3)\approx73^\circ$ . Comme $65<73<75$ , la recommandation est respectée.
Exemple 2
Calculer une hypoténuse
Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$ , avec $DE=7$ cm et $\widehat{EDF}=40^\circ$ . Calcule $DF$ , arrondi au millimètre.
Solution
Pour l’angle $\widehat{EDF}$ , $[DE]$ est le côté adjacent et $[DF]$ l’hypoténuse :
$\cos 40^\circ=\dfrac{DE}{DF}=\dfrac{7}{DF}\quad\text{donc}\quad DF=\dfrac{7}{\cos 40^\circ}$
$DF\approx9{,}1$ cm. Le résultat est cohérent : l’hypoténuse est plus longue que le côté adjacent.

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, calculatrice en mode degré, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Nommer les côtés
Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ . Pour l’angle $\widehat{R}$ , nomme l’hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé. Écris ensuite $\cos\widehat{R}$ et $\cos\widehat{T}$ .
Voir le corrigé
L’angle droit est en $S$ : l’hypoténuse est $[RT]$ . Pour $\widehat{R}$ , le côté adjacent est $[RS]$ (il passe par $R$ ) et le côté opposé est $[ST]$ .
$\cos\widehat{R}=\dfrac{RS}{RT}$ et, pour l’autre angle aigu, $\cos\widehat{T}=\dfrac{ST}{RT}$ .
Exercice 2
Un cosinus avec deux unités
Le triangle $MNP$ est rectangle en $N$ , avec $MN=3{,}6$ cm et $MP=60$ mm. Calcule $\cos\widehat{M}$ en écriture décimale.
Voir le corrigé
On met les deux longueurs dans la même unité : $MP=60$ mm $=6$ cm.
$[MN]$ est le côté adjacent à $\widehat{M}$ et $[MP]$ l’hypoténuse : $\cos\widehat{M}=\dfrac{3{,}6}{6}=0{,}6$ .
Le résultat est bien compris entre $0$ et $1$ .
Exercice 3
Calculer deux angles
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB=8$ cm et $BC=11$ cm.
1. Calcule $\widehat{ABC}$ , arrondi au dixième de degré.
2. Déduis-en $\widehat{ACB}$ , arrondi au degré.
Voir le corrigé
1. Pour $\widehat{ABC}$ , $[AB]$ est le côté adjacent et $[BC]$ l’hypoténuse : $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{8}{11}$ , donc $\widehat{ABC}=\cos^{-1}(8\div11)\approx43{,}3^\circ$ .
2. La somme des angles d’un triangle vaut $180^\circ$ et l’angle en $A$ est droit, donc $\widehat{ACB}=90^\circ-\widehat{ABC}\approx46{,}66^\circ$ , soit $47^\circ$ au degré.
Exercice 4
Le fil d’un cerf-volant
Le fil d’un cerf-volant, tendu et rectiligne, mesure $40$ m et fait un angle de $55^\circ$ avec le sol horizontal. On note $P$ la main qui tient le fil (on la suppose au niveau du sol), $K$ le cerf-volant et $H$ le point du sol situé à la verticale de $K$ . Calcule la distance $PH$ , arrondie au dixième de mètre.
Voir le corrigé
Le triangle $PHK$ est rectangle en $H$ . Pour l’angle $\widehat{KPH}=55^\circ$ , $[PH]$ est le côté adjacent et le fil $[PK]$ l’hypoténuse.
$\cos 55^\circ=\dfrac{PH}{40}$ , donc $PH=40\times\cos 55^\circ\approx22{,}9$ m.
Le cerf-volant se trouve à la verticale d’un point situé à environ $22{,}9$ m de la main.
Exercice 5
Les angles d’un triangle isocèle
Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ , avec $AB=AC=6$ cm et $BC=8$ cm. Le point $H$ est le milieu de $[BC]$ .
1. Justifie que le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ .
2. Calcule $\widehat{ABC}$ , arrondi au degré.
3. Déduis-en $\widehat{BAC}$ , arrondi au degré.
Voir le corrigé
1. Dans un triangle isocèle en $A$ , la médiane issue de $A$ est aussi la hauteur : $(AH)$ est perpendiculaire à $(BC)$ , donc $ABH$ est rectangle en $H$ .
2. $BH=8\div2=4$ cm. Pour $\widehat{ABC}$ , $[BH]$ est le côté adjacent et $[AB]$ l’hypoténuse : $\cos\widehat{ABC}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ , donc $\widehat{ABC}=\cos^{-1}(2\div3)\approx48{,}19^\circ$ , soit $48^\circ$ au degré.
3. Les angles à la base sont égaux, donc $\widehat{BAC}=180^\circ-2\times\widehat{ABC}\approx180^\circ-96{,}38^\circ=83{,}62^\circ$ , soit $84^\circ$ au degré. On a gardé la valeur non arrondie de $\widehat{ABC}$ jusqu’au bout.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

