Dans un mémorandum de 1943, le mathématicien Abraham Wald prend un exemple chiffré : 400 avions partent en mission de bombardement, 359 reviennent. Les moteurs représentent 26,9 % de la surface exposée des avions, mais seulement 19,3 % des impacts relevés sur les appareils rentrés. Où sont passés les impacts manquants ? Sur les avions qui ne sont pas revenus. Toute l'idée du biais du survivant tient dans ce décalage.
Cette erreur de raisonnement consiste à tirer des conclusions à partir des seuls cas qui ont franchi une sélection, en oubliant ceux qui ont disparu en route. Elle fausse des décisions militaires, des placements financiers, des conseils de carrière et même des études vétérinaires. Voici d'où vient l'histoire, ce qu'elle a de vrai et de légendaire, et comment ne pas tomber dans le piège.
Qu'est-ce que le biais du survivant ?
Le biais du survivant est une forme de biais de sélection : l'échantillon que l'on observe n'est pas représentatif de la population qui nous intéresse, parce qu'un filtre invisible a retiré une partie des cas. Et ce filtre n'a rien de neutre, puisqu'il élimine précisément les cas qui ont échoué.
On le reconnaît à un schéma simple :
- une population de départ (des avions, des entreprises, des fonds, des immeubles) ;
- une épreuve qui en élimine une partie (la défense antiaérienne, la faillite, la fermeture, la démolition) ;
- une conclusion tirée uniquement de ceux qui restent, comme si les disparus n'avaient jamais existé.
Le piège est d'autant plus efficace que les survivants sont visibles, nombreux à témoigner et souvent fiers de leur parcours, alors que les disparus se taisent par définition.
Abraham Wald et les avions : l'histoire telle qu'on la raconte
Abraham Wald naît en 1902 à Kolozsvár, alors en Hongrie, aujourd'hui Cluj, en Roumanie. Mathématicien à Vienne, juif, il quitte l'Autriche à l'été 1938, après l'annexion par l'Allemagne nazie. Presque toute sa famille restée sur place meurt à Auschwitz. Aux États-Unis, il enseigne à l'université Columbia, à New York, où l'on crée en 1942 le Statistical Research Group, un groupe de statisticiens au service de l'effort de guerre, qui compte aussi les futurs prix Nobel d'économie Milton Friedman et George Stigler.
La version popularisée, notamment par le mathématicien Jordan Ellenberg dans son livre How Not to Be Wrong (2014), est la suivante. Les militaires américains constatent que les bombardiers rentrent criblés d'impacts sur le fuselage et les ailes, et presque jamais sur les moteurs. Ils veulent donc ajouter du blindage là où les trous sont les plus nombreux. Wald les arrête : il faut blinder là où il n'y a pas de trous, car les avions touchés aux moteurs ne sont pas revenus pour être comptés.
L'histoire est belle, et l'image qui l'accompagne sur Internet encore plus : un avion constellé de points rouges. Mais cette image n'a rien d'historique. Sa fiche sur Wikimedia Commons la décrit comme une illustration de dégâts hypothétiques, dessinée en 2016 puis vectorisée en 2021. Le rapport de Wald, lui, ne contenait aucune illustration de ce genre.
Ce que disent vraiment les sources
En 2016, le mathématicien Bill Casselman a fait le tri pour l'American Mathematical Society. Son verdict : l'histoire contient un solide fond de vérité, mais les meilleurs détails reposent sur très peu de preuves. Sur le travail de Wald concernant les dégâts des avions, on dispose en tout et pour tout de deux sources :
- les mémorandums de Wald eux-mêmes, huit textes rédigés en 1943 et jamais publiés à l'époque. Ils ont été édités en juillet 1980 par le Center for Naval Analyses, après qu'un ancien membre du groupe, W. Allen Wallis, a confié à un chercheur du centre un carton de vieux papiers retrouvé lors d'un déménagement ;
- les souvenirs de Wallis, publiés en 1980. Dans une réponse à des commentaires, il résume l'idée : les militaires voulaient protéger les parties les plus touchées sur les avions revenus, mais Wald, supposant que les tirs se répartissaient uniformément sur les appareils, a compris que les impacts sur les parties vulnérables devaient être sous-représentés chez les survivants.
Le raisonnement est donc bien de Wald. En revanche, la scène du statisticien qui contredit les généraux et fait blinder les moteurs relève de la reconstruction. Les mémorandums sont très techniques et ne donnent aucune recommandation sur l'endroit où placer le blindage : selon Wallis, le groupe se contentait en général de répondre aux questions posées et laissait les décisions aux militaires. Selon le Center for Naval Analyses, sa méthode a été utilisée pour analyser des données des guerres de Corée et du Vietnam. Wald, lui, est mort en 1950 dans un accident d'avion dans le sud de l'Inde.
