Triangles en 5e : cours et exercices corrigés

Q: Comment savoir si un triangle est constructible ?

On compare la plus grande des trois longueurs à la somme des deux autres. Si elle est plus petite, le triangle existe ; si elle est égale, les points sont alignés ; si elle est plus grande, il n’existe pas. Avec 2 cm, 3 cm et 6 cm, 6>2+3 : impossible.

Q: Quelle est la somme des angles d’un triangle ?

Elle vaut toujours 180^\circ, quels que soient la forme et la taille du triangle. On le démontre en traçant la parallèle à un côté passant par le sommet opposé : les angles alternes-internes forment un angle plat.

Programme de 5e

Ce que tu dois savoir faire en 5e

Le chapitre des triangles fait passer la géométrie de la mesure au raisonnement : on ne se contente plus de mesurer un angle ou une longueur, on les calcule et on justifie.

En 6e, tu as appris à construire des triangles, à reconnaître un triangle isocèle, équilatéral ou rectangle, et tu as vu que le plus court chemin entre deux points est le segment qui les joint, d’où l’inégalité triangulaire. Le programme de 5e, entré en vigueur à la rentrée 2026, demande de connaître la somme des angles d’un triangle et de savoir la démontrer, de construire des triangles à partir de données partielles, de connaître les médiatrices et le cercle circonscrit, de tracer les hauteurs et de savoir qu’elles sont concourantes. Les médianes complètent ces droites remarquables.

Dans Mathflow, le chapitre compte cinq compétences, chacune en trois niveaux.

Les 5 compétences du chapitre

Connaître les différents types de triangles
Vérifier si un triangle est constructible à l’aide de l’inégalité triangulaire
Calculer des angles à l’aide de la somme des angles d’un triangle
Reconnaître et exploiter les propriétés des triangles particuliers
Construire les droites remarquables d’un triangle

Cours

L’essentiel du cours

Le vocabulaire, les longueurs, les angles, puis les droites remarquables.

Les triangles particuliers

Un triangle équilatéral est aussi isocèle, et même isocèle en chacun de ses sommets.
Un triangle rectangle isocèle a un angle droit et deux côtés égaux, ceux de l’angle droit.
Un triangle qui n’a aucune de ces propriétés est quelconque.

Sur une figure, on code les longueurs égales par des petits traits et l’angle droit par un petit carré. Pour comparer des longueurs, on les écrit dans la même unité : $35$ mm $=3{,}5$ cm.

L’inégalité triangulaire

Pour savoir si l’on peut construire un triangle avec trois longueurs, on compare la plus grande à la somme des deux autres :

si la plus grande est inférieure à la somme des deux autres, le triangle existe : $9<4+6$ ;
si elle est égale à cette somme, les trois points sont alignés et il n’y a pas de vrai triangle : $8=3+5$ ;
si elle est plus grande, le triangle n’existe pas : $9>3+4$ , les deux petits côtés ne se rejoignent pas.

Le cas d’égalité donne aussi une méthode : $AC+CB=AB$ signifie que le point $C$ est sur le segment $[AB]$ .

La somme des angles d’un triangle

\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ

Démonstration, comme sur la figure : on trace la parallèle $(d)$ à $(AB)$ passant par $C$ . Les angles alternes-internes formés par deux parallèles et une sécante sont égaux, donc les angles en $A$ et en $B$ se retrouvent autour de $C$ . Avec l’angle en $C$ , ils forment un angle plat, qui mesure $180^\circ$ .

On en déduit le troisième angle quand on connaît les deux autres : $\widehat{C}=180^\circ-\widehat{A}-\widehat{B}$ . Et pour les triangles particuliers :

dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux : avec $50^\circ$ au sommet principal, chacun mesure $(180^\circ-50^\circ)\div2=65^\circ$ ;
dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent $180^\circ\div3=60^\circ$ ;
dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont une somme de $90^\circ$ .

Médiatrices et hauteurs

Tout point de la médiatrice de $[AB]$ est à la même distance de $A$ et de $B$ . Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un point, centre du cercle circonscrit, qui passe par les trois sommets.
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes : elles se coupent en un même point. Dans un triangle qui a un angle obtus, ce point est à l’extérieur du triangle et le pied de certaines hauteurs est sur le prolongement d’un côté.
Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont deux de ses hauteurs.

