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Maths · Seconde · Géométrie

Vecteurs en Seconde : cours, exemples et exercices

Un vecteur décrit un déplacement : une direction, un sens et une longueur. En Seconde, tu apprends à les additionner avec la relation de Chasles, à les multiplier par un nombre et à t’en servir pour démontrer. Voici le cours, deux exemples résolus et cinq exercices corrigés.

Travailler ce chapitreAller aux exercices
uvu + vABCD
Aller de AA à BB, puis de BB à CC, revient à aller directement de AA à CC : c’est la relation de Chasles. La flèche verte, diagonale du parallélogramme ABCDABCD, représente la somme.

Programme de Seconde

Ce que tu dois savoir faire en Seconde

Les vecteurs prolongent les translations du collège : le vecteur AB→\overrightarrow{AB} décrit le déplacement qui mène de AA à BB. En Seconde, ils deviennent un outil pour démontrer en géométrie, par exemple qu’un quadrilatère est un parallélogramme ou que trois points sont alignés, et pour modéliser en physique : déplacements, vitesses, forces.

Le programme de Seconde en vigueur depuis la rentrée 2026 demande de représenter la somme de deux vecteurs, de multiplier un vecteur par un nombre réel, d’écrire un vecteur comme combinaison de deux vecteurs non colinéaires et de caractériser l’alignement et le parallélisme par la colinéarité. Le travail en repère (coordonnées, norme, milieu, déterminant) vient compléter ces outils.

Dans Mathflow, ce premier chapitre sur les vecteurs compte cinq compétences, chacune en trois niveaux. Le chapitre suivant de l’app, « Vecteurs et repérage », passe aux coordonnées.

Les 5 compétences du chapitre

  1. Représenter et interpréter un vecteur dans le plan
  2. Utiliser la relation de Chasles pour simplifier une expression vectorielle
  3. Effectuer une combinaison linéaire de vecteurs
  4. Construire un point défini par une égalité vectorielle
  5. Démontrer la colinéarité de deux vecteurs

Cours

L’essentiel du cours

Définition, somme, produit par un réel et colinéarité : les outils du chapitre dans l’ordre où on les utilise.

Vecteur, translation, égalité

  • Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme. On note souvent u⃗\vec u un vecteur qui a plusieurs représentants.
  • AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} si et seulement si ABCDABCD est un parallélogramme, éventuellement aplati.
  • Le vecteur nul 0⃗=AA→\vec 0=\overrightarrow{AA} correspond au déplacement nul.
  • Le vecteur BA→\overrightarrow{BA} est l’opposé de AB→\overrightarrow{AB} : BA→=−AB→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}.
  • II est le milieu de [AB][AB] si et seulement si AI→=IB→\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}.

Somme de vecteurs et relation de Chasles

Enchaîner deux translations revient à faire une seule translation. Pour additionner deux vecteurs, on les place bout à bout : l’extrémité du premier est l’origine du second.

  • Règle du parallélogramme : si ABCDABCD est un parallélogramme, AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.
  • Différence : u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec u-\vec v=\vec u+(-\vec v). Par exemple AB→−CB→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

Produit par un réel et combinaisons

Les règles de calcul ressemblent à celles des nombres :

k(u⃗+v⃗)=ku⃗+kv⃗(k+k′) u⃗=ku⃗+k′u⃗k(k′u⃗)=(kk′) u⃗\begin{aligned}k(\vec u+\vec v)&=k\vec u+k\vec v\\(k+k')\,\vec u&=k\vec u+k'\vec u\\k(k'\vec u)&=(kk')\,\vec u\end{aligned}

Pour construire le point MM tel que AM→=2u⃗−v⃗\overrightarrow{AM}=2\vec u-\vec v, on part de AA, on pose deux fois u⃗\vec u bout à bout, puis le vecteur −v⃗-\vec v : le point d’arrivée est MM.

Colinéarité, alignement, parallélisme

  • Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
  • Les points AA, BB et CC sont alignés si et seulement si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires : ici, le point commun AA est indispensable.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

  1. Exemple 1

    Simplifier avec la relation de Chasles

    Simplifie w⃗=AB→+CA→−CB→+DC→\vec w=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}.