Ce que calculait vraiment Wald
Le génie de Wald est d'avoir trouvé comment estimer ce qui arrive aux avions qu'on ne voit pas. Reprenons son exemple, en précisant que les données sont hypothétiques. Sur les 359 avions revenus, 240 n'ont aucun impact, 68 en ont un, 29 en ont deux, 12 en ont trois et 10 en ont quatre, soit 202 impacts au total. À partir de ces seuls chiffres, Wald estime qu'un impact laisse à l'avion environ 85 chances sur 100 de rentrer.
Il découpe ensuite l'avion en zones et compare la part de chaque zone dans la surface avec sa part dans les impacts observés :
- moteurs : 26,9 % de la surface, 19,3 % des impacts vus. Un impact au moteur abat l'avion environ 4 fois sur 10 ;
- fuselage : 34,6 % de la surface, 38,6 % des impacts vus. Un impact au fuselage n'abat l'avion qu'environ 1 fois sur 20.
La zone la plus vulnérable est donc celle où il manque le plus de trous par rapport à sa surface. Les impacts au fuselage sont surreprésentés parce que les avions touchés là reviennent presque tous.
Le lien avec les probabilités conditionnelles
Toute l'erreur des militaires de la légende tient dans une confusion entre deux probabilités qui se ressemblent mais n'ont rien à voir :
- P(impact au moteur | avion revenu) : parmi les impacts vus sur les avions revenus, quelle part touche le moteur ? C'est ce que l'on mesure, environ 0,19 ;
- P(avion abattu | impact au moteur) : quand le moteur est touché, quelle est la probabilité de perdre l'avion ? C'est ce qu'il faut connaître pour décider, environ 0,39.
La formule de Bayes relie les deux. Si un tir touche le moteur avec une probabilité de 0,269 (sa part de surface), si un avion touché au moteur rentre avec une probabilité d'environ 0,61, et si un avion touché rentre en moyenne avec une probabilité d'environ 0,85, alors :
P(moteur | revenu) = P(moteur) × P(revenu | moteur) ÷ P(revenu) ≈ 0,269 × 0,61 ÷ 0,85 ≈ 0,19.
On retrouve exactement la part observée. Autrement dit, si une zone est moins touchée chez les survivants que ne le voudrait sa surface, c'est que P(revenu | zone touchée) est plus petite que la moyenne : la zone est dangereuse. Si tu veux revoir ces notations, la fiche sur les probabilités conditionnelles en première reprend la formule pas à pas.
Il y a aussi une leçon d'échantillonnage. Un échantillon ne renseigne sur une population que s'il est tiré au hasard dans cette population. Les avions revenus ne sont pas un échantillon au hasard des avions touchés : ce sont ceux qui ont réussi l'épreuve. C'est la même idée que celle que l'on rencontre dès les probabilités de seconde : une fréquence observée n'approche une probabilité que si l'expérience n'est pas truquée par la manière dont on recueille les résultats.
Des exemples partout autour de nous
Les fonds d'investissement qui ont toujours battu le marché
Selon le rapport SPIVA Europe de S&P Dow Jones Indices publié en septembre 2025, seuls 58 % des fonds actions et 54 % des fonds obligataires européens existaient encore dix ans plus tard. Les autres ont été fusionnés ou liquidés. Or les fonds qui disparaissent sont surtout ceux qui ont de mauvais résultats, comme l'ont montré dès 1996 les économistes Edwin Elton, Martin Gruber et Christopher Blake.
Faisons un calcul simple, avec des chiffres inventés pour l'exemple. Sur 100 fonds, 58 survivent avec un rendement moyen de 6 % par an, et 42 disparaissent après avoir rapporté en moyenne 1 % par an. La moyenne de tous les fonds vaut (58 × 6 + 42 × 1) ÷ 100 = 3,9 %. Une base de données qui ne garde que les survivants affiche 6 % : elle gonfle la performance de 2,1 points. Si la notion de moyenne pondérée te semble floue, la fiche de statistiques de quatrième la reprend simplement.
Les entrepreneurs qui ont tout quitté
Les fondateurs célèbres qui ont arrêté leurs études, comme Bill Gates ou Mark Zuckerberg, nourrissent l'idée qu'il suffirait d'oser. Mais on n'entend jamais celles et ceux qui ont fait le même pari sans succès. D'après l'Insee, parmi les entreprises créées en France au premier semestre 2018 (hors micro-entrepreneurs), 69 % étaient encore actives cinq ans plus tard : près d'une sur trois avait disparu.
