Transformations en 3e : cours et exercices corrigés

Q: Quelles sont les transformations au programme de 3e ?

La symétrie axiale, la symétrie centrale, la translation, la rotation et l’homothétie. La rotation et l’homothétie sont les nouveautés de l’année ; les symétries et la translation, vues en 5e et en 4e, servent à calculer des longueurs et des angles.

Q: Comment construire l’image d’un point par une homothétie ?

On trace la droite (OM). On place M' sur cette droite à la distance |k|\times OM de O : du même côté que M si k>0, de l’autre côté si k<0.

Q: Que devient l’aire d’une figure par une homothétie ?

Elle est multipliée par k^2. Avec un rapport -3, les longueurs sont multipliées par 3 et l’aire par 9. Les volumes, eux, sont multipliés par |k|^3.

Q: Quelle est la différence entre une rotation et une symétrie centrale ?

La symétrie de centre O est un cas particulier de rotation : la rotation de centre O et d’angle 180^\circ, dans un sens ou dans l’autre. Une rotation peut avoir n’importe quel angle.

Q: Quelles transformations conservent les longueurs ?

Les symétries, la translation et la rotation conservent les longueurs, les angles et les aires. L’homothétie conserve les angles mais multiplie les longueurs par |k|.

Programme de 3e

Ce que tu dois savoir faire en 3e

Le chapitre des transformations rassemble tout ce que tu as vu au collège : la symétrie axiale depuis l’école, la symétrie centrale en 5e, la translation en 4e. En 3e arrivent la rotation, qui fait tourner une figure autour d’un point, et l’homothétie, qui l’agrandit ou la réduit à partir d’un centre.

Les attendus de fin de 3e demandent de transformer une figure par rotation et par homothétie, de comprendre leurs effets, de reconnaître ces transformations dans des frises, des pavages et des rosaces, et de calculer des longueurs, des aires, des angles et des volumes grâce à ce que chaque transformation conserve. Dans une homothétie de rapport $k$ , tu dois savoir calculer l’aire de l’image connaissant l’aire de départ.

Dans Mathflow, le chapitre compte cinq compétences, chacune en trois niveaux.

Les 5 compétences du chapitre

Reconnaître et construire une symétrie axiale ou centrale
Utiliser une translation pour déplacer une figure
Construire l’image d’une figure par une rotation donnée
Construire et interpréter une homothétie de rapport positif ou négatif
Calculer les longueurs et aires après une homothétie

Cours

L’essentiel du cours

La définition de chaque transformation, la façon de la construire et ce qu’elle conserve.

Symétrie axiale et symétrie centrale

Symétrie axiale : un pliage le long de $(d)$ , comme dans un miroir. On trace la perpendiculaire à $(d)$ passant par $M$ , puis on reporte la même distance de l’autre côté.
Symétrie centrale : un demi-tour autour de $O$ . On trace la demi-droite $[MO)$ et on reporte $OM'=OM$ au-delà de $O$ .

Translation et rotation

La translation qui transforme $A$ en $B$ fait glisser chaque point dans la même direction, le même sens et sur la même longueur que de $A$ à $B$ . L’image $M'$ d’un point $M$ est telle que $ABM'M$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

La rotation de centre $O$ et d’angle $\alpha$ , dans un sens donné, fait tourner chaque point autour de $O$ : l’image $M'$ de $M$ vérifie $OM'=OM$ et $\widehat{MOM'}=\alpha$ , dans le sens indiqué.

Trace le segment $[OM]$ .
Avec le rapporteur centré en $O$ , mesure l’angle $\alpha$ à partir de $[OM]$ , dans le bon sens.
Au compas, reporte la longueur $OM$ sur la nouvelle demi-droite : c’est $M'$ .

Le sens horaire est celui des aiguilles d’une montre ; l’autre est le sens antihoraire. Une rotation d’angle $180^\circ$ est une symétrie centrale.

L’homothétie

Si $k>1$ ou $k<-1$ , la figure est agrandie ; si $-1<k<1$ , elle est réduite.
Avec $k=-1$ , on retrouve la symétrie de centre $O$ .
Un point, son image et le centre sont alignés : pour retrouver le centre d’une homothétie, on trace deux droites $(AA')$ et $(BB')$ , qui se coupent en $O$ .

Les configurations de Thalès sont des homothéties : si $O$ , $A$ , $C$ sont alignés, si $O$ , $B$ , $D$ sont alignés et si $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, alors le triangle $OCD$ est l’image de $OAB$ par une homothétie de centre $O$ .

