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Maths · 6e · Géométrie

La symétrie axiale en 6e : cours, exemples et exercices

La symétrie axiale, c’est l’effet d’un pliage ou d’un miroir. En 6e, tu construis le symétrique d’un point et d’une figure, tu utilises ce que la symétrie conserve et tu trouves les axes de symétrie des figures. Voici le cours, deux exemples résolus et cinq exercices corrigés.

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(d)HABCA′B′C′
Le symétrique du triangle ABCABC par rapport à (d)(d) : CC et C′C' sont sur une perpendiculaire à (d)(d), à la même distance de l’axe.

Programme de 6e

Ce que tu dois savoir faire en 6e

La symétrie axiale est le grand chapitre de géométrie de la 6e. À l’école, tu as complété des figures par pliage ou sur quadrillage. Le programme de 6e entré en vigueur à la rentrée 2025 en donne la définition précise : le symétrique d’un point MM par rapport à une droite (d)(d) est le point M′M' tel que (d)(d) soit la médiatrice du segment [MM′][MM'].

Tu dois construire le symétrique d’un point ou d’une figure avec des instruments (équerre et règle graduée, compas, quadrillage), savoir que la symétrie conserve les longueurs, les angles et les aires, et reconnaître les axes de symétrie des figures usuelles. Ces propriétés serviront dans tout le collège, jusqu’aux transformations en 3e.

Dans Mathflow, le chapitre compte cinq compétences, chacune en trois niveaux.

Les 5 compétences du chapitre

  1. Connaître la définition et les propriétés de la symétrie axiale
  2. Construire le symétrique d’un point ou d’un segment
  3. Construire le symétrique d’une figure
  4. Connaître les propriétés des figures symétriques
  5. Identifier et tracer un axe de symétrie

Cours

L’essentiel du cours

La définition, la construction à l’équerre, ce que la symétrie conserve et les axes de symétrie des figures usuelles.

Le symétrique d’un point

  • La droite (MM′)(MM') est perpendiculaire à (d)(d).
  • MM et M′M' sont à la même distance de (d)(d) : si (MM′)(MM') coupe (d)(d) en HH, alors HM=HM′HM=HM' et MM′=2×HMMM'=2\times HM.
  • Si M′M' est le symétrique de MM, alors MM est le symétrique de M′M' : on dit que MM et M′M' sont symétriques par rapport à (d)(d).

En pliant la feuille le long de (d)(d), le point MM vient se poser sur M′M'. Tout point AA de l’axe est à la même distance de MM et de M′M' : AM=AM′AM=AM'.

Construire le symétrique d’un point

  1. Avec l’équerre posée le long de l’axe (d)(d), trace la perpendiculaire à (d)(d) qui passe par MM. Elle coupe (d)(d) en HH.
  2. Mesure HMHM, à la règle graduée ou avec le compas.
  3. Reporte cette longueur de l’autre côté de (d)(d), sur la perpendiculaire : tu obtiens M′M', avec HM′=HMHM'=HM.

Sur un quadrillage, on compte les carreaux : si l’axe suit une ligne du quadrillage, on compte à angle droit ; s’il suit une diagonale des carreaux, la perpendiculaire est l’autre diagonale. Au compas seul, on trace deux cercles centrés sur l’axe et passant par MM : leur second point commun est M′M'.

Le symétrique d’une figure et ce qui est conservé

  • Polygone : on construit l’image de chaque sommet, puis on les relie dans le même ordre.
  • Cercle : l’image est un cercle de même rayon, dont le centre est l’image du centre.
  • Droite : l’image est une droite. Si la droite coupe l’axe en II, son image passe aussi par II, qui ne bouge pas.

Par conséquent, l’image d’un carré est un carré de même côté, l’image d’un triangle rectangle est un triangle rectangle, et l’image du milieu d’un segment est le milieu du segment image.

