Pendant la Coupe du monde 2014 au Brésil, chacune des 32 sélections comptait exactement 23 joueurs. James Fletcher, journaliste de la BBC, a relevé leurs dates de naissance dans les listes officielles de la FIFA : 16 équipes sur 32 avaient au moins deux joueurs nés le même jour de l'année. L'équipe de France en comptait même deux paires. Une équipe sur deux : c'est exactement ce que prédit le paradoxe des anniversaires, l'un des résultats de probabilités les plus déroutants qu'on puisse expliquer avec des outils de lycée.
Voici d'où vient ce nombre 23, comment le retrouver soi-même, quelles erreurs éviter, et pourquoi ce petit problème de salle de classe sert aujourd'hui à mesurer la solidité des outils qui sécurisent nos échanges numériques.
Ce que dit vraiment le paradoxe
L'énoncé tient en une phrase : dans un groupe de 23 personnes, la probabilité qu'au moins deux d'entre elles aient le même anniversaire dépasse 50 %. « Même anniversaire » signifie même jour et même mois, pas même année.
Le mot « paradoxe » est trompeur. Il n'y a aucune contradiction logique, seulement un résultat qui heurte l'intuition. Si l'on raisonne au jugé, on s'attend à devoir réunir un nombre de personnes proche de 183, la moitié de 365. La bonne réponse est huit fois plus petite.
Le problème n'est pas nouveau : sa première publication connue est due à Richard von Mises, en 1939. Il est devenu un classique des cours de probabilités parce qu'il oblige à compter correctement, et parce que le résultat se vérifie dans n'importe quelle classe un peu remplie.
Pourquoi l'intuition se trompe
Quand on entend « 23 personnes », on se met spontanément à la place de l'une d'elles : quelle chance ai-je qu'une des 22 autres soit née le même jour que moi ? Elle est faible, moins de 6 %. Mais la question posée est différente : on cherche n'importe quelle paire de personnes qui partagent un anniversaire, pas seulement les paires qui te contiennent.
Or le nombre de paires grandit bien plus vite que le nombre de personnes. Avec 23 personnes, on peut former 23 × 22 ÷ 2 = 253 paires. Chacune a une chance sur 365 de tomber sur le même jour. Avec 253 occasions de coïncidence, il devient beaucoup moins surprenant que l'une d'elles se réalise. En moyenne, un groupe de 23 personnes contient d'ailleurs 253 ÷ 365 ≈ 0,69 paire d'anniversaires communs.
Ces paires ne sont pas indépendantes : si Alice et Bruno sont nés le même jour, et Bruno et Chloé aussi, alors Alice et Chloé le sont forcément. On ne peut donc pas obtenir la probabilité en additionnant simplement les chances des paires. Il faut un calcul propre.
Le calcul pas à pas, par l'événement contraire
Passer par le contraire
« Au moins deux personnes ont le même anniversaire » recouvre une foule de situations : une paire, deux paires, trois personnes le même jour… Les compter une à une serait interminable. L'astuce consiste à calculer la probabilité de l'événement contraire, « tous les anniversaires sont différents », puis à retrancher le résultat de 1.
On part de deux hypothèses, discutées plus loin : l'année compte 365 jours (on oublie le 29 février), et chaque jour a la même probabilité d'être une date de naissance.
Multiplier personne après personne
Faisons entrer les personnes une par une dans la pièce.
- La première peut être née n'importe quel jour : probabilité 365/365.
- La deuxième doit éviter le jour de la première : il lui reste 364 jours sur 365.
- La troisième doit éviter deux jours : probabilité 363/365.
- Et ainsi de suite jusqu'à la vingt-troisième, qui doit éviter 22 jours : probabilité 343/365.
Chaque facteur est une probabilité conditionnelle : la chance que la nouvelle venue évite les jours déjà pris, sachant que les précédentes ont toutes des anniversaires différents. La probabilité que les 23 anniversaires soient distincts est le produit de ces 23 facteurs :
P(tous différents) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 0,4927
Le numérateur, 365 × 364 × … × 343, compte les façons d'attribuer 23 jours tous distincts à 23 personnes : c'est un nombre d'arrangements, un outil du dénombrement de Terminale. Le dénominateur, 365 puissance 23, compte toutes les répartitions possibles.
La probabilité qu'au moins deux personnes partagent un anniversaire vaut donc 1 − 0,4927 ≈ 0,5073, soit 50,7 %. Avec 22 personnes, on obtient 47,6 % : 23 est bien le plus petit groupe pour lequel on dépasse une chance sur deux.
On voit la probabilité « tous différents » fondre à mesure que le groupe grandit : 0,973 avec 5 personnes, 0,883 avec 10, 0,747 avec 15, 0,589 avec 20. Chaque nouvel arrivant a un jour de plus à éviter que le précédent, et ces petites pertes se cumulent.