La plupart des erreurs viennent du repérage des côtés ou de la calculatrice.

Prendre le côté opposé
Le côté adjacent passe par le sommet de l’angle. Si $ABC$ est rectangle en $A$ , $\cos\widehat{B}=\dfrac{AB}{BC}$ , et non $\dfrac{AC}{BC}$ .
Mettre l’hypoténuse en haut
Un cosinus plus grand que $1$ , comme $1{,}2$ , signale presque toujours une fraction renversée : l’hypoténuse va au dénominateur.
Oublier le mode degré
Si la calculatrice n’est pas réglée en mode degré, taper $\cos 60$ ne donne pas $0{,}5$ . Vérifie le réglage avant de commencer.
Confondre les touches
Pour trouver un angle, c’est $\cos^{-1}$ ; la touche $\cos$ part d’un angle. Et $\cos^{-1}(2)\div5$ n’est pas $\cos^{-1}(2\div5)$ .
Multiplier au lieu de diviser
L’hypoténuse s’obtient en divisant le côté adjacent par le cosinus. Un résultat plus court que le côté adjacent est forcément faux.
Mélanger les unités
$\dfrac{42 \text{ mm}}{6 \text{ cm}}$ ne vaut pas $7$ : convertis d’abord, $\dfrac{4{,}2}{6}=0{,}7$ .

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Quatre séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, le cosinus se manipule : tu poses des étiquettes sur les côtés, tu fais tourner un côté jusqu’à une hypoténuse graduée, tu tapes le calcul sur une calculatrice et tu inclines une échelle contre un mur. Au niveau 2, tu départages deux élèves et tu traques la ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu calcules des cosinus, des angles et des longueurs, avec Alphi, le coach IA, si tu bloques.