Les données complètes corrigent aussi un autre cliché, celui du fondateur prodige de 20 ans. Une étude menée sur les registres du Bureau du recensement américain par Pierre Azoulay, Benjamin Jones, J. Daniel Kim et Javier Miranda montre que l'âge moyen des fondateurs des jeunes entreprises à la croissance la plus rapide, le premier millième, est de 45 ans.
Avant, on construisait mieux
Les vieilles pierres semblent prouver que nos ancêtres bâtissaient plus solidement. Mais les bâtiments anciens que tu vois aujourd'hui sont ceux qui ont tenu, qui ont été entretenus ou jugés dignes d'être conservés. Les constructions fragiles se sont effondrées, ont brûlé ou ont été démolies depuis longtemps. Même les chefs-d'œuvre ont connu des échecs : la cathédrale de Beauvais, haute de 48 mètres sous voûtes, a subi un effondrement partiel en 1284, puis la chute, en 1573, de sa tour qui culminait à plus de 150 mètres. Le même raisonnement vaut pour les objets d'autrefois qui duraient toute une vie : on ne voit plus ceux qui ont cassé.
Les chats qui tombent des étages
En 1987, deux vétérinaires de l'Animal Medical Center de New York, Wayne Whitney et Cheryl Mehlhaff, étudient 132 chats tombés de fenêtres ou de balcons en cinq mois. La chute moyenne est de 5,5 étages et 90 % des chats soignés survivent. L'étude rapporte que la gravité des blessures n'augmente pas régulièrement avec la hauteur, et elle a été largement relayée sous la forme : au-delà d'un certain étage, les chats se blesseraient moins.
Des critiques ont pointé le biais : un chat tué sur le coup n'est pas emmené chez le vétérinaire, et n'entre donc pas dans les statistiques. Une étude menée à Zagreb sur 119 chats entre 1998 et 2001 a d'ailleurs trouvé que les chutes du septième étage ou plus étaient associées à des blessures plus graves. Moralité : ne laisse pas ton chat sur un balcon ouvert.
Comment s'en protéger
Le biais du survivant ne disparaît pas parce qu'on le connaît. Il faut le chercher activement, avec quelques questions réflexes :
- Qui manque dans mes données ? Avant de conclure, demande-toi quels cas ont pu être éliminés avant d'arriver jusqu'à toi.
- Comment l'échantillon a-t-il été constitué ? Un témoignage, un classement ou une base de données a toujours un mode de sélection. S'il dépend du résultat, méfiance.
- Quel est le dénominateur ? Dix histoires de réussite ne disent rien sans le nombre total de personnes qui ont essayé.
- Quelle probabilité conditionnelle est-ce que je regarde ? Écris-la, puis écris son inverse : P(A | B) et P(B | A) ne sont presque jamais égales.
- Existe-t-il des données complètes ? Registres d'entreprises, bases de fonds qui incluent les fonds fermés, archives des projets abandonnés : elles existent souvent, mais il faut aller les chercher.
Ces réflexes servent aussi à l'école. Le conseil du camarade qui ne révise jamais et réussit quand même ne vaut rien sans ceux qui ont suivi la même méthode et ont échoué : eux ne viennent pas raconter leur histoire.
Conclusion : regarder les avions qui ne sont pas revenus
Le biais du survivant nous pousse à prendre les gagnants visibles pour la règle, alors qu'ils ne sont que ce qui reste après un tri. Abraham Wald n'a peut-être jamais prononcé la réplique qu'on lui prête, mais il a fait mieux : il a mis au point une méthode pour estimer, à partir des seuls avions revenus, ce qui était arrivé aux autres. La prochaine fois qu'une statistique paraît trop belle, cherche les absents.
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Sources
- Abraham Wald (Center for Naval Analyses), A Method of Estimating Plane Vulnerability Based on Damage of Survivors, 1943 (publié en 1980)
- Bill Casselman (American Mathematical Society), The Legend of Abraham Wald, 2016
- S&P Dow Jones Indices, SPIVA Europe Mid-Year 2025, 2025
- Insee, Entreprises créées en 2018 : 69 % sont encore actives cinq ans après leur création, 2025
- Pierre Azoulay, Benjamin Jones, J. Daniel Kim et Javier Miranda (NBER), Age and High-Growth Entrepreneurship, 2018
- Ministère de la Culture, Restauration de la cathédrale Saint-Pierre de Beauvais, 2022
- Wayne O. Whitney et Cheryl J. Mehlhaff, High-rise syndrome in cats, 1987
- Dražen Vnuk et al., Feline high-rise syndrome: 119 cases (1998-2001), 2004