    Solution

    On remplace la soustraction par l’addition de l’opposé : −CB→=BC→-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}.

    On range les vecteurs pour que chacun commence là où finit le précédent :

    w⃗=DC→+CA→+AB→+BC→=DA→+AC→=DC→\begin{aligned}\vec w&=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\\&=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}\\&=\overrightarrow{DC}\end{aligned}

    Conclusion : w⃗=DC→\vec w=\overrightarrow{DC}.

  2. Exemple 2

    Le théorème des milieux avec des vecteurs

    ABCABC est un triangle, II le milieu de [AB][AB] et JJ le milieu de [AC][AC]. Montre que IJ→=12BC→\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} et conclus.

    Solution

    Avec la relation de Chasles, en passant par AA :

    IJ→=IA→+AJ→=12BA→+12AC→=12(BA→+AC→)=12BC→\begin{aligned}\overrightarrow{IJ}&=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}\\&=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\tfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\\&=\tfrac{1}{2}\big(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\big)=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\end{aligned}

    Les vecteurs IJ→\overrightarrow{IJ} et BC→\overrightarrow{BC} sont colinéaires : les droites (IJ)(IJ) et (BC)(BC) sont parallèles, et IJ=12BCIJ=\dfrac{1}{2}BC.

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

  1. Exercice 1

    Vrai ou faux dans un parallélogramme

    ABCDABCD est un parallélogramme de centre OO. Dis si chaque égalité est vraie ou fausse.

    1. AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
    2. AO→=OC→\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}
    3. AD→=CB→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}
    4. AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}
    5. OA→+OC→=0⃗\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec 0
    Voir le corrigé
    1. Vrai : c’est la définition du parallélogramme ABCDABCD avec les vecteurs.
    2. Vrai : les diagonales se coupent en leur milieu OO.
    3. Faux : AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}, et CB→\overrightarrow{CB} est son opposé.
    4. Vrai : c’est la règle du parallélogramme.
    5. Vrai : OC→=AO→=−OA→\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{OA}.

  2. Exercice 2

    Relation de Chasles

    Simplifie chaque expression.

    1. KL→+JK→\overrightarrow{KL}+\overrightarrow{JK}
    2. EF→−EG→\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{EG}
    3. AB→+CD→+BC→+DA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}
    Voir le corrigé
    1. JK→+KL→=JL→\overrightarrow{JK}+\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{JL}.
    2. EF→−EG→=GE→+EF→=GF→\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GF}.
    3. AB→+BC→+CD→+DA→=AA→=0⃗\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AA}=\vec 0 : on revient au point de départ.

  3. Exercice 3

    Réduire, puis construire

    1. Réduis 2(u⃗−3v⃗)+5v⃗−u⃗2(\vec u-3\vec v)+5\vec v-\vec u.
    2. ABCABC est un triangle et MM le point tel que AM→=AB→+12AC→\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}. Exprime BM→\overrightarrow{BM} en fonction de AC→\overrightarrow{AC} et explique comment placer MM.
    Voir le corrigé
    1. 2u⃗−6v⃗+5v⃗−u⃗=u⃗−v⃗2\vec u-6\vec v+5\vec v-\vec u=\vec u-\vec v.
    2. Avec la relation de Chasles, en passant par AA, puis en remplaçant AM→\overrightarrow{AM} :
    BM→=BA→+AM→=−AB→+AB→+12AC→=12AC→\begin{aligned}\overrightarrow{BM}&=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}\\&=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\tfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\\&=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\end{aligned}

    Pour placer MM, on part de BB et on trace un vecteur de même direction et de même sens que AC→\overrightarrow{AC}, deux fois plus court : son extrémité est MM.

  4. Exercice 4

    Des vecteurs colinéaires ?

    u⃗\vec u et v⃗\vec v sont deux vecteurs non colinéaires. On pose p⃗=6u⃗−4v⃗\vec p=6\vec u-4\vec v et q⃗=−9u⃗+6v⃗\vec q=-9\vec u+6\vec v.