Les axes de symétrie d’une figure

Une droite est un axe de symétrie d’une figure si la figure est sa propre image par la symétrie d’axe cette droite : en pliant le long de l’axe, les deux moitiés se superposent exactement.

FigureAxes de symétrie
Segment22 : sa médiatrice et la droite qui le porte
Angle11 : sa bissectrice, qui le partage en deux angles égaux
Triangle isocèle (non équilatéral)11 : la médiatrice de la base, qui passe par le sommet principal
Triangle équilatéral33 : un par sommet
Rectangle (non carré)22 : les droites qui joignent les milieux des côtés opposés
Losange (non carré)22 : ses diagonales
Carré44 : ses deux diagonales et les deux droites qui joignent les milieux des côtés opposés
Cercleune infinité : toutes les droites qui passent par son centre

Attention : les diagonales d’un rectangle qui n’est pas un carré ne sont pas des axes de symétrie. Elles le coupent en deux triangles identiques, mais le pliage ne les superpose pas.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

  1. Exemple 1

    Ces points sont-ils symétriques ?

    On considère une droite (d)(d).

    1. La droite (AB)(AB) est perpendiculaire à (d)(d) et la coupe en HH, avec AA et BB de part et d’autre de (d)(d), AH=3AH=3 cm et HB=2,5HB=2{,}5 cm. AA et BB sont-ils symétriques par rapport à (d)(d) ?
    2. Les points CC et DD sont tous les deux à 22 cm de (d)(d), de part et d’autre, mais la droite (CD)(CD) n’est pas perpendiculaire à (d)(d). Sont-ils symétriques ?

    Solution

    Pour que deux points soient symétriques, il faut deux conditions : le segment qui les relie est perpendiculaire à l’axe, et son milieu est sur l’axe.

    1. (AB)(AB) est bien perpendiculaire à (d)(d), mais AH≠HBAH\neq HB : HH n’est pas le milieu de [AB][AB]. Donc AA et BB ne sont pas symétriques.
    2. Les distances à l’axe sont égales, mais (CD)(CD) n’est pas perpendiculaire à (d)(d) : (d)(d) n’est pas la médiatrice de [CD][CD]. Donc CC et DD ne sont pas symétriques.

  2. Exemple 2

    Utiliser ce que la symétrie conserve

    Le triangle ABCABC est rectangle en AA, avec AB=3AB=3 cm, AC=4AC=4 cm et BC=5BC=5 cm. Le triangle A′B′C′A'B'C' est son image par une symétrie axiale. Le point MM est le milieu de [BC][BC].

    Donne B′C′B'C', le périmètre de A′B′C′A'B'C', la mesure de B′A′C′^\widehat{B'A'C'}, et ce que l’on sait de M′M', l’image de MM.

    Solution

    La symétrie conserve les longueurs : B′C′=BC=5B'C'=BC=5 cm, et le périmètre de A′B′C′A'B'C' est celui de ABCABC :

    3+4+5=12 cm3+4+5=12\text{ cm}

    Elle conserve les mesures d’angles : B′A′C′^=BAC^=90∘\widehat{B'A'C'}=\widehat{BAC}=90^\circ. L’image d’un triangle rectangle est donc un triangle rectangle.

    Elle conserve les milieux : M′M' est le milieu de [B′C′][B'C'], et B′M′=BM=2,5B'M'=BM=2{,}5 cm. On a trouvé tout cela sans rien construire.

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

  1. Exercice 1

    Distances et médiatrice

    M′M' est le symétrique de MM par rapport à (d)(d), et la droite (MM′)(MM') coupe (d)(d) en HH, avec MH=3,7MH=3{,}7 cm. Le point AA est sur (d)(d), et AM=5AM=5 cm.