23, 30, 50, 70 personnes : les valeurs exactes
Le même produit, prolongé et calculé en fractions exactes, donne la probabilité d'au moins une coïncidence :
- 23 personnes : 50,7 % ;
- 30 personnes, une classe bien remplie : 70,6 % ;
- 50 personnes : 97,0 % ;
- 70 personnes : 99,92 %, soit moins d'une chance sur mille de n'avoir aucune coïncidence.
Le seuil de 99 % est franchi dès 57 personnes. La certitude absolue, elle, n'arrive qu'à 366 personnes (367 si l'on compte le 29 février) : avec 365 jours possibles, 366 personnes ne peuvent pas toutes avoir des anniversaires différents. C'est le principe des tiroirs, et c'est la seule façon d'atteindre 100 %.
L'erreur classique : « 23 contre 365 »
La faute la plus répandue consiste à comparer directement 23 à 365, comme si la probabilité valait 23 ÷ 365 ≈ 6,3 %. Ce calcul répond, à peu près, à une autre question : l'un des 23 est-il né un jour précis, fixé à l'avance ? Il oublie que la coïncidence peut se produire entre n'importe quelles personnes du groupe.
L'erreur inverse existe aussi : additionner les chances des 253 paires, ce qui donne 253 ÷ 365 ≈ 69 %. C'est trop, car on compte plusieurs fois les situations où plusieurs paires coïncident en même temps. Pousse la méthode un peu plus loin : avec 28 personnes, il y a 378 paires, et l'on obtiendrait 378 ÷ 365, une « probabilité » supérieure à 1. On ne peut additionner des probabilités que pour des événements qui ne peuvent pas se produire ensemble.
Le passage par l'événement contraire évite les deux pièges. C'est le réflexe à garder pour toutes les questions du type « au moins un ».
Les hypothèses du calcul tiennent-elles ?
Le 29 février
En théorie, une personne sur 1 461 naît un 29 février, puisque ce jour revient une fois tous les quatre ans (1 461 = 4 × 365 + 1). La BBC avait d'ailleurs repéré deux joueurs de 2014 nés un 29 février, l'Allemand Benedikt Höwedes et l'Algérien Saphir Taïder. Ajouter ce 366e jour, avec son faible poids, ne change presque rien : pour 23 personnes, la probabilité de coïncidence passe de 50,73 % à 50,69 %. Le seuil de 23 ne bouge pas.
Des naissances pas tout à fait uniformes
La seconde hypothèse est plus fragile. En France, l'Insee a étudié les naissances de 2015 à 2024 : le jour le plus chargé est le 20 juillet, avec 2 210 naissances en moyenne contre 2 030 pour un jour quelconque, et le plus creux est le 25 décembre, avec environ 1 600 naissances, 22 % de moins que la moyenne. Il naît 13 % de bébés en moins le dimanche et 17 % de moins le 1er janvier, ce qui, selon l'Insee, pourrait s'expliquer par un moindre nombre d'accouchements programmés les jours de repos. Même le 29 février est un peu évité : environ 10 % de naissances en moins.
Ces irrégularités jouent-elles contre le paradoxe ? Au contraire. On démontre que la répartition uniforme est celle qui minimise les chances de coïncidence : dès que certains jours sont plus probables que d'autres, les anniversaires s'y concentrent et les doublons deviennent plus fréquents. L'hypothèse des 365 jours équiprobables est donc le cas le plus défavorable : avec de vraies naissances, 23 personnes suffisent toujours.
L'effet reste minuscule. En refaisant le calcul avec les écarts jour par jour publiés par l'Insee, la probabilité pour 23 personnes passe de 50,73 % à 50,74 %. Dans une classe où tout le monde est né la même année, l'effet du dimanche s'ajoute et l'on gagne environ 0,2 point. Seul vrai trouble-fête : des jumeaux, qui partagent leur anniversaire à coup sûr.
Partager MON anniversaire : une autre question
Autre version, tout aussi naturelle : combien de personnes faut-il pour avoir une chance sur deux que l'une d'elles soit née le même jour que toi ? Cette fois, ton anniversaire est fixé, et chaque autre personne a 364 chances sur 365 de ne pas tomber dessus. Avec n autres personnes, la probabilité qu'aucune ne partage ton anniversaire vaut (364/365) puissance n, d'où :
P(au moins une personne née le même jour que toi) = 1 − (364/365)ⁿ
Avec les 22 autres membres d'un groupe de 23, on obtient seulement 5,9 %. Avec 100 personnes, 24,0 %. Il faut 253 autres personnes pour dépasser une chance sur deux (50,05 %) ; avec 252, on reste à 49,9 %.