    1. Montre que p⃗\vec p et q⃗\vec q sont colinéaires.
    2. Trouve le réel mm tel que r⃗=2u⃗+mv⃗\vec r=2\vec u+m\vec v soit colinéaire à p⃗\vec p.
    Voir le corrigé
    1. p⃗=2(3u⃗−2v⃗)\vec p=2(3\vec u-2\vec v) et q⃗=−3(3u⃗−2v⃗)\vec q=-3(3\vec u-2\vec v), donc p⃗=−23q⃗\vec p=-\dfrac{2}{3}\vec q : ils sont colinéaires.
    2. Si r⃗=kp⃗\vec r=k\vec p, alors 2u⃗+mv⃗=6ku⃗−4kv⃗2\vec u+m\vec v=6k\vec u-4k\vec v. Comme u⃗\vec u et v⃗\vec v ne sont pas colinéaires, on identifie les coefficients : 6k=26k=2 et m=−4km=-4k, donc k=13k=\dfrac{1}{3} et m=−43m=-\dfrac{4}{3}.

  5. Exercice 5

    Un alignement dans un parallélogramme

    ABCDABCD est un parallélogramme, II le milieu de [AB][AB] et GG le point tel que AG→=13AC→\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}.

    1. Exprime DI→\overrightarrow{DI} et DG→\overrightarrow{DG} en fonction de AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD}.
    2. Montre que les points DD, GG et II sont alignés.
    Voir le corrigé
    1. DI→=DA→+AI→=12AB→−AD→\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}. Comme AC→=AB→+AD→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} : DG→=DA→+13AC→=13AB→−23AD→\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}.
    2. On remarque que 23DI→=13AB→−23AD→=DG→\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DG}. Les vecteurs DG→\overrightarrow{DG} et DI→\overrightarrow{DI} sont colinéaires et ont le point DD en commun : DD, GG et II sont alignés.

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

Les erreurs sur les vecteurs viennent souvent de l’ordre des lettres : une lettre déplacée change le vecteur.

  • Confondre longueurs égales et vecteurs égaux

    AB=CDAB=CD ne suffit pas : il faut aussi la même direction et le même sens pour avoir AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.

  • Appliquer Chasles sans enchaîner

    AB→+CB→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB} n’est pas AC→\overrightarrow{AC}. La relation de Chasles exige que le second vecteur parte du point d’arrivée du premier : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

  • Se tromper d’ordre dans le parallélogramme

    AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} signifie que ABCDABCD est un parallélogramme, pas ABDCABDC.

  • Écrire AB→=BA→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}

    Ces deux vecteurs sont opposés : BA→=−AB→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}. Ils ont la même direction et la même norme, mais pas le même sens.

  • Oublier le sens avec un coefficient négatif

    −2u⃗-2\vec u est deux fois plus long que u⃗\vec u et de sens contraire. Sa norme vaut 2∥u⃗∥2\|\vec u\|, jamais une valeur négative.

  • Conclure à l’alignement sans point commun

    Si AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires, les droites sont parallèles. Pour l’alignement, il faut deux vecteurs qui partent d’un même point, comme AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Cinq séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Un vecteur se manipule comme une flèche : dans les séries, tu places des points sur un quadrillage, tu poses des flèches bout à bout, tu retournes celles qui partent dans le mauvais sens et tu règles un coefficient kk avec un curseur. Au niveau 2, tu tranches des débats et tu cherches la première ligne fausse d’une copie. Au niveau 3, tu simplifies, tu construis et tu démontres des alignements, avec Alphi, le coach IA, si tu bloques.

  1. 1Représenter et interpréter un vecteur dans le plan

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu places BB pour que AB→\overrightarrow{AB} ait la direction, le sens et la norme demandés, tu traces tous les vecteurs égaux à AB→\overrightarrow{AB} dans une figure et tu construis l’image d’un segment par une translation.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu décris un vecteur par sa direction, son sens et sa norme, tu expliques pourquoi AB=CDAB=CD ne suffit pas pour que AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} et tu complètes la caractérisation du milieu.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu calcules la norme d’un vecteur sur un quadrillage, tu places le quatrième sommet d’un parallélogramme et tu calcules une distance à partir d’une égalité de vecteurs.