Exemples résolus

Deux exemples résolus

Exemple 1
Les angles d’un triangle isocèle
Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ et $\widehat{BAC}=40^\circ$ . Calcule $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ .
Solution
On sait que $ABC$ est isocèle en $A$ . Or, dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux : $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .
La somme des angles d’un triangle vaut $180^\circ$ , donc les deux angles à la base mesurent ensemble $180^\circ-40^\circ=140^\circ$ .
Donc $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=140^\circ\div2=70^\circ$ . Vérification : $40^\circ+70^\circ+70^\circ=180^\circ$ .
Exemple 2
Triangle ou pas ?
Peut-on construire un triangle avec ces trois longueurs ?
1. $4$ cm, $6$ cm et $9$ cm
2. $3$ cm, $5$ cm et $8$ cm
3. $2$ cm, $4$ cm et $7$ cm
Solution
Dans chaque cas, on compare la plus grande longueur à la somme des deux autres.
1. $4+6=10$ et $9<10$ : le triangle existe.
2. $3+5=8$ : la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres. Les trois points sont alignés, il n’y a pas de vrai triangle.
3. $2+4=6$ et $7>6$ : le triangle n’existe pas, les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre.

Exercices corrigés

Cinq exercices corrigés

Cherche d’abord sur une feuille, puis ouvre le corrigé. Chaque résultat a été vérifié.

Exercice 1
La nature d’un triangle
Donne la nature la plus précise de chaque triangle.
1. $AB=3{,}5$ cm, $BC=35$ mm et $AC=5$ cm.
2. $DE=DF=EF=4$ cm.
3. $\widehat{RST}=90^\circ$ et $\widehat{SRT}=45^\circ$ .
Voir le corrigé
1. $35$ mm $=3{,}5$ cm, donc $BA=BC$ : le triangle $ABC$ est isocèle en $B$ . Il n’est pas équilatéral, car $AC=5$ cm.
2. Les trois côtés sont égaux : $DEF$ est équilatéral.
3. $\widehat{STR}=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ$ . Les angles en $R$ et en $T$ sont égaux, donc $SR=ST$ : $RST$ est rectangle isocèle en $S$ , d’hypoténuse $[RT]$ .
Exercice 2
Constructible ou non ?
Pour chaque liste, dis si l’on peut construire un triangle.
1. $4$ cm, $6$ cm et $11$ cm
2. $35$ mm, $5$ cm et $0{,}8$ dm
3. $3{,}6$ cm, $4{,}8$ cm et $8{,}4$ cm
Voir le corrigé
1. $4+6=10$ et $11>10$ : le triangle n’existe pas.
2. En centimètres : $3{,}5$ cm, $5$ cm et $8$ cm. $3{,}5+5=8{,}5$ et $8<8{,}5$ : le triangle existe.
3. $3{,}6+4{,}8=8{,}4$ : les trois points sont alignés, ce n’est pas un vrai triangle.
Exercice 3
Le troisième angle
1. Dans le triangle $EFG$ , $\widehat{E}=34^\circ$ et $\widehat{F}=98^\circ$ . Calcule $\widehat{G}$ .
2. Peut-on construire un triangle $ABC$ avec $\widehat{A}=112^\circ$ et $\widehat{B}=71^\circ$ ?
Voir le corrigé
1. $\widehat{G}=180^\circ-34^\circ-98^\circ=48^\circ$ .
2. $112^\circ+71^\circ=183^\circ$ , c’est déjà plus que $180^\circ$ : il ne reste aucune place pour l’angle en $C$ . Ce triangle n’existe pas.
Exercice 4
Un isocèle, deux possibilités
Un triangle isocèle a un angle de $40^\circ$ .
1. Quelles peuvent être les mesures de ses deux autres angles ?
2. Même question avec un angle de $100^\circ$ .
Voir le corrigé
1. Si $40^\circ$ est l’angle au sommet principal, les angles à la base mesurent $(180^\circ-40^\circ)\div2=70^\circ$ chacun. Si $40^\circ$ est un angle à la base, l’autre angle à la base mesure aussi $40^\circ$ et le troisième $180^\circ-2\times40^\circ=100^\circ$ . Il y a donc deux possibilités : $70^\circ$ et $70^\circ$ , ou $40^\circ$ et $100^\circ$ .
2. Un angle de $100^\circ$ ne peut pas être à la base, car deux angles de $100^\circ$ dépasseraient déjà $180^\circ$ . C’est donc l’angle au sommet, et les deux autres mesurent $(180^\circ-100^\circ)\div2=40^\circ$ .
Exercice 5
Une hauteur et des angles
Dans le triangle $ABC$ , $\widehat{ABC}=50^\circ$ et $\widehat{ACB}=60^\circ$ . La droite $(AH)$ est la hauteur issue de $A$ , et son pied $H$ est sur le segment $[BC]$ .
1. Calcule $\widehat{BAH}$ .
2. Calcule $\widehat{HAC}$ .
3. Vérifie le résultat avec la mesure de $\widehat{BAC}$ .
Voir le corrigé
1. $(AH)$ est perpendiculaire à $(BC)$ , donc le triangle $ABH$ est rectangle en $H$ . Ses deux angles aigus ont une somme de $90^\circ$ : $\widehat{BAH}=90^\circ-50^\circ=40^\circ$ .
2. De même, $AHC$ est rectangle en $H$ : $\widehat{HAC}=90^\circ-60^\circ=30^\circ$ .
3. Dans $ABC$ : $\widehat{BAC}=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$ , et l’on retrouve bien $40^\circ+30^\circ=70^\circ$ .