Pourquoi pas 183, la moitié de 365 ? Parce qu'additionner 183 fois 1/365 compterait plusieurs fois les cas où plusieurs personnes sont nées le même jour que toi : là encore, les chances ne s'ajoutent pas, elles se combinent par l'événement contraire.
Et ce 253 n'est pas une coïncidence avec les 253 paires du groupe de 23. Dans les deux cas, il faut environ 365 × ln 2 ≈ 253 comparaisons pour avoir une chance sur deux de tomber sur un doublon. Dans un groupe de 23, ces comparaisons sont les paires ; quand on cherche ton anniversaire, il faut 253 personnes pour en faire autant. Notre intuition répond à la question « moi contre les autres », alors que le paradoxe porte sur « tout le monde contre tout le monde ».
Des anniversaires à la cryptographie
Les empreintes numériques
Une fonction de hachage transforme n'importe quel fichier ou message en une « empreinte » de taille fixe, par exemple 256 bits pour SHA-256. Ces empreintes servent à vérifier qu'un fichier n'a pas été modifié ou à produire des signatures électroniques : on signe l'empreinte, plus courte, plutôt que le document entier. Une bonne fonction de hachage doit rendre pratiquement impossible de trouver une collision, c'est-à-dire deux contenus différents qui donnent la même empreinte.
L'attaque des anniversaires
Avec 365 valeurs possibles, une coïncidence devient probable vers 23 tirages, soit à peu près la racine carrée de 365 multipliée par un petit facteur. Le résultat se généralise : en tirant au hasard parmi N valeurs, on a une chance sur deux d'obtenir un doublon après environ 1,18 × √N tirages. Pour N = 365, cette formule donne 22,5 : on retrouve notre 23.
Pour une empreinte de n bits, il y a 2 puissance n valeurs possibles, mais une collision devient probable après environ 2 puissance n/2 essais seulement. Une empreinte de 128 bits ne résiste donc qu'à environ 2⁶⁴ essais, une de 160 bits à environ 2⁸⁰. C'est pourquoi les standards actuels utilisent des empreintes de 256 bits : une recherche de collision « par anniversaire » y demanderait de l'ordre de 2¹²⁸ calculs, hors de portée.
L'attaque a été publiée par Gideon Yuval en 1979. Voici le scénario qu'en donne le manuel de référence de Menezes, van Oorschot et Vanstone : un fraudeur prépare un message honnête et un message frauduleux, puis fabrique un très grand nombre de variantes de chacun en changeant des détails sans importance. Dès qu'une variante honnête et une variante frauduleuse ont la même empreinte, il fait signer la première, et la signature vaut aussi pour la seconde.
Quand on fait mieux que la borne : SHA-1
La fonction SHA-1 produit des empreintes de 160 bits : une attaque des anniversaires y demanderait environ 2⁸⁰ calculs. En 2017, des chercheurs du CWI d'Amsterdam et de Google ont publié la première collision complète pour SHA-1, deux fichiers PDF différents de même empreinte. En exploitant des faiblesses de la fonction, il leur a suffi d'environ 2⁶³ calculs, soit quelque 6 500 années de processeur et 100 années de carte graphique, plus de 100 000 fois moins qu'une recherche par force brute. La borne des anniversaires est donc la meilleure sécurité qu'on puisse espérer d'une empreinte, jamais une garantie.
Ce qu'il faut retenir
Le paradoxe des anniversaires rappelle qu'en probabilités, bien poser la question compte autant que le calcul. « Quelqu'un ici est-il né le même jour que moi ? » et « deux personnes ici sont-elles nées le même jour ? » se ressemblent, mais la première demande 253 personnes pour une chance sur deux, la seconde 23. La méthode, elle, ne change pas : passer par l'événement contraire, multiplier des probabilités conditionnelles, puis vérifier que le résultat a du sens.
Dans Mathflow, les probabilités se travaillent en trois niveaux : Manipuler, pour voir le phénomène avant de le formaliser, Expliquer, pour repérer où un raisonnement déraille, puis Raisonner, pour résoudre seul. Quand tu bloques, Alphi, le coach IA, te donne un indice plutôt que la réponse. L'appli, conçue avec Inria et utilisée par plus de 50 000 élèves, est gratuite pour commencer.
Sources
- James Fletcher (BBC News), The birthday paradox at the World Cup, 2014
- Nathalie Blanpain (Insee), Quel jour naît-on le plus en France ?, Insee Focus n° 360, 2025
- Sukhada Fadnavis, A generalization of the Birthday problem and the chromatic polynomial, 2011
- Alfred Menezes, Paul van Oorschot et Scott Vanstone, Handbook of Applied Cryptography, chapitre 9 : Hash Functions and Data Integrity, 1996
- Marc Stevens, Elie Bursztein, Pierre Karpman, Ange Albertini et Yarik Markov, The first collision for full SHA-1, 2017