    1. Que valent HM′HM' et MM′MM' ?
    2. Quelle est la position de (MM′)(MM') par rapport à (d)(d) ?
    3. Que vaut AM′AM' ? Justifie.
    4. Calcule le périmètre du triangle AMM′AMM'.
    Voir le corrigé
    1. HH est le milieu de [MM′][MM'] : HM′=HM=3,7HM'=HM=3{,}7 cm et MM′=2×3,7=7,4MM'=2\times3{,}7=7{,}4 cm.
    2. (MM′)(MM') est perpendiculaire à (d)(d), car (d)(d) est la médiatrice de [MM′][MM'].
    3. AA est sur l’axe, donc il est sa propre image. La symétrie conserve les longueurs, donc AM′=AM=5AM'=AM=5 cm.
    4. AM+AM′+MM′=5+5+7,4=17,4AM+AM'+MM'=5+5+7{,}4=17{,}4 cm.

  2. Exercice 2

    Devant un miroir

    Un miroir plan se comporte comme un axe de symétrie : ton reflet est ton symétrique. Tom est debout à 2,52{,}5 m d’un grand miroir.

    1. À quelle distance de son reflet se trouve-t-il ?
    2. Il recule de 11 m. À quelle distance de son reflet est-il maintenant ?
    Voir le corrigé
    1. Le reflet est à 2,52{,}5 m derrière le miroir : Tom est à 2×2,5=52\times2{,}5=5 m de son reflet.
    2. Tom est maintenant à 2,5+1=3,52{,}5+1=3{,}5 m du miroir, donc à 2×3,5=72\times3{,}5=7 m de son reflet. En reculant de 11 m, il s’éloigne de 22 m de son reflet.

  3. Exercice 3

    Image d’un carré et d’un cercle

    1. Le carré ABCDABCD a pour côté 33 cm. Quelle est la nature de son image A′B′C′D′A'B'C'D' par une symétrie axiale ? Donne son périmètre et son aire.
    2. Si l’axe passe par le sommet AA, que peut-on dire de A′A' ?
    3. Un cercle de centre OO et de rayon 22 cm est tel que OO est à 55 cm de l’axe. Décris son image. Le cercle et son image ont-ils des points communs ?
    Voir le corrigé
    1. La symétrie conserve les longueurs et les angles : A′B′C′D′A'B'C'D' est un carré de côté 33 cm. Son périmètre vaut 4×3=124\times3=12 cm et son aire 3×3=93\times3=9 cm².
    2. Un point de l’axe est sa propre image : A′=AA'=A. Le carré et son image ont alors le sommet AA en commun.
    3. L’image est le cercle de centre O′O', symétrique de OO, et de même rayon 22 cm, avec OO′=2×5=10OO'=2\times5=10 cm. Le cercle ne touche pas l’axe, car 5>25>2 : tous ses points sont à au moins 5−2=35-2=3 cm de l’axe, du même côté. Le cercle et son image n’ont donc aucun point commun.

  4. Exercice 4

    Compter les axes de symétrie

    Donne le nombre d’axes de symétrie de chaque figure.

    • un rectangle de 66 cm sur 44 cm
    • un carré
    • un losange qui n’est pas un carré
    • un triangle isocèle qui n’est pas équilatéral
    • un triangle équilatéral
    • un cercle

    Les diagonales du rectangle de 66 cm sur 44 cm sont-elles des axes de symétrie ?

    Voir le corrigé
    • Rectangle : 22 axes.
    • Carré : 44 axes.
    • Losange : 22 axes, ses diagonales.
    • Triangle isocèle : 11 axe.
    • Triangle équilatéral : 33 axes.
    • Cercle : une infinité d’axes.

    Non. Si l’on plie le rectangle ABCDABCD le long de la diagonale (AC)(AC), le sommet BB devrait venir sur DD. Ce serait possible seulement si AB=ADAB=AD, or 6≠46\neq4. Les deux moitiés ne se superposent pas.

  5. Exercice 5

    Deux triangles isocèles

    Le triangle ABCABC est isocèle en AA, avec AB=AC=6,5AB=AC=6{,}5 cm et BC=5BC=5 cm. On note (d)(d) son axe de symétrie.