1Identifier les côtés d’un triangle rectangle en lien avec un angle
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu poses les étiquettes hypoténuse, adjacent et opposé sur les bons côtés, tu places un sommet pour qu’un côté devienne adjacent et tu complètes le tableau des côtés pour les deux angles aigus.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes les définitions, tu départages deux élèves sur le côté adjacent et tu repères l’erreur de Léo, qui a pris le côté opposé pour écrire $\cos\widehat{B}$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu retrouves le côté adjacent ou opposé dans des figures plus chargées, une échelle contre un mur ou un triangle dans un triangle, et tu écris un cosinus avec les segments de la figure.
2Calculer une valeur de cosinus à l’aide d’un rapport de longueurs
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu fais tourner un côté jusqu’à l’hypoténuse graduée pour lire $\cos\widehat{A}$ , tu mesures le côté qui manque avec une règle et tu touches les résultats impossibles, plus grands que $1$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu trouves la première ligne fausse d’une copie et tu expliques ce que trahissent $\cos\widehat{A}=1{,}2$ ou $\dfrac{42}{6}=7$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des cosinus en écriture décimale, arrondie ou fractionnaire, après une conversion d’unités, dans un losange ou dans un triangle isocèle.
3Calculer un angle à partir d’un cosinus donné
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places un point pour que l’angle mesure $\cos^{-1}(0{,}8)$ , tu tapes le calcul sur la calculatrice de la scène et tu cherches un nombre pour lequel la touche $\cos^{-1}$ affiche « Erreur ».
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu départages deux élèves : diviser le cosinus par $2$ divise-t-il l’angle par $2$ ? Tu expliques pourquoi $\cos^{-1}(2)\div5$ affiche « Erreur » et comment vérifier un angle trouvé.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des angles au degré ou au dixième de degré à partir d’un cosinus ou de deux longueurs, jusqu’à un toboggan ou un triangle où il faut d’abord trouver l’hypoténuse.
4Déterminer une longueur à l’aide du cosinus
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu transformes une égalité pour isoler l’hypoténuse, tu choisis le mode de la calculatrice qui donne la bonne longueur et tu inclines une échelle pour que son pied soit à $1{,}3$ m du mur.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la règle « multiplier ou diviser par le cosinus », tu trouves la ligne fausse d’un calcul et tu juges un côté adjacent plus long que l’hypoténuse.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des longueurs arrondies : un toboggan, une rampe, la diagonale d’un rectangle, la base d’un triangle isocèle, la distance parcourue par un avion qui monte.

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Questions fréquentes

Comment calculer le cosinus d’un angle ?

Dans un triangle rectangle, on divise la longueur du côté adjacent à l’angle par la longueur de l’hypoténuse, toutes les deux dans la même unité. Le résultat est un nombre sans unité, compris entre $0$ et $1$ .

Comment trouver un angle avec le cosinus ?

On calcule d’abord le cosinus de l’angle, puis on utilise la touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice, réglée en mode degré. Par exemple, si $\cos\widehat{A}=0{,}5$ , alors $\widehat{A}=\cos^{-1}(0{,}5)=60^\circ$ .

Comment calculer l’hypoténuse avec le cosinus ?

On écrit $\cos\widehat{A}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ , puis on isole l’hypoténuse : elle est égale au côté adjacent divisé par $\cos\widehat{A}$ .

Pourquoi le cosinus est-il toujours plus petit que 1 ?

Parce que l’hypoténuse est le plus long côté du triangle rectangle : le côté adjacent est plus court, donc leur quotient est plus petit que $1$ .

Quelle est la différence entre le cosinus en 4e et la trigonométrie en 3e ?

En 4e, on n’utilise que le cosinus. En 3e, on ajoute le sinus (côté opposé sur hypoténuse) et la tangente (côté opposé sur côté adjacent), ce qui permet de traiter tous les cas d’un triangle rectangle.

Pour aller plus loin

Le cosinus travaille souvent avec le théorème de Pythagore en 4e, qui donne le troisième côté d’un triangle rectangle. En 3e, la page trigonométrie ajoute le sinus et la tangente. Ces calculs reviennent dans les problèmes de géométrie du brevet : notre guide pour réviser le brevet de maths t’aide à t’y préparer. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Cosinus en 4e : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en 4e

L’essentiel du cours

Hypoténuse, côté adjacent, côté opposé

La définition du cosinus

Calculer un angle avec la calculatrice

Calculer une longueur

Deux exemples résolus

L’angle d’une échelle

Calculer une hypoténuse

Cinq exercices corrigés

Nommer les côtés

Un cosinus avec deux unités

Calculer deux angles

Le fil d’un cerf-volant

Les angles d’un triangle isocèle

Les pièges à éviter

Prendre le côté opposé

Mettre l’hypoténuse en haut

Oublier le mode degré

Confondre les touches

Multiplier au lieu de diviser

Mélanger les unités

Ce chapitre dans Mathflow

1Identifier les côtés d’un triangle rectangle en lien avec un angle

2Calculer une valeur de cosinus à l’aide d’un rapport de longueurs

3Calculer un angle à partir d’un cosinus donné

4Déterminer une longueur à l’aide du cosinus

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.