Ce que les transformations conservent

	Symétries, translation, rotation	Homothétie de rapport $k$
Longueurs	conservées	multipliées par $\|k\|$
Aires	conservées	multipliées par $k^2$
Volumes	conservés	multipliés par $\|k\|^3$
Angles	conservés	conservés

Toutes ces transformations conservent aussi l’alignement et le parallélisme. Avec une symétrie, une translation ou une rotation, la figure image est superposable à la figure de départ ; avec une homothétie, elle a la même forme mais pas la même taille, sauf si $k=1$ ou $k=-1$ .

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Placer l’image d’un point par une homothétie
On donne $OA=2$ cm. Place $A'$ , image de $A$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $-3$ , puis calcule $AA'$ . Que vaudrait $AA'$ avec un rapport de $3$ ?
Solution
Le rapport est négatif : $A'$ est sur la droite $(OA)$ , de l’autre côté de $O$ , avec $OA'=3\times OA=6$ cm.
$O$ est entre $A$ et $A'$ , donc $AA'=AO+OA'=2+6=8$ cm.
Avec un rapport de $3$ , $A'$ serait du même côté que $A$ : $AA'=OA'-OA=6-2=4$ cm.
Exemple 2
Longueur et aire de l’image
Le triangle $ABC$ a une aire de $12$ cm² et $AB=5$ cm. On construit son image $A'B'C'$ par une homothétie de rapport $-2{,}5$ . Calcule $A'B'$ et l’aire de $A'B'C'$ .
Solution
Les longueurs sont multipliées par $\lvert -2{,}5\rvert=2{,}5$ : $A'B'=2{,}5\times5=12{,}5$ cm.
Les aires sont multipliées par $(-2{,}5)^2=6{,}25$ : l’aire de $A'B'C'$ vaut $6{,}25\times12=75$ cm².

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
Nommer la transformation
Nomme la transformation décrite, avec ses éléments.
1. On fait glisser la figure de $5$ cm vers la droite, horizontalement.
2. On fait faire un demi-tour à la figure autour du point $O$ .
3. On retourne la figure comme dans un miroir, le long de la droite $(d)$ .
4. On fait tourner la figure d’un quart de tour autour de $O$ , dans le sens des aiguilles d’une montre.
5. On agrandit la figure trois fois à partir de $O$ , du même côté de $O$ .
Voir le corrigé
1. Une translation : direction horizontale, sens vers la droite, longueur $5$ cm.
2. La symétrie de centre $O$ , qui est aussi la rotation de centre $O$ d’angle $180^\circ$ .
3. La symétrie d’axe $(d)$ .
4. La rotation de centre $O$ , d’angle $90^\circ$ , dans le sens horaire.
5. L’homothétie de centre $O$ et de rapport $3$ .
Exercice 2
Dans un repère
Dans un repère, on donne $A(1\,;\,2)$ , $B(4\,;\,3)$ et $C(-2\,;\,1)$ .
1. Donne les coordonnées de $D$ , image de $C$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ .
2. Donne les coordonnées du symétrique de $C$ par rapport à l’origine $O$ du repère.
3. Donne les coordonnées du symétrique de $C$ par rapport à l’axe des ordonnées.
Voir le corrigé
1. De $A$ à $B$ , on avance de $3$ en abscisse et de $1$ en ordonnée. On fait le même déplacement à partir de $C$ : $D(1\,;\,2)$ .
2. $O$ est le milieu de $[CC']$ : on change le signe des deux coordonnées, $C'(2\,;\,-1)$ .
3. L’axe des ordonnées doit être la médiatrice de $[CC'']$ : on garde l’ordonnée et on change le signe de l’abscisse, $C''(2\,;\,1)$ .
Exercice 3
Une rotation de 60°
La rotation de centre $O$ et d’angle $60^\circ$ transforme le triangle $ABC$ en $A'B'C'$ . On sait que $OA=5$ cm et $\widehat{ABC}=47^\circ$ .
1. Quelle est la nature du triangle $OAA'$ ? Calcule $AA'$ .
2. Combien mesure l’angle $\widehat{A'B'C'}$ ?
Voir le corrigé
1. $OA'=OA=5$ cm et $\widehat{AOA'}=60^\circ$ . Le triangle $OAA'$ est isocèle en $O$ , donc ses deux autres angles mesurent $\dfrac{180-60}{2}=60^\circ$ : il est équilatéral, et $AA'=5$ cm.
2. Une rotation conserve les angles : $\widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC}=47^\circ$ .
Exercice 4
Retrouver le rapport d’une homothétie
Une homothétie de centre $O$ transforme le segment $[AB]$ , de longueur $10$ cm, en $[A'B']$ , de longueur $4$ cm. Les points $A$ et $A'$ sont de part et d’autre de $O$ .
1. Donne le rapport $k$ de l’homothétie.
2. Le triangle $OAB$ a une aire de $35$ cm². Quelle est l’aire de son image $OA'B'$ ?
Voir le corrigé
1. $|k|=\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{4}{10}=0{,}4$ . Comme $A$ et $A'$ sont de part et d’autre de $O$ , le rapport est négatif : $k=-0{,}4$ .
2. Les aires sont multipliées par $k^2=0{,}16$ : $0{,}16\times35=5{,}6$ cm².
Exercice 5
La maquette d’un aquarium
Un aquarium a la forme d’un pavé droit de $60$ cm de long, $30$ cm de large et $40$ cm de haut. Une maquette est son image par une homothétie de rapport $0{,}5$ .
1. Donne les dimensions de la maquette.
2. Calcule le volume de l’aquarium et celui de la maquette, en litres.
3. Tom pense que la maquette contient la moitié de l’eau de l’aquarium. A-t-il raison ?
Voir le corrigé
1. Chaque longueur est multipliée par $0{,}5$ : la maquette mesure $30$ cm sur $15$ cm sur $20$ cm.
2. Aquarium : $60\times30\times40=72\,000$ cm³, soit $72$ L (car $1$ L $=1\,000$ cm³). Maquette : $30\times15\times20=9\,000$ cm³, soit $9$ L.
3. Non. Les volumes sont multipliés par $0{,}5^3=0{,}125$ : $72\times0{,}125=9$ . La maquette contient $8$ fois moins d’eau, pas $2$ fois moins.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Les erreurs portent surtout sur les deux nouveautés de l’année : l’homothétie et la rotation.