    1. Par quels points passe (d)(d) ? Que représente-t-elle pour le segment [BC][BC] ?
    2. Calcule le périmètre du triangle ABCABC.
    3. Explique pourquoi ABC^=ACB^\widehat{ABC}=\widehat{ACB}.
    4. Un autre triangle, EFGEFG, est isocèle en EE avec FEG^=40∘\widehat{FEG}=40^\circ. Sachant que la somme des angles d’un triangle vaut 180∘180^\circ, calcule EFG^\widehat{EFG} et EGF^\widehat{EGF}, puis l’angle que forme son axe de symétrie avec le côté [EF][EF].
    Voir le corrigé
    1. AA est sur l’axe et BB a pour symétrique CC. Donc (d)(d) passe par AA et par le milieu de [BC][BC], perpendiculairement à [BC][BC] : c’est la médiatrice de [BC][BC].
    2. 6,5+6,5+5=186{,}5+6{,}5+5=18 cm.
    3. Par la symétrie d’axe (d)(d), l’angle ABC^\widehat{ABC} a pour image ACB^\widehat{ACB}. La symétrie conserve les mesures d’angles, donc ces deux angles sont égaux.
    4. Les angles à la base sont égaux, et ensemble ils mesurent 180∘−40∘=140∘180^\circ-40^\circ=140^\circ : chacun mesure 140∘÷2=70∘140^\circ\div2=70^\circ. L’axe de symétrie est la bissectrice de FEG^\widehat{FEG} : il forme avec [EF][EF] un angle de 40∘÷2=20∘40^\circ\div2=20^\circ.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Presque toutes les erreurs viennent d’un oubli : la perpendiculaire à l’axe, ou l’égalité des distances.

  • Poser l’équerre contre le mauvais trait

    La perpendiculaire se trace contre l’axe (d)(d), même quand il est penché, et pas contre un côté de la figure.

  • Reporter une distance en biais

    On reporte HMHM, mesurée sur la perpendiculaire. Une distance mesurée en oblique place M′M' trop loin.

  • Compter les carreaux à l’horizontale

    Si l’axe suit une diagonale du quadrillage, la perpendiculaire est l’autre diagonale : on compte les carreaux en diagonale.

  • Confondre MM′MM' et la distance à l’axe

    Si MM est à 3,53{,}5 cm de l’axe, alors MM′=7MM'=7 cm : c’est le double.

  • Croire que l’image est plus grande

    Une figure loin de l’axe a une image loin de l’axe, mais de même taille : la symétrie conserve toutes les longueurs.

  • Prendre la diagonale d’un rectangle pour un axe

    Couper en deux triangles identiques ne suffit pas : il faut que le pliage superpose les deux moitiés, ce qui n’arrive que pour un carré.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Cinq séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

La symétrie se manipule : dans les séries, tu déplaces un point jusqu’à son symétrique, tu places un pli, tu poses l’équerre et le compas, tu retournes un calque ou un tampon et tu fais tourner une droite jusqu’à superposer deux moitiés. Au niveau 2, tu départages deux élèves et tu trouves l’erreur d’une construction. Au niveau 3, tu calcules des distances, des angles, des périmètres et des aires sans mesurer, avec Alphi si tu as besoin d’un indice.

  1. 1Connaître la définition et les propriétés de la symétrie axiale

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu déplaces M′M' pour qu’il soit le symétrique de MM, tu places le pli qui amène MM sur M′M' et tu fais glisser MM pour que MM′=7MM'=7 cm.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu complètes la définition par la médiatrice, puis tu expliques l’erreur de Tom, dont le point n’est pas à la même distance de l’axe, et celle d’Inès, dont le segment n’est pas perpendiculaire à l’axe.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu trouves l’axe qui transforme AA en A′A', tu calcules la distance de M′M' à l’axe quand MM′=7,4MM'=7{,}4 cm et le périmètre d’un triangle AMM′AMM' dont le sommet AA est sur l’axe.