Erreurs fréquentes

Les pièges à éviter

En géométrie, la plupart des erreurs viennent d’une figure trop vite crue ou d’une propriété appliquée au mauvais endroit.

Comparer le mauvais côté
Pour $4$ cm, $6$ cm et $9$ cm, vérifier $4<6+9$ ne prouve rien. C’est la plus grande longueur qu’on compare : $9<4+6$ .
Oublier le cas des points alignés
Avec $3$ cm, $5$ cm et $8$ cm, on a $3+5=8$ : les points sont alignés, ce n’est pas un vrai triangle.
Confondre angle au sommet et angle à la base
Si un triangle isocèle a $40^\circ$ au sommet principal, ses angles à la base mesurent $70^\circ$ , et non $40^\circ$ .
Mesurer au lieu de calculer
Sur une figure à main levée, le rapporteur ne prouve rien : on calcule un angle avec les données et les propriétés du cours.
Confondre hauteur et médiatrice
La hauteur issue de $A$ passe par $A$ ; la médiatrice de $[BC]$ passe par le milieu de $[BC]$ . Elles ne coïncident que si le triangle est isocèle en $A$ .
Croire qu’une hauteur reste dans le triangle
Dans un triangle qui a un angle obtus, le pied de certaines hauteurs est sur le prolongement d’un côté, et les hauteurs se coupent à l’extérieur.

Dans Mathflow

Ce chapitre dans Mathflow

Cinq séries, une par compétence, et chacune en trois niveaux : tu manipules, tu expliques, puis tu raisonnes.

Dans les séries, les triangles se manipulent : tu fais pivoter deux tiges pour fermer un triangle, tu fais tourner une parallèle pour voir les angles former un angle plat, tu fais glisser l’équerre pour tracer une hauteur. Au niveau 2, tu départages deux élèves et tu trouves l’erreur d’une copie. Au niveau 3, tu calcules et tu justifies, avec Alphi si tu as besoin d’un indice.

1Connaître les différents types de triangles
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu places $B$ sur un cercle pour rendre un triangle équilatéral, tu règles une longueur pour obtenir un triangle isocèle et tu codes un triangle rectangle isocèle d’après ses données.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu coches les propriétés de chaque sorte de triangle, tu départages deux élèves quand une longueur est donnée en millimètres et tu corriges une hypoténuse mal placée.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu trouves la nature la plus précise d’un triangle à partir de longueurs, d’un cercle ou des diagonales d’un rectangle, et tu calcules un côté à partir d’un périmètre.
2Vérifier si un triangle est constructible à l’aide de l’inégalité triangulaire
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu fais pivoter deux tiges pour fermer un triangle, tu places $C$ pour que $AC+CB=AB$ et tu choisis les lots de baguettes qui forment un triangle.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la propriété, tu choisis le côté à comparer à la somme des deux autres et tu départages deux élèves sur un triangle isocèle de base $7$ cm.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu décides si des triangles existent, même avec des unités différentes, et tu trouves le troisième côté d’un triangle isocèle qui a un côté de $4$ cm et un côté de $9$ cm.
3Calculer des angles à l’aide de la somme des angles d’un triangle
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu fais tourner une parallèle pour voir les trois angles former un angle plat, tu partages une barre de $180^\circ$ et tu constates que l’angle en $C$ ne dépend pas de la taille du triangle.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes la démonstration avec les angles alternes-internes, tu rédiges un calcul avec « On sait que… Or… Donc… » et tu expliques pourquoi on ne mesure pas sur une figure à main levée.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des angles dans un triangle, puis dans des figures à plusieurs triangles, avec des points alignés ou des angles opposés par le sommet.
4Reconnaître et exploiter les propriétés des triangles particuliers
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu règles l’angle au sommet pour obtenir deux angles de $65^\circ$ à la base, tu plies un triangle isocèle le long de son axe et tu fais le tour d’un point avec six triangles équilatéraux.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu complètes les trois propriétés, tu expliques pourquoi un angle de $100^\circ$ ne peut pas être à la base d’un triangle isocèle et tu trouves les deux cas d’un isocèle qui a un angle de $70^\circ$ .
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu calcules des angles dans des triangles rectangles et isocèles, et tu en déduis des longueurs : un triangle isocèle qui a $60^\circ$ au sommet est équilatéral.
5Construire les droites remarquables d’un triangle
- Niveau 1 · Manipuler
  Tu fais glisser l’équerre pour tracer la hauteur issue de $A$ , tu règles le compas pour tracer une médiatrice et tu déplaces un sommet pour que les trois hauteurs se coupent en ce sommet.
- Niveau 2 · Expliquer
  Tu compares hauteur et médiatrice, tu repères l’élève qui a tracé une médiatrice à la place d’une hauteur et tu expliques où se coupent les hauteurs d’un triangle obtus.
- Niveau 3 · Raisonner
  Tu utilises le milieu donné par une médiatrice, tu calcules des angles autour d’une hauteur et tu justifies qu’une droite est perpendiculaire grâce au point commun des hauteurs.