Multiplier l’aire par $k$
Avec un rapport $3$ , les longueurs sont multipliées par $3$ , mais l’aire par $3^2=9$ et le volume par $3^3=27$ .
Oublier le signe du rapport
Avec $k=-2$ , l’image est de l’autre côté de $O$ et les longueurs sont multipliées par $2$ : une longueur n’est jamais négative.
Confondre les deux symétries
Pour la symétrie d’axe $(d)$ , on passe par une perpendiculaire à $(d)$ ; pour la symétrie de centre $O$ , on passe par $O$ , qui devient le milieu de $[MM']$ .
Tourner dans le mauvais sens
Le sens horaire est celui des aiguilles d’une montre. Un quart de tour horaire et un quart de tour antihoraire ne donnent pas la même image.
Mesurer l’angle au mauvais sommet
L’angle d’une rotation se mesure au centre : c’est $\widehat{MOM'}$ , et non un angle de sommet $M$ .
Prendre tout agrandissement pour une homothétie
Pour une homothétie, chaque droite $(AA')$ , $(BB')$ , $(CC')$ passe par le centre. Une figure agrandie, mais déplacée n’importe où, n’est pas l’image par une homothétie.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Cinq séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Les transformations se comprennent en bougeant les figures : dans les séries, tu fais glisser un drapeau, tu fais tourner un motif autour d’un centre, tu règles le rapport d’une homothétie jusqu’à ce que l’image recouvre le pointillé. Au niveau 2, tu départages deux élèves et tu repères l’étape fausse d’une construction. Au niveau 3, tu calcules des coordonnées, des angles, des longueurs, des aires et des volumes, avec Alphi, le coach IA, si tu bloques.

1Reconnaître et construire une symétrie axiale ou centrale
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places l’image d’un point ou d’un triangle par une symétrie centrale, tu trouves le centre de symétrie d’une lettre et tu colories un motif pour qu’il ait un centre de symétrie.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes les définitions du centre et de l’axe, tu départages deux élèves et tu décris l’erreur de Noé dans une symétrie centrale.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules les coordonnées de l’image d’un point, tu traces l’axe d’une symétrie à partir d’un point et de son image et tu retrouves le centre d’une symétrie.
2Utiliser une translation pour déplacer une figure
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu fais glisser un drapeau ou un triangle jusqu’à son image, tu places l’image d’un point et tu enchaînes deux translations.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu décris une translation par sa direction, son sens et sa longueur, tu repères le sommet mal placé dans la construction de Léa et tu relies translation et parallélogramme.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules les coordonnées d’une image, tu retrouves les translations dans un pavage et tu calcules une longueur ou un périmètre grâce à la translation.
3Construire l’image d’une figure par une rotation donnée
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu construis l’image d’une figure par un quart de tour, tu fais tourner une figure autour de $O$ jusqu’au pointillé et tu choisis l’angle d’une rosace de $5$ pétales.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition de l’image d’un point par une rotation, tu repères l’étape où Léo se trompe et tu relies symétrie centrale et rotation.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules les coordonnées d’une image par un quart de tour, l’angle d’une rotation dans un octogone régulier et le nombre de motifs d’une rosace.
4Construire et interpréter une homothétie de rapport positif ou négatif
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu règles le rapport $k$ pour que l’image recouvre le pointillé, tu places l’image d’un point pour un rapport $-2$ et tu traces deux droites pour trouver le centre.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la définition, tu indiques l’effet de chaque rapport sur la taille de la figure et tu expliques pourquoi un agrandissement n’est pas toujours une homothétie.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu trouves le rapport d’une homothétie dans une configuration de Thalès, tu calcules les coordonnées d’une image et tu construis l’image d’un triangle pour un rapport $-2$ .
5Calculer les longueurs et aires après une homothétie
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu règles un rapport pour obtenir une longueur donnée, tu recouvres une image avec des copies du triangle de départ et tu choisis le rapport qui multiplie une aire par $4$ .
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la règle des longueurs et des aires, tu cherches la première erreur d’un calcul et tu complètes un tableau des coefficients pour chaque rapport.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des longueurs, des périmètres et des aires d’images, l’aire réelle d’une chambre sur un plan et le volume d’une cuve à partir de sa maquette.