  2. 2Construire le symétrique d’un point ou d’un segment

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu traces à l’équerre la perpendiculaire à l’axe, tu règles le compas pour reporter HMHM et tu places les images des extrémités d’un segment.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu remets les étapes de la construction dans l’ordre, tu repères l’équerre posée contre le mauvais segment et la distance reportée en biais.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu construis sur quadrillage, tu calcules des distances comme MM′MM' ou la distance à son reflet dans un miroir, et tu places M′M' avec deux cercles centrés sur l’axe.

  3. 3Construire le symétrique d’une figure

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu places l’image d’un triangle, d’un carré qui chevauche l’axe et d’un cercle, et tu poses un tampon retourné sur l’image d’une figure.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu complètes les méthodes pour un polygone et pour un cercle, et tu repères les erreurs de Sami, qui place mal le centre image, et de Malo, qui compte à l’horizontale.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu cherches le plus petit nombre de points à construire, tu calcules CC′=10CC'=10 cm, un angle partagé par l’axe et l’aire d’un rectangle réuni à son image.

  4. 4Connaître les propriétés des figures symétriques

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu règles un côté ou un angle et tu observes son image, tu poses un calque retourné sur l’image d’un triangle et tu touches ce qui change : la position et le sens.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu corriges Léa, qui croit l’image plus grande parce qu’elle est plus loin de l’axe, et tu justifies que l’image d’un triangle rectangle est un triangle rectangle.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu calcules sans mesurer des périmètres, des longueurs et des angles d’images, et tu reconnais un losange formé par un triangle équilatéral et son symétrique.

  5. 5Identifier et tracer un axe de symétrie

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu fais tourner une droite jusqu’à superposer les deux moitiés d’une figure, tu touches les axes du carré, du triangle équilatéral et du cercle, et tu traces les axes d’un losange.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu départages deux élèves sur la diagonale d’un rectangle, tu comptes les axes de cinq figures et tu expliques pourquoi une diagonale du losange est un axe.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu trouves les lettres qui ont un axe de symétrie, tu calcules les angles d’un triangle isocèle et tu enchaînes deux bissectrices : 128∘÷2÷2=32∘128^\circ\div2\div2=32^\circ.

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Questions fréquentes

Comment construire le symétrique d’un point par rapport à une droite ?

On trace à l’équerre la perpendiculaire à la droite qui passe par le point ; elle coupe la droite en HH. On reporte ensuite la distance HMHM de l’autre côté, sur cette perpendiculaire, à la règle ou au compas.

Quelles sont les propriétés de la symétrie axiale ?

Elle conserve les longueurs, les mesures d’angles, les aires, l’alignement et les milieux. Deux figures symétriques sont superposables par pliage : seules leur position et leur sens changent.

Qu’est-ce qu’un axe de symétrie ?

C’est une droite qui partage une figure en deux parties qui se superposent exactement quand on plie le long de cette droite. Un carré en a 44, un rectangle 22, un triangle isocèle 11.

Qu’est-ce que la médiatrice d’un segment ?

C’est la droite perpendiculaire au segment qui passe par son milieu. C’est un axe de symétrie du segment, et tout point de la médiatrice est à la même distance des deux extrémités.

Les diagonales d’un rectangle sont-elles des axes de symétrie ?

Non, sauf si le rectangle est un carré. Plier un rectangle le long d’une diagonale ne superpose pas les deux moitiés. Ses deux axes sont les droites qui joignent les milieux des côtés opposés.

Pour aller plus loin

La symétrie conserve les mesures d’angles : revois le vocabulaire et le rapporteur sur la page les angles en 6e. Un axe de symétrie aide aussi à calculer une aire, voir les aires en 6e. En 3e, la symétrie axiale rejoint les autres transformations. Si vous accompagnez votre enfant, notre guide pour aider son enfant en maths donne des pistes concrètes. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

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