  2. 2Utiliser la relation de Chasles pour simplifier une expression vectorielle

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu places CC pour que AB→+BC→=u⃗\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec u, tu réduis une somme de trois vecteurs et tu construis u⃗−v⃗\vec u-\vec v.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu complètes l’énoncé de la relation de Chasles, tu repères la ligne fausse de Léo et tu départages deux élèves qui simplifient BC→+AB→\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu simplifies des sommes et des différences, tu places des points définis par une égalité et tu complètes une preuve avec la relation de Chasles.

  3. 3Effectuer une combinaison linéaire de vecteurs

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu ranges des vecteurs par longueur, tu règles kk pour que ku⃗k\vec u ait la bonne norme et le bon sens et tu réduis 3u⃗+2v⃗−u⃗+v⃗3\vec u+2\vec v-\vec u+\vec v.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu décris le vecteur −3u⃗-3\vec u, tu trouves la première ligne fausse d’une réduction et tu complètes la méthode pour réduire 2(u⃗+3v⃗)−u⃗2(\vec u+3\vec v)-\vec u.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu calcules la norme de −52u⃗-\frac{5}{2}\vec u, tu réduis des expressions et tu écris un vecteur sous la forme au⃗+bv⃗a\vec u+b\vec v.

  4. 4Construire un point défini par une égalité vectorielle

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu poses des flèches bout à bout pour atteindre MM tel que AM→=2u⃗−v⃗\overrightarrow{AM}=2\vec u-\vec v, tu choisis les bons chemins et tu retrouves le point de départ.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu départages deux constructions, tu repères l’étape fausse du chemin de Jade et tu justifies qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu places des points dans un pavage de parallélogrammes et tu calcules la distance AMAM quand u⃗\vec u et v⃗\vec v sont de même sens ou orthogonaux.

  5. 5Démontrer la colinéarité de deux vecteurs

    • Niveau 1 · Manipuler

      Tu règles kk pour que v⃗=ku⃗\vec v=k\vec u, tu touches les vecteurs colinéaires à u⃗\vec u et tu isoles u⃗\vec u dans 3u⃗−2v⃗=0⃗3\vec u-2\vec v=\vec 0.

    • Niveau 2 · Expliquer

      Tu complètes la définition, tu trouves la ligne fausse de la copie de Malo et tu choisis les égalités qui prouvent une colinéarité.

    • Niveau 3 · Raisonner

      Tu trouves le réel kk tel que p⃗=kq⃗\vec p=k\vec q ou la valeur de mm qui rend deux vecteurs colinéaires, et tu démontres un alignement dans un triangle ou un parallélogramme.

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Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’un vecteur en Seconde ?

C’est l’objet qui décrit une translation : le vecteur AB→\overrightarrow{AB} représente le déplacement de AA vers BB. Il est défini par une direction, un sens et une norme (sa longueur).

Comment utiliser la relation de Chasles ?

On enchaîne les vecteurs bout à bout : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}. Pour simplifier une expression, on remplace chaque soustraction par l’addition de l’opposé, puis on range les vecteurs pour que chacun parte du point où finit le précédent.

Comment montrer que deux vecteurs sont colinéaires ?

On cherche un réel kk tel que v⃗=ku⃗\vec v=k\vec u. Dans un repère, on peut aussi calculer le déterminant xy′−x′yxy'-x'y : les vecteurs sont colinéaires si et seulement s’il est nul.

Comment montrer que trois points sont alignés avec des vecteurs ?

On montre que AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires, en trouvant un réel kk tel que AC→=kAB→\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}. Comme ces deux vecteurs ont le point AA en commun, les points AA, BB et CC sont alignés.

Comment construire la somme de deux vecteurs ?

On place le second vecteur à partir de l’extrémité du premier : la somme va de l’origine du premier à l’extrémité du second. Si les deux vecteurs partent du même point, on complète le parallélogramme et on trace sa diagonale.

Pour aller plus loin

Les vecteurs prolongent les translations et les homothéties du collège : la page transformations en 3e les reprend. Ils servent ensuite à trouver une équation de droite, sur la page équations de droites en Seconde, puis au produit scalaire en Première. Pour choisir une appli qui accompagne le lycée, lis notre guide application de maths pour le lycée. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

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