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Questions fréquentes

Quelles sont les transformations au programme de 3e ?

La symétrie axiale, la symétrie centrale, la translation, la rotation et l’homothétie. La rotation et l’homothétie sont les nouveautés de l’année ; les symétries et la translation, vues en 5e et en 4e, servent à calculer des longueurs et des angles.

Comment construire l’image d’un point par une homothétie ?

On trace la droite $(OM)$ . On place $M'$ sur cette droite à la distance $|k|\times OM$ de $O$ : du même côté que $M$ si $k>0$ , de l’autre côté si $k<0$ .

Que devient l’aire d’une figure par une homothétie ?

Elle est multipliée par $k^2$ . Avec un rapport $-3$ , les longueurs sont multipliées par $3$ et l’aire par $9$ . Les volumes, eux, sont multipliés par $|k|^3$ .

Quelle est la différence entre une rotation et une symétrie centrale ?

La symétrie de centre $O$ est un cas particulier de rotation : la rotation de centre $O$ et d’angle $180^\circ$ , dans un sens ou dans l’autre. Une rotation peut avoir n’importe quel angle.

Quelles transformations conservent les longueurs ?

Les symétries, la translation et la rotation conservent les longueurs, les angles et les aires. L’homothétie conserve les angles mais multiplie les longueurs par $|k|$ .

Pour aller plus loin

La symétrie axiale se construit dès la 6e : la page symétrie axiale en 6e en reprend les bases. L’homothétie est très proche du théorème de Thalès en 3e : les deux servent à calculer des longueurs dans des figures agrandies ou réduites. Au lycée, la translation conduit aux vecteurs en Seconde. Les transformations reviennent souvent au brevet, dans des frises et des pavages : notre guide pour réviser le brevet de maths t’aide à t’organiser. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Transformations en 3e : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en 3e

L’essentiel du cours

Symétrie axiale et symétrie centrale

Translation et rotation

L’homothétie

Ce que les transformations conservent

Deux exemples résolus

Placer l’image d’un point par une homothétie

Longueur et aire de l’image

Cinq exercices corrigés

Nommer la transformation

Dans un repère

Une rotation de 60°

Retrouver le rapport d’une homothétie

La maquette d’un aquarium

Les pièges à éviter

Multiplier l’aire par $k$

Oublier le signe du rapport

Confondre les deux symétries

Tourner dans le mauvais sens

Mesurer l’angle au mauvais sommet

Prendre tout agrandissement pour une homothétie

Ce chapitre dans Mathflow

1Reconnaître et construire une symétrie axiale ou centrale

2Utiliser une translation pour déplacer une figure

3Construire l’image d’une figure par une rotation donnée

4Construire et interpréter une homothétie de rapport positif ou négatif

5Calculer les longueurs et aires après une homothétie

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.

Transformations en 3e : cours, exemples et exercices

Symétrie axiale et symétrie centrale

Translation et rotation

L’homothétie

Ce que les transformations conservent

Placer l’image d’un point par une homothétie

Longueur et aire de l’image

Nommer la transformation

Dans un repère

Une rotation de 60°

Retrouver le rapport d’une homothétie

La maquette d’un aquarium

Multiplier l’aire par kkk

Oublier le signe du rapport

Confondre les deux symétries

Tourner dans le mauvais sens

Mesurer l’angle au mauvais sommet

Prendre tout agrandissement pour une homothétie

1Reconnaître et construire une symétrie axiale ou centrale

2Utiliser une translation pour déplacer une figure

3Construire l’image d’une figure par une rotation donnée

4Construire et interpréter une homothétie de rapport positif ou négatif

5Calculer les longueurs et aires après une homothétie

Les maths, c’est une question de flow.

Multiplier l’aire par $k$