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Questions fréquentes

Comment savoir si un triangle est constructible ?

On compare la plus grande des trois longueurs à la somme des deux autres. Si elle est plus petite, le triangle existe ; si elle est égale, les points sont alignés ; si elle est plus grande, il n’existe pas. Avec $2$ cm, $3$ cm et $6$ cm, $6>2+3$ : impossible.

Quelle est la somme des angles d’un triangle ?

Elle vaut toujours $180^\circ$ , quels que soient la forme et la taille du triangle. On le démontre en traçant la parallèle à un côté passant par le sommet opposé : les angles alternes-internes forment un angle plat.

Comment calculer les angles d’un triangle isocèle ?

Les deux angles à la base sont égaux. Si l’on connaît l’angle au sommet, chaque angle à la base vaut $180^\circ$ moins cet angle, divisé par $2$ : avec $30^\circ$ au sommet, on trouve $75^\circ$ . Si l’on connaît un angle à la base, l’angle au sommet vaut $180^\circ$ moins deux fois cet angle.

Quelle est la différence entre une hauteur et une médiatrice ?

Les deux sont des droites perpendiculaires à un côté. La hauteur passe par le sommet opposé à ce côté, la médiatrice passe par le milieu du côté. Elles ne sont confondues que dans un triangle isocèle, pour la base.

Où se coupent les hauteurs d’un triangle ?

En un même point. Il est à l’intérieur du triangle si les trois angles sont aigus, au sommet de l’angle droit si le triangle est rectangle, et à l’extérieur si le triangle a un angle obtus.

Pour aller plus loin

Les angles et les triangles de 5e préparent le théorème de Pythagore en 4e, le cosinus en 4e, puis le théorème de Thalès et la trigonométrie en 3e. Pour revoir le vocabulaire et la mesure des angles, la page angles en 6e reprend les bases. Tous les chapitres sont sur la page maths de la 6e à la Terminale.

Triangles en 5e : cours, exemples et exercices

Ce que tu dois savoir faire en 5e

L’essentiel du cours

Les triangles particuliers

L’inégalité triangulaire

La somme des angles d’un triangle

Médiatrices et hauteurs

Deux exemples résolus

Les angles d’un triangle isocèle

Triangle ou pas ?

Cinq exercices corrigés

La nature d’un triangle

Constructible ou non ?

Le troisième angle

Un isocèle, deux possibilités

Une hauteur et des angles

Les pièges à éviter

Comparer le mauvais côté

Oublier le cas des points alignés

Confondre angle au sommet et angle à la base

Mesurer au lieu de calculer

Confondre hauteur et médiatrice

Croire qu’une hauteur reste dans le triangle

Ce chapitre dans Mathflow

1Connaître les différents types de triangles

2Vérifier si un triangle est constructible à l’aide de l’inégalité triangulaire

3Calculer des angles à l’aide de la somme des angles d’un triangle

4Reconnaître et exploiter les propriétés des triangles particuliers

5Construire les droites remarquables d’un triangle

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Les maths, c’est une question